米勒問題的數學建模及應用

摘 要：21世紀的中國迎來了教育大變革的時代，新的課程改革強調數學與實際生活的聯系，新課標要求數學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數學建模進入高中數學課程已成必然.本文以數學史上的一道數學名題-米勒問題為問題藍本，探索了數學建模的一般過程及其米勒問題的數學模型在中學學習中的應用.

關鍵詞：數學建模;米勒問題

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0014-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張俊暢（1976.8-），男，廣東省梅州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題.數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式.數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.

我國《普通高中數學課程標準》中要求數學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數學建模進入高中數學課程已成必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數學建模教學實施策略，為學生數學學習營造更為寬廣的空間.筆者通過數學史上的一道名題-米勒問題的數學建模與應用作些研究.

一、關于米勒問題

1471年，德國數學家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在地球上什么部位，視角最大？最大視角問題，是數學史上100個著名的極值問題中第一個極值問題，因而引人注目.因為德國數學家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”.

二、米勒問題的數學問題形式

米勒問題可以轉化為這樣的幾何模型：如圖1，線段AB垂直于直線EF，垂足為點O，在直線EF上任選一點C，使得∠ACB的值最大，求此時點C的位置.

三、米勒問題的數學模型及其求解

1.米勒問題的代數解法

解 不妨設AB長度為a，OB長度為b，∠ACB=θ，OC距離為x，因為AB⊥EF，所以△AOC和△BOC都是直角三角形.所以tanθ=tan∠ACO-tan∠BCO1+tan∠ACO·tan∠BCO

=a+bx-bx1+a+bx·bx=axx2+a+b·b

=ax+a+b·bx≤a2a+bb.

當x=a+b·bx，即x=a+b·b時，取等號.

2.米勒問題的幾何解法（Ad.Lorsch解法）

在水平直線上選擇點C，使得△ABC外接圓與水平直線剛好相切于點C，則切點就是視角最大的點.

理由如下：如圖2，在OF上任取一異于點C的點C′，連接AC′，BC′，設BC′與圓的交點為D，因為∠ADB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等），又∠ADB是△ADC′的外角，所以∠ADB>∠AC′B，所以∠ACB>∠AC′B，因此切點C就是∠ACB取得最大值時的點.由切割線定理可知：OC2=OB·OA，所以x2=a+b·b，即x=a+b·b.

3.米勒問題的推廣

如圖3，已知點A，B是銳角∠MON的邊OA上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當點C在何處時，∠ACB最大？利用Ad.Lorsch的幾何解法，我們不難發現：當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大（這里證明省略）.

4.結論提煉

通過上面的數學建模的論證，我們可以得出如下重要結論（我們這里稱為米勒定理）：

米勒定理 已知點A，B是銳角∠MON的邊ON上的兩個定點，

點C是邊OM上的動點，則當且僅當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.

四、米勒問題的應用

例1 要測量電視塔AE的高度H（單位：m），如圖4，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠

ABE=α，∠ADE=β，若該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d，使α，β之差較大，可以提高測量精度.若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

解 設BD=x，由米勒定理知，當且僅當AE2=AB·AD，即dx+d=1252①時，∠DEB=α-β最大.又由△DBC～△DAE得xx+d=4125②.①×②得xd=125×4.將其代入①得d2=1252-125×4=125×121，所以d=555m，故當d為555m時，α-β最大.

點評 本題是以實際應用和平面幾何為背景考查最大角問題，此解法以米勒定理和相似三角形等知識為突破口，結合方程思想求解，綜合性強，能力立意高，有一定難度.

例2 已知橢圓x216+y24=1的左右焦點是E，F，點P在直線x-3y+8+23=0上，當∠EPF最大時，求PE∶PF.

解 如圖5，設直線與x軸相交于點M-8-23，0，

易求得E-23，0，F23，0，則ME=8，MF=8+43.

由米勒定理知，當且僅當MP=ME·MF=8×8+43=43+1時，∠EPF最大，

此時△PEF的外接圓與直線相切于點P.由弦切角定理得∠MPE=∠MFP，又∠PME=∠PMF，

所以△MPE∽△MFP，所以PEPF=MPMF=43+143+8=3-1.

點評 本解法不僅用到米勒定理的結論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的內在聯系，用相似三角形對應邊成比例求線段比，運算量小解法簡單快捷.

最大視角問題在數學競賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查.若能從題設中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決.

參考文獻：

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[責任編輯：李 璟]