追蹤考題 曬曬考點(diǎn)

摘 要：高考命題對(duì)統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例的考查均以實(shí)際生活問題為背景，所以在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)也考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).本文從抽樣方法、頻率分布直方圖的應(yīng)用、莖葉圖的應(yīng)用、樣本的數(shù)字特征、相關(guān)關(guān)系的判斷與線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)這六個(gè)方面舉例說(shuō)明高考考點(diǎn)題型，供復(fù)習(xí)時(shí)參考.

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì);統(tǒng)計(jì)案例;高考考點(diǎn);題型例析

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0054-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：杜紅全（1969.9-），男，甘肅省康縣人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)重點(diǎn).下面舉例說(shuō)明統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例高考考點(diǎn)題型，供參考.

一、抽樣方法

例1 （2019全國(guó)Ⅰ，文6）某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（? ）.

A.8號(hào)學(xué)生?? B.200號(hào)學(xué)生

C.616號(hào)學(xué)生? D.815號(hào)學(xué)生

解析 分段間隔k=1000100=10，又由46號(hào)學(xué)生被抽中知，所抽號(hào)碼的個(gè)位數(shù)是6，結(jié)合選項(xiàng)知，616號(hào)學(xué)生被抽中.故選C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查系統(tǒng)抽樣方法，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);求解本題的關(guān)鍵是利用分段間隔10和46號(hào)學(xué)生被抽到判斷出所抽號(hào)碼的個(gè)位數(shù)是6;不難發(fā)現(xiàn)選出的號(hào)碼所構(gòu)成的數(shù)列是以10為公差的等差數(shù)列，因此也可以利用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)來(lái)解答;在抽樣方法中重點(diǎn)考查分層抽樣方法的應(yīng)用和系統(tǒng)抽樣.

二、頻率分布直方圖的應(yīng)用例2 （2019全國(guó)Ⅲ，理17文17）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：圖1??????? 圖2

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

解析 （1）由已知得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

點(diǎn)評(píng) 本題以頻率分布直方圖為背景，考查頻率分布直方圖中未知字母的求法及相關(guān)計(jì)算，考查了數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);解決與頻率分布直方圖有關(guān)的問題，關(guān)鍵在于尋找出圖中的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系;利用頻率分布直方圖去估計(jì)總體是考查的重點(diǎn)，偶爾出現(xiàn)畫頻率分布直方圖.

三、莖葉圖的應(yīng)用

例3 （2014全國(guó)Ⅱ，文19）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分（評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高），繪制莖葉圖如下：

（1）分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù);

（2）分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率;

（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià).

分析 （1）中位數(shù)就是將數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大的順序重新排列最中間的數(shù)或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù);（2）要求高于90的概率，就是要數(shù)出高于90的個(gè)數(shù);（3）由所給的莖葉圖來(lái)評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)，主要看兩個(gè)指標(biāo)，一個(gè)是中位數(shù)，另一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)差，其中從莖葉圖來(lái)觀察，數(shù)據(jù)越集中，其標(biāo)準(zhǔn)差越小，反之就越大.

解 （1）由所給的莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，因此樣本中位數(shù)是75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75. 50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，因此樣本中位數(shù)是66+682=67，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.

（2）由所給的莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的比率分別為550=0.1，850=0.16，所以該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1，0.16.

（3）由所給的莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明該市的市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.

點(diǎn)評(píng) 此題是文科的高考數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)題，求解此類題的關(guān)鍵是要熟練掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念.

四、樣本的數(shù)字特征

例4（2019全國(guó)Ⅱ，文5）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（? ）.

A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差

解析 9個(gè)數(shù)據(jù)從低到高排列后，第5個(gè)數(shù)據(jù)為中位數(shù)，去掉第1個(gè)和最后1個(gè)數(shù)據(jù)后，中間的數(shù)據(jù)即中位數(shù)不變.故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是數(shù)字特征，考查了數(shù)據(jù)處理能力;求解本題的關(guān)鍵是對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的本質(zhì)的理解.

五、相關(guān)關(guān)系的判斷與線性回歸方程

例5 （2016全國(guó)Ⅲ，理18）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.

參考數(shù)據(jù)：7i=1yi=9.32，7i=1tiyi=40.17，7i=1（yi-y）2=0.55，

7≈2.646.

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=7i=1（ti-t）（yi-y）

7i=1（ti-t）2

7i=1（yi-y）2

回歸方程y∧=a∧+b∧t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

b∧=7i=1（ti-t）2（yi-y）27i=1（ti-t）2，a∧=y-b∧t.

分析 （1）利用所給的數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r即可判斷出相關(guān)程度;（2）利用所給的數(shù)據(jù)及公式代入即可求出線性回歸方程，再把2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入即可得出結(jié)論.

解 （1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

t-=4，7i=1（ti-t-）2=28，7i=1（yi-y-）2=0.55， 7i=1（ti-t-）（yi-y-）=7i=1tiyi-t-7i=1yi

=40.17-4×9.32=2.89.所以r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，所以可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

（2）由y-=9.327≈1.331及（1），得b∧=7i=1（ti-t-）（yi-y-）7i=1（ti-t-）2=2.8928≈0.103，a∧=y--b∧t-≈1.331-0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y∧=0.92+0.10t.將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程，得y∧=0.92+0.10×9=1.82.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用;回歸方程的擬合的效果可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)判斷，因此準(zhǔn)確計(jì)算相關(guān)系數(shù)是關(guān)鍵，當(dāng)r越趨近于1時(shí)，表明兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);求解線性回歸方程的關(guān)鍵是確定a∧，b∧.

六、獨(dú)立性檢驗(yàn)

例6 （2019全國(guó)Ⅰ，文17）某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客40

10女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率.

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

分析 （1）利用題表可以直接算出相應(yīng)的概率;

（2）將題表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算出K2的值，再與表中的k比較，即可作出相應(yīng)的判斷.

解 （1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為4050=0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為3050=0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.

（2）K2=100×（40×20-30×10）250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn);求解獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)問題的關(guān)鍵是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)正確列出2×2列聯(lián)表以及根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算出K2的觀測(cè)值k，若K2的值越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.

? 參考文獻(xiàn)：

[1]杜紅全.追蹤考題? 曬曬考點(diǎn)——“復(fù)數(shù)”高考考點(diǎn)題型歸類析與練[J].數(shù)理化解題研究，2020（01）：7-8.

[責(zé)任編輯：李 璟]