探究一道高考填空題的11種解法

李昌成 茍芳蘭

摘 要：很多高考題看起來很平常，平淡無奇，這只是是表象.深入研究才能發現其豐富的內涵.把這類試題作為教學素材，既能鞏固基礎知識，又能鍛煉學生思維，提升解題能力.高三復習研究這類試題，比刷題應考效果好得多.

關鍵詞：高考題;橢圓;多視角

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0052-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學正高級教師，從事高中數學教學研究.

茍芳蘭（1978-），女，甘肅省武山人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

一、試題呈現

（2019年全國高考數學Ⅲ卷理科第15題）設F1，F2是橢圓C：x236+y220=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為.

二、總體分析

如圖1，要求已知橢圓上一點M的坐標，我們必須理清題意，準確把握信息，并

找到信息之間的關聯.由橢圓方程知2a=12，2c=8，F1（-4，0），F2（4，0）.因為△MF1F2是等腰三角形，結合橢圓的軸對稱性知F1M=F1F2=8.進而由橢圓的定義知MF2=2a-MF1=4.也就是說，△MF1F2的三邊均已知.那么本題可以通過等積法求解;也可以借助正余弦定理解題;還可以直接求交點.研究發現，本題入口寬闊，思路靈活，是鞏固基礎知識，訓練思維，提高綜合解題能力的良好素材.

三、解答試題

1.利用等積法求解

分析 用等積法求點M的坐標的關鍵在于用不同的方法，兩次表示△MF1F2的面積.一次必須表示為12F1F2·yM.第二次面積表示方式就很靈活，可以從代數角度入手;也可以從幾何的角度考慮;還可以利用數形結合來突破難點.

解法1 設MF2的中點為D，連接DF1.因為F1F2=F1M，所以DF1⊥MF2.于是DF1=F1F22-DF22=82-22=215.

所以S△MF1F2=12MF2·DF1=12F1F2·yM.

因此8yM=4×215，解得yM=15.①

將①代入x236+y220=1解得x=3（舍去負值）.

所以M的坐標為（3，15）.

解法2 設∠F1MF2=θ.在△MF1F2中，cosθ=MF12+MF22-F1F222MF1MF2，

于是cosθ=82+42-822·8·4=14.由萬能公式得1-tan2θ21+tan2θ2=14，解得tanθ2=155（舍去負值）.由焦點三角形面積公式得S△MF1F2=b2tanθ2=12F1F2·yM.

所以20×155=4×yM，解得yM=15.下同解法1.

解法3? 結合解法2，cosθ=14，那么sinθ=1-sin2θ=1-（14）2=154.

于是S△MF1F2=12MF1MF2sinθ=12F1F2·yM.所以8×4×154=8yM，解得yM=15.以下同解法1.

解法4 由海倫公式得S△MF1F2=p（p-a）（p-b）（p-c）（其中a，b，c是三角形的三邊，p是三角形周長的一半）.本題中不妨設a=8，b=8，c=4，易得p=10，p-a=2，p-b=2，p-c=6.所以10×2×2×6=12×8yM，解得yM=15.以下同解法1.

評注 以上四種解法分別從最常見的三角形面積公式S=12底×高、焦點三角形特殊面積公式S=b2tanθ2、正弦面積公式、海倫公式出發，綜合運用相關數學知識完成解答.每種方法都是切實可行的，體現了基礎知識的重要性，模塊之間的相通性.海倫公式在必修三《算法初步》一章習題中介紹的，有同學認為不重要，但用它解答本題尤顯便捷.三角函數在其他解法中也起到了重要的輔助作用.

2.借助三角函數解題

分析 在直角三角形中定義了三角函數，此定義與角終邊上的點的坐標緊密相關.已知三邊利用余弦定理能夠求得三角形的任一內角的余弦值，二者結合起來，問題可以得到解決.本問題中，點M又在第一象限，就更容易處理了.

解法5 如圖1，過點M作ME⊥F1F2于點E.因為F1F2=F1M，結合解法2得，cos∠MF2F1=cosθ=14.

又MF2=4，所以在Rt△MEF2中，EF2=MF2cosθ=4×14=1.

由已知橢圓方程知OF2=4，

所以OE=3.

即xE=xM=3.②

將②代入x236+y220=1，解得yM=15（舍去負值）.

所以M的坐標為（3，15）.

解法6 如圖1，在△MF1F2中，結合解法2，∠MF1F2=π-2θ.

所以cos∠MF1F2=cos（π-2θ）=-cos2θ=1-2cos2θ=1-2（14）2=78.

于是在Rt△MEF1中，F1E=F1Mcos∠MF1F2=8×78=7.

所以OE=F1E-F1O=7-4=3.

以下同解法5.

評注 以上兩種方法恰當利用了直角三角形與平面上點的坐標之間的關系，解題中三角函數提供了有力的支撐.二倍角公式的應用能感受到命題專家的良苦用心，把學生對知識的應用能力考查得悄無聲息，酣暢淋漓.這兩種解法都避開了解析幾何的繁雜運算.

3.直接求交點

分析 本題中已有直線和橢圓，我們還可以發掘出相關的圓，利用直線與直線、直線與橢圓、橢圓與圓求交點也能順利地完成解答.求交點是解析幾何的基本知識，人人皆知，但是在高考的關鍵時候，腦海里一直在翻騰那些高大上的特殊技巧，而可能忽視這些通解通法.

解法7 結合解法6知cos∠MF1F2=78 ，所以sin∠MF1F2=1-（78）2=158，于是tan∠MF1F2=sin∠MF1F2cos∠MF1F2=15878=157.

所以直線MF1的方程為y=157（x+4）.③

同理，直線MF2的方程為y=-15（x-4）.④

如圖1，點M可以看作是直線MF1與直線MF2的交點.

由③④聯立解得x=3，y=15.

所以M的坐標為（3，15）.

解法8 如圖1，點M也可以看作是直線MF1與橢圓C的交點.

結合解法7，聯立直線MF1和橢圓C的方程，即y=157（x+4），x236+y220=1，

解得x=3，y=15.

所以M的坐標為（3，15）.

解法9 如圖1，點M還可以看作是直線MF2與橢圓C的交點.

結合解法7，聯立直線MF2和橢圓C的方程，即y=-15（x-4），x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去負值）

所以M的坐標為（3，15）.

解法10 以點F1（-4，0）為圓心，以MF1=8為半徑的圓：（x+4）2+y2=64與橢圓：x236+y220=1在第一象限的交點也是點M.

所以由（x+4）2+y2=64，x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去負值）

所以M的坐標為（3，15）.

解法11 以點F2（4，0）為圓心，以MF2=4為半徑的圓：（x+4）2+y2=64與橢圓：x236+y220=1在第一象限的交點也是點M.

所以由（x-4）2+y2=16，x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去負值）

所以M的坐標為（3，15）.

評注 以上五種解法利用解析幾何的基本方法，聯立直線與直線，或直線與曲線，或曲線與曲線求交點，思路簡捷.這一題把解析幾何中的直線、圓、橢圓等主干知識進行了全面的考查.在平時教學只要注意這些基本功的訓練，學生應該可以掌握，并形成知識技能.本題中直線方程需要自己建立，圓需要想象構造，再建立其方程.這些就是能力的體現.每種解法都是創新思維的產物，近年來高考特別強調創新，我們平時訓練要打破慣性思維的束縛.

四、解后反思

本題不是一道難題，但是一道好題.對學生的能力考查得淋漓盡致.不同層次的學生投入不同的時間都能解出來，代價不同而已.命題專家給學生留了很多入口，代數方向的，幾何方向的，二者結合的，用相應的知識都能作答，以達到考查的學生知識技能目的.這啟發我們在高考復習過程中，務必把基礎知識扎牢，基本功訓練到位，知識間的關系理順.提倡常規題型創新解答，培養學生創新思維.注重一題多解，在比較中發現最優解法，為正式考試贏得時間.平時教學應注重知識的生成過程，這樣有利于知識的融會貫通，形成發散思維.還應注意歸納總結，每類問題有哪些處理的方法做到胸有成竹，防止在一棵樹上吊死.正如本題，三角形面積求法，交點的求法等等都不是一次性習得的，所以要抓住一些機會好好總結，而不是翻來覆去地刷題，形成思維定勢，練百個陳題不會做一個新題.小題大做，小題巧做，對提升大題的應試能力也是大有裨益的.

參考文獻：

[1]任志鴻.十年高考數學（2019版）[M].北京：知識出版社，2019：117.

[責任編輯：李 璟]