高考考查球的常見方式與對策

摘 要：球是一種基本且重要的幾何體，與球有關(guān)的問題一直是高考考查的熱點.加強對球問題考查特點的研究，提高教學(xué)的針對性和有效性，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中值得關(guān)注的一個課題.本文試圖以高考的視角，探究考查球的常見方式與應(yīng)對策略.不足之處，請批評指正.

關(guān)鍵詞：高考;球;考查方式;對策;截面;相接;相切

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0049-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：廖永福（1962.8-），男，福建省仙游人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考考查球的常見方式有三種：以“截面”為載體進行考查、以“相接”為載體進行考查和以“相切”為載體進行考查.題型多為選擇題或填空題，難度基礎(chǔ)或中等.主要考查球的概念、球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計算、球的切接問題等.以近幾年高考試題為例闡述如下.

一、以“截面”為載體進行考查

用一個平面去截球面，當平面過球心時，截面是球的大圓;當平面不過球心時，截面是球的小圓.解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住球的截面的性質(zhì)：（1）球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面;（2）球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2.

例1 （2013年新課標Ⅰ文）已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為.

分析 由截面圓的面積可求出截面圓的半徑，再根據(jù)球的截面性質(zhì)，列出關(guān)于球半徑的方程，求出球的半徑，即可求出球的表面積.

解答 設(shè)球的半徑為R，∵AH∶HB=1∶2，∴球心O到平面α的距離d=13R.

∵α截球O所得截面的面積為π，∴截面圓的半徑r=1.

由R2=r2+d2得R2=12+（13R）2，∴R2=98.

∴球的表面積S=4πR2=9π2.

故答案為9π2.

點評 本題考查球的截面性質(zhì)和球的表面積的計算等，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

例2 （2013年大綱版）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK=32，且圓O與圓K所在的平面所成角為60°，則球O的表面積等于.

分析 正確作出圖形，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得OK⊥⊙K所在的平面，在Rt△OCK中求出OC，再在等邊△OAB中求出球的半徑OA，問題得解.

解答 如圖2，設(shè)C是兩圓公共弦AB的中點，則AB⊥OC，AB⊥CK，從而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角，∠OCK=60°.

圖2

在△OCK中，∵∠OKC=90°，OK=32，∴OC=3.

在△OAB中，∵AB=OA=OB，∴OA=OCsin60°=2.

∴球O的表面積等于S=4π·OA2=16π.故答案為16π.

點評 本題考查二面角、球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計算等，正確作出圖形，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

二、以“相接”為載體進行考查

若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球.類似地，若一個旋轉(zhuǎn)體的頂點和底面圓周上各點都在一個球的球面上，則稱這個旋轉(zhuǎn)體是這個球的內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體，這個球是這個旋轉(zhuǎn)體的外接球.這類問題統(tǒng)稱為相接問題，球面與幾何體的公共點就是接點.解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相接的特點，即球心到接點的距離等于球的半徑.

1.球與柱體

例3 （2017年新課標Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（? ）.

A.π? B.3π4? C.π2? D.π4分析 由于圓柱內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點及截面的性質(zhì)知，連結(jié)圓柱上下底面圓心的線段O1O2的中點即為球心O，如圖，在Rt△OO2A中，求出圓柱底面半徑O2A，就能求出圓柱的體積.圖3

解答 如圖3，∵圓柱O1O2內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點，且O1O2⊥⊙O2所在的平面，∴O1O2⊥O2A.

在Rt△OO2A中，O2A=OA2-OO22=12-（12）2=32.

∴圓柱的體積V=Sh=π×（32）2×1=3π4.故選B.

點評 本題考查球與圓柱相接的特點，球的截面的性質(zhì)和圓柱的體積的計算等，確定球心的位置，求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

例4 （2009年全國卷Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于.

分析 由于直三棱柱內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點及截面的性質(zhì)知，連結(jié)直三棱柱上下底面外接圓圓心的線段O1O2的中點即為球心O，如圖，在Rt△OO2A圖4中，OA=OO22+O2A2，求出O2A，就能求出OA，進而求出球的表面積.

解答 如圖4，設(shè)O1、O2為直三棱柱上下底面外接圓的圓心.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點，且O1O2⊥平面ABC，∴O1O2⊥O2A.

在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理可得BC=23，再由正弦定理可得O2A=2.

在Rt△OO2A中，OA=OO22+O2A2=12+22=5.

故此球的表面積為4πOA2=20π，故答案為：20π.

點評 本題考查球與棱柱相接的特點，球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.球與錐體

例5 （2011年新課標）已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的316，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.

分析 由于圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點及截面的性質(zhì)，線段AB是球O的直徑. 由圓錐底面面積是球面面積的316，可得O1COC=32， O1OOC=12，從而可求得O1AO1B=13.

圖5

解答 如圖5，依題意得πO1C24πOC2=316，∴O1COC=32.

∵圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球，

∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面，∴AB⊥O1C.

在Rt△OO1C中，O1OOC=1-（O1COC）2=12，∴OC=2O1O.

從而O1AO1B=OA-O1OO1O+OB=2O1O-O1OO1O+2O1O=13.

點評 本題考查球和圓錐相接的特點，球的截面的性質(zhì)以及圓錐高的計算等，確定球心的位置，得出OC=2O1O是解題的關(guān)鍵.

例6 （2014年大綱版）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（? ）.

A.81π4? B.16π? C.9π? D.27π4

分析 由于正四棱錐內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點及截面的性質(zhì)，球心O必在正四棱錐的高PO1所在的直線上 且OA=OP.如圖，在Rt△OO1A中，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，進而求出球的表面積.

解答 設(shè)球O的半徑為R，PO1⊥平面ABCD.圖6

∵正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O，∴O∈PO1，OA=OP.

在Rt△OO1A中，OA2=OO21+O1A2.

∵PO1=4，AB=2，∴R2=（4-R）2+（2）2，∴R=94.

∴球的表面積為4π·（94）2=81π4.故選A.

點評 本題考查球和棱錐相接的特點，球的截面的性質(zhì)以及球的表面積的計算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

三、以“相切”為載體進行考查

若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.類似地，若一個旋轉(zhuǎn)體的底面和各母線都與一個球的球面相切，則稱這個旋轉(zhuǎn)體是這個球的外切旋轉(zhuǎn)體，這個球是這個旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球.這類問題統(tǒng)稱為相切問題，球面與幾何體的公共點就是切點.解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相切的特點，即球心到切面（或切線）的距離等于球的半徑.

例7 （2016年新課標Ⅲ）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（? ）.

A.4π? B.9π2? C.6π? D.32π3

分析 易知直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球必與三個側(cè)面都相切或與上、下底面都相切，根據(jù)相切的特點，可求出體積最大的球的半徑為32，進而求出球的體積.

解答 ∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10.

故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r=6+8-102=2.

又由AA1=3，故直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球的半徑為32.

此時V的最大值為43π·（32）3=9π2，故選B.

點評 本題考查球與棱柱相切的特點和球的體積的計算等，根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答的關(guān)鍵.

圖7

例8 （2006年江西）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2，則必有（? ）.

A.S1<S2? B.S1>S2

C.S1=S2D.S1，S2 的大小關(guān)系不能確定

分析 由于球內(nèi)切于四面體，所以球心到四面體各面的距離都等于球的半徑.利用割補法可以把四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC體積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為表面積之間的關(guān)系，問題得解.

解答 連結(jié)OA，OB，OC，OD，OE，OF，則

VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD，

VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.

∵VA-BEFD=VA-EFC，∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC

又∵每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，

∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC，∴S1=S2.故選C.

點評 本題考查球與多面體相切的特點以及多面體表面積的計算等，抓住相切的特點，找出表面積和體積之間的共有特征是解題的關(guān)鍵.

綜上可見，理解球的概念，掌握球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計算公式以及球的切接問題的特點是解題的基礎(chǔ);正確畫出圖形，選擇恰當?shù)钠矫妫芽臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵;如能掌握化歸思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法就等于拿到了開啟數(shù)學(xué)解題大門的金鑰匙.

參考文獻：

[1]廖永福.多面體的外接球問題的若干解法[J].數(shù)理化解題研究，2019（28）：34-36.

[2]李昭平.高考“球問題”考點透視[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（5）：42-45.

[3]任文海.新課標高考對球及其組合體的考查趨勢[J].高中數(shù)理化，2017（7）：10-11.

[責任編輯：李 璟]