晾衣架模型的解題策略

摘 要：在兩個豎直的柱子之間掛一根繩子，用光滑的衣架鉤掛在繩子上，再把需要晾曬的衣服掛在衣架構上，然后就可以在衣架上晾曬衣服了，這種模型我們稱為“晾衣架模型”. 這種模型的結論是：繩子的拉力大小與兩懸掛點的水平距離有關.兩懸掛點的水平距離不變，繩子的拉力就不變;兩懸掛點的水平距離變大，繩子的拉力就變大;兩懸掛點的水平距離變小，繩子的拉力就變小.

關鍵詞：晾衣架模型;同一根繩子;活結;兩懸掛點水平距離;共點力平衡狀態

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0087-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張巖松（1963.6-），男，山東省泰安市岱岳區人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

在兩個豎直的柱子之間掛一根繩子，用光滑的衣架鉤掛在繩子上，再把需要晾曬的衣服掛在衣架構上，然后就可以在衣架上晾曬衣服了，這種模型我們稱為“晾衣架模型”.如圖1所示.

結論推導：

因為衣架鉤光滑，而且衣架鉤兩側是同一根繩子，所以兩側繩子拉力大小相等，這種連接方式我們稱為“活結”.兩側繩子的拉力關于豎直方向對稱，設兩邊的繩子與豎直方向的夾角均為α.并設兩個懸掛點的水平距離為S（即兩根豎直木樁的水平距離是S），繩子的總長度為L，左側繩長為L1，右側繩長為L2.如圖2所示：圖2

則由幾何知識，得：S=L1sinα+L2sinα=（L1+L2）sinα=Lsinα，∴sinα=SL.

設繩子的拉力大小為T，重物的重力為G，以衣架鉤為研究對象，因為物體處于靜止狀態，根據共點力的平衡條件，合外力為零，所以：

2Tcosα=G，∴T=G2cosα.

因此可以得出以下兩個結論：

①sinα=SL? ;②T=G2cosα.

即在繩子的長度一定的情況下，兩懸掛點的水平距離不變，繩子的拉力不變;兩懸掛點的水平距離變大，繩子的拉力就變大;兩懸掛點的水平距離變小，繩子的拉力就變小.

例題 （2017年天津高考第8題）如圖3所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態.如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是（?? ）.

A. 繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B. 將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C. 繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D. 若換掛質量更大的衣服，則衣服架懸掛點右移.

解析 本題屬于“活結”連接，而且“衣架靜止”，處于平衡狀態.所以上面兩個結論成立.

解答：對于A、C：設繩子的張力為T，兩邊的繩子與豎直方向的夾角均為α.并設兩個懸掛點的水平距離為S（即兩根豎直木樁的水平距離是S），繩子的總長度為L.根據上面推導出來的結論：sinα=SL;T=G2cosα.可知：A正確，C錯誤.

對于B：將桿N向右移一些，則S增大，L不變，∴α增大，cosα減小，T增大，故B正確.

對于D：繩長和兩桿距離不變的情況下，θ不變，所以掛的衣服質量變化，不會影響懸掛點的移動，D錯誤.

綜上所述，應選AB.

變式：若將衣架鉤換成滑輪.

將衣架鉤換成滑輪時，仍然是同一根繩子，這種連接方式仍然是“活結”，繩子的張力大小仍然處處相等，因此仍然滿足上面的兩個結論： ①sinα=SL? ;②T=G2cosα.

練1 如圖4所示，A和B是兩根豎直立在地上的木樁，輕繩系在兩木樁上不等高的P和Q兩點，C為光滑的、質量不計的滑輪，下面懸掛著重物G，現保持結點P的位置不變，當Q點的位置變化時，輕繩的張力大小變化情況是（?? ）.

A.Q點上下移動時，張力不變

B.Q點向上移動時，張力變大

C.Q點向下移動時，張力變小

D.條件不足，無法判斷

解析 因為是通過“活結”連接，且處于動態平衡狀態，所以上面的兩個結論成立.

解答：又因為兩懸掛點水平距離不變，

繩子的拉力不變，故：應選A.練2 如圖5所示，為建筑工地一個小型起重機的起吊重物的示意圖.一根輕繩跨過光滑的動滑輪，輕繩的一端系在位圖5

置A處，動滑輪的下端掛上重物，輕繩的另一端掛在起重機的吊鉤C處.起吊重物前，重物處于靜止狀態.起吊重物過程是這樣的：先讓吊鉤從位置C豎直向上緩慢的移動到位置B，然后再讓吊鉤從位置B水平向右緩慢地移動到D，最后把重物卸載某一個位置.則關于輕繩上的拉力大小變化情況，下列說法正確的是（? ）.

A.吊鉤從C向B移動的過程中，輕繩上的拉力不變

B.吊鉤從B向D移動過程中，輕繩上的拉力變小

C.吊鉤從C向B移動過程中，輕繩上的拉力變大

D.吊鉤從B向D移動過程中，輕繩上的拉力不變

解析 本題屬于“活結”連接，而且“緩慢地移動”，滑輪始終處于平衡狀態，所以上面兩個結論成立.

解答 如圖6所示，由C到B的過程，因為水平距離不變，根據結論①sinα=SL 可知，繩子與豎直方向的夾角不變，再根據結論②T=G2cosα，可知輕繩上的拉力不變.因此A對，C錯.

由B到D的過程，水平距離變大，根據結論①sinα=SL 可知，繩子與豎直方向的夾角α變大，再根據結論②T=G2cosα 可知輕繩上的拉力變大.因此B、D都是錯的.

綜上所述，應選AC.

圖1練3 在上海世博會最佳實踐區，江蘇城市案例館中穹形門窗充滿了濃郁的地域風情和人文特色，如圖7所示，在豎直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重物G，現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近（C點與A點等高）.則繩中拉力大小變化的情況是（? ）.

A.先變小后變大? B.先變小后不變

C.先變大后不變D.先變大后變小

解析 本題屬于“活結”連接，而且是“緩慢”移動，滑輪始終處于平衡狀態，因此上面兩個結論成立.

解答 當輕繩的右端從B點移到直桿最上端時，因為繩子的兩懸掛點之間的水平距離S增大，根據結論①sinα=SL 可知，α增大，再根據結論②T=G2cosα 可知，繩子的拉力T 變大.當輕繩的右端從直桿最上端移到C點時，繩子的兩懸掛點之間的水平距離不變，根據結論①sinα=SL 可知，α不變，再根據結論②T=G2cosα可知，繩子的拉力T不變.所以繩中拉力大小變化的情況是先變大后不變.

故應選C.

由上面的例題和練習題可以得出兩個結論：

①sinα=SL;

②T=G2cosα.

要特別注意，這兩個結論是在兩個前提條件下推導出來的，第一個條件必須是“活結”，即必須保證是同一根繩子.如果有東西固定在繩子上，比如夾子夾住繩子，再比如在繩子打了個結，或者是兩根繩子系在衣架上，那么就不再是同一根繩子了，這種連接方式我們稱為“死結”.對于“死結”這種連接方式，兩邊的張力不一定相等，那么兩邊繩子與豎直方向的夾角也不一定相等了，這兩個結論就不一定成立了.第二個條件是所掛物體必須處于平衡狀態，即處于靜止狀態，或者處于緩慢移動狀態，否則合外力就不為零了，兩個結論也不成立了.因此，在使用這兩個結論時，一定要看清楚兩個條件是否滿足.

上面這四道題，看上去形式上是不同的，但是解題思路是相同的，是具有相同特點的物理模型——“晾衣架模型”，這就是建模的過程.在物理解題過程中，為了形象、簡捷的處理物理問題，人們經常把復雜的實際情況轉化成一定的容易接受的簡單的物理情境，從而形成一定的經驗性的規律，即建立物理模型，簡稱建模.我們要善于建模，這樣做往往能夠起到舉一反三的作用，達到事半功倍的效果.建模是一種能力，需要長期的積累，經過抽絲剝繭，抓住問題的實質，才能構建出物理模型，總結出解題的一般規律和方法.當再遇到類似的題目時，就可以把原來的思路遷移過來，順著原來的思路去求解，這樣做能夠節省時間，提高成功率.當然，同一種模型，必然有相同的條件，要看清條件符合才能利用，千萬不能滿目的套用.像“晾衣架模型”，必須是同一根繩子，屬于“活結”連接，而不是“死結”連接.再者，所懸掛的物體必須處于平衡狀態，否則就不能用.

[責任編輯：李 璟]