活躍在中學數學中的思想方法例談

摘 要：數學思想方法在中學數學中的應用十分廣泛，熟練掌握數學中的思想方法，能夠有助于學生快速解題，使得問題變得簡單化、直觀化.

關鍵詞：中學數學;思想方法;數形結合

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0041-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：李成輝（1974.9-），男，安徽省靈璧人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

函數與方程思想就是用函數與方程的觀點，處理變量與未知數之間的關系;數形結合思想即是將數和形構建相互聯系的體系，進行恰當轉化，求解問題.要想熟練、快速地解答此類問題，需要熟悉數學解題的三種語言，即文字語言、符號語言和圖形語言.

求解數學問題中，離不開轉化與化歸，有時也需要對問題分類討論才能得到需要的結論.要想對問題熟練、準確地求解，需要細讀題目，弄清題意，弄清題目中設計的相關數學概念、公式及其相互間的聯系，才能明白如何轉化、如何討論.

一、函數與方程思想

例1 在等差數列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，則數列{an}的前n項和Sn的最大值為.

解析 方法一（函數法）：由3a2=11a6，得3×（13+d）=11×（13+5d），解得d=-2，

所以an=13+（n-1）×（-2）=-2n+15.

所以Sn=n（13+15-2n）2=-n2+14n=-（n-7）2+49，

所以當n=7時，數列{an}的前n項和Sn最大，最大值為S7=49.

方法二（通項法）：由解法一可得an=-2n+15.

由an≥0，an+1≤0，得-2n+15≥0，-2（n+1）+15≤0

解得6.5≤n≤7.5.

因為n∈N*，所以當n=7時，數列{an}的前n項和Sn最大，最大值為

S7=7×（13-2×7+15）2=49.

點評 數列的通項與前n項和是自變量為整數的函數，可用函數的觀點去處理數列問題.常涉及最值問題或參數范圍問題，解決問題的關鍵是利用函數的單調性來研究最值問題.

二、數形結合思想

例2 已知函數f（x）是奇函數，在（0，+∞）上是減函數，且在區間[a，b]（a<b<0）上的值域為[-3，4]，則在區間[-b，-a]上（? ）.

圖1

A.有最大值4

B.有最小值-4

C.有最大值-3D.有最小值-3

解析? 方法一：根據題意作出y=f（x）的簡圖，由圖知，選B.

方法二：當x∈[-b，-a]時，-x∈[a，b]，

由題意得f（b）≤f（-x）≤f（a），即-3≤-f（x）≤4，

∴-4≤f（x）≤3，即在區間[-b，-a]上，f（x）min=-4，f（x）max=3.

故選B.

點評 函數最值問題是高考試題中常見的一類考題，此類考題的求解方法常結合函數圖象進行解決，利用數形結合思想解決數學問題，有助于使問題更加直觀化.

三、分類討論思想

例3 已知函數f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x.

（1）當x∈[1，4]時，求函數h（x）=（f（x）+1）·g（x）的值域;

（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式f（x2）·f（x）>k·g（x）恒成立，求實數k的取值范圍.

解析 （1）h（x）=（4-2log2x）·log2x=-2（log2x-1）2+2.

因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函數h（x）的值域為[0，2].

（2）由f（x2）·f（x）>k·g（x），得

（3-4log2x）（3-log2x）>k·log2x，

令t=log2x，因為x∈[1，4]，

所以t=log2x∈[0，2]，

所以（3-4t）（3-t）>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，

①當t=0時，k∈R;

②當t∈（0，2]時，k<（3-4t）（3-t）t恒成立，即k<4t+9t-15，因為4t+

9t≥12，當且僅當4t=9t，即t=32時取等號，所以4t+9t-15的最小值為-3，從而k<-3.

綜上，實數k的取值范圍為（-∞，-3）.

點評 分類討論思想的運用，在高中數學中的體現是十分明顯的，我們要清楚產生分類討論的具體緣由，這樣才能在分類討論時做到不重復也不遺漏.

四、轉化與化歸思想

例4? （2019·江西南昌二模）如圖2，有一塊半徑為20米，圓心角∠AOB=2π3的扇形展示臺，該展示臺被分成了四個區域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC=∠BOD）.某次菊花展分別在這四個區域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜，預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是： 50元/m2，30元/m2，40元/m2.為使預計日總效益最大，∠COD的余弦值應等于.

圖2

解析 設∠AOC=∠BOD=α，則∠COD=2π3-2α，且易知0<α<π3.

結合圖形及題意可知，日總效益f（α）=12×

202sin（2π3-2α）×50+2×12×202α×40+30[12×202（2π3-2α）-12×202sin（2π3-2α）]=4000sin（2π3-2α）+4000α+400π.

求導得f ′（α）=4000-8000cos（2π3-2α），所以令f ′（α）>0，結合0<α<π3，可解得0<α<π6;令f ′（α）<0，結合0<α<π3，可解得π6<α<π3.

于是，函數f（α）在（0，π6）上單調遞增，在（π6，π3）上單調遞減.

從而，當α=π6時，f（α）取得最大值.

故所求∠COD的余弦值等于cos（2π3-2×π6）=12.

點評 本題需要先結合圖形引入輔助角，以便根據題意建立日總效益的函數關系式，然后通過求導分析并運用其單調性，即可順利求解目標問題.

分類討論問題主要涉及：由數學概念引起的分類討論;由性質、定理、公式的限制引起的分類討論;由數學運算要求引起的分類討論;由圖形的不確定性引起的分類討論;由參數的變化引起的分類討論.

轉化與化歸問題主要有：直接轉化法;換元法;數形結合法;等價轉化法.

高考題中考查函數與方程思想、數形結合思想的題目較多，選擇題、填空題和解答題中都有.

函數與方程的思想在解題中的應用十分廣泛，如：函數與不等式的相互轉化;數列的通項與前n項和;解析幾何問題;立體幾何中與線段、角、面積、體積的計算問題.

數形結合思想解決的問題常有：構建函數模型并結合其圖象求解相關問題;構建立體幾何模型研究代數問題;構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題;構建方程模型，求根的個數;研究圖形的形狀、位置關系、性質;等等.

參考文獻：

[1]陳國林，寇桂宴.例說巧用數學思想解決圓錐曲線綜合問題[J].數理化解題研究，2016（31）：8-9.

[2]陳國林.例說數學思想在等差數列中的應用[J].中學生數理化（高二高三版），2016（10）：12-13.

[責任編輯：李 璟]