2019年高考全國卷一理科22題淺析

摘 要：“坐標系與參數方程”屬于全國卷一中的選做內容，主要體現了代數與幾何之間的相互轉化及對應關系。本文在對近四年全國卷一中的此部分內容考查的分析上，對2019年的全國卷一中的這部分試題進行探討和分析。

關鍵詞：坐標系與參數方程;全國卷;高考題;高中數學

在全國卷一中，“坐標系與參數方程”為選做題二選一中的一道，中等難度，分數為10分。2015全國卷一主要考查直角坐標方程與極坐標方程互相轉化;以及如何利用ρ的幾何意義求解弦長，進一步求出三角形的面積;2016全國卷一主要考查把參數方程先化為普通方程，再轉化成極坐標方程;進而聯立方程組求出相應交點的坐標;2017全國卷一主要考查把參數方程轉化成普通方程，接著聯立方程組求出交點的坐標;利用橢圓的參數方程來表示出距離;2018全國卷二主要考查把極坐標方程轉化成對應直角坐標方程;求解軌跡方程。

下面來具體分析2019年全國卷一中對于“極坐標與參數方程”的考查。

（2019年全國卷一22題）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為，（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.

（1）求C和l的直角坐標方程;

（2）求C上的點到l距離的最小值.

【思路點撥】

（1）利用消元法，可求出曲線C的直角坐標方程;再利用極坐標與直角坐標互相轉換公式，可求出直線l的直角坐標方程;（2）用參數方程來表示曲線C上任意一點的坐標，再利用點到直線的距離公式則可把應求的距離轉換成三角函數的形式，由三角函數的取值范圍則可求出相應的最值。

【解析】

（1）由，得，且，又，故

，整理可得C的直角坐標方程為：;

又，故l的直角坐標方程為：.

（2）由（1）可設C的參數方程為：，（θ為參數，-π<θ<π）;

則曲線C上的點到直線l的距離，當，則有，此時d取得最小值，故.

求解此類問題，一是要熟練掌握參數方程與極坐標方程以及直角坐標方程之間的相互轉換，二是要注意借助巧設參數，進而把問題轉換成求解三角函數的最值。同時，也可看出，在2019年的全國卷一中，仍然延續了對于“坐標系與參數方程”部分的考查方向，側重于學生對于問題的分析理解的考查、側重于學生對于基本概念熟練掌握的考查、側重于學生對于數形結合解決幾何問題能力的考查。

作者簡介：廖福輝（1985年）男，漢族，廣東梅州，高中數學一級教師，任教梅州市五華縣田家炳中學，現在職就讀于云南師范大學數學碩士研究生