初中數學例習題再設計的思考

陳樹生

在初中數學教學中，教師經常需要提供一些習題來幫助學生對所學內容進行鞏固，這些習題可以是教師直接選編過來的，也可以是改編或創編的。無論是選編現成的題目，還是改編或創編，都在考驗初中數學教師的教學基本功。其中，改編的題目尤其值得教師關注。因為改編大多是在教材一些典型例題或習題的基礎上進行的，這一操作在變式教學中也經常被用到，如果學生有意識地對原題和改編題進行比較，將有助于他們提升認識，強化理解。

對于某些典型的數學問題，教師可著手對它的條件進行分析，并對其展開調整，這樣就能演變成一個新的問題. 這樣處理可以讓學生展開比較——雖然新的問題和原有習題之間存在著很大的相似性，但最終卻會得到截然不同的結論。這樣的處理方式會讓學生認識到數學問題的多變性，他們的思維也將因此變得更加靈活。

例1 ：現有一個如圖1所示的四邊形ABCD，其中AB，BC，CD，DA四邊的中點分別為E，F，G，H， 求證：順次連接上述中點，所得的四邊形EFGH是一個平行四邊形。

上述問題是一個有關四邊形和中位線的典型例題，它為學生后面學習矩形、菱形以及正方形等知識奠定了基礎。在教學過程中，很多教師沒有充分發掘這個問題的隱含功能，只是安排學生通過連接對角線來完成對問題的處理，這其實在一定程度上增強了問題的特殊性。這雖然也能幫助學生訓練有關中位線和平行四邊形的相關認識，但筆者認為還沒能讓學生能力的提升達到應有的程度。因此，筆者對上述試題進行了以下改編嘗試。

改編1： 如果E，F，G，H四個點并非原四邊形各邊的中點，那么是否可以讓四邊形EFGH仍然是一個平行四邊形？

改編2： 在改編1的條件下，是否可以讓四邊形EFGH成為一個菱形？

改編3： 能否在四邊形ABCD四條邊上找到四個點E，F，G，H，讓它們都不是對應邊的中點，且連線也與AC，BC不平行，但是四邊形EFGH仍然是一個平行四邊形？

改編4 ：在改編3的條件下，是否可以讓四邊形EFGH成為一個菱形？

在改編操作中，教師應有意識地增強條件或弱化條件，將原來的問題成功轉化為一個新的問題，這能促進學生對原來的數學問題進行更進一步的引申思考和推廣思考，進而讓學生以更加積極的姿態參與到學習之中.。同時，他們也將在問題解決的過程中發展自己的探究能力與合作學習精神。

一個相同的問題場景，如果教師能夠切換觀察的視角，同時適當對相關數據進行微調，就很有可能促進問題的演變，并得到完全不同的結論. 按照這樣的思路對問題進行重新設定或改編，能讓學生的視野更加開闊。

例2： 在如圖2所示的等邊三角形ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AE=CD，連接AD和BE，它們相交于點P，求證：∠APE=60°.

上述例題是一個相當經典的問題，很多教師都是圍繞著圖形中的兩組全等三角形來展開情境探索并設計問題的。如果我們的視野再開闊一點，所能捕捉到的相似三角形一共會是六對，筆者從這一思路出發，對問題進行了改編再設計。

改編 ：在如圖2所示的等邊三角形ABC中，AB=6，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AE=CD=4. 連接AD，BE，它們相交于點P.

（1）求證：△ABE≌△CAD;

（2）求EP的長.

這道改編題雖然簡短，但容量很大，它將三線合一、勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識整合到了一起，有助于學生完成對知識的融會貫通. 為了匹配學生的差異性，筆者在進行問題改編時，也注意了問題的梯度設計。上述問題（1）的設計就相對簡單，同時這也在一定程度上為學生的后續問題探討奠定了基礎。問題（2）的難度有所提高，為部分優秀學生提供了展示的平臺，有助于學生在深入探索情境中發現更加深刻的數學知識. 這樣的處理方式，能對學生思維的變通性展開有效訓練，能讓學生以更加靈活的視角研究和分析相應的問題場景，這對學生思維品質的提升大有益處，值得我們在教學實踐中大力推廣。

很多數學問題都是純粹的字母或算式，這會給人一種非常抽象的感覺，而且這種過分模型化的問題其實也剝奪了學生展開建模思考的機會. 因此，面對一些問題，教師應該對問題背景進行適當調整，給習題一個更加豐滿的情境，這樣便可以讓數學問題更加有內涵，還能讓學生的研究和探索能力因此得到提升.

試題命制是教師非常重要的一項專業素養，但對于教師而言，如果要全新地命制一個數學問題，還是存在一定困難的. 在實際教學中，教師要積極研究已有試題資源的類型和特點，有效聯系學生的實際情況和發展需要，發掘相關問題的潛在價值，進而探索問題改編的思路，讓問題以更新、更活的形式展現在學生面前，讓習題成為學生鞏固認識的支架，讓習題成為學生推進數學探究的出發點.