集合的概念教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

宋陽(yáng)

摘要：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面，其中數(shù)學(xué)抽象是形成集合概念的第一步。高中階段的數(shù)學(xué)概念，也可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中找到正確的思維判斷和理論推理。但作為高中數(shù)學(xué)的起始課，需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)的興趣愛(ài)好，調(diào)動(dòng)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的積極性，進(jìn)而得出正確和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論。第一章集合是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)概念，體現(xiàn)了集合在數(shù)學(xué)中的奠基性地位，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程、特點(diǎn)和方法。本節(jié)課中通過(guò)小學(xué)、初中、高中集合知識(shí)的學(xué)習(xí)階段的類比和具體問(wèn)題的分析，既完成集合概念的形成，又能教學(xué)生如何進(jìn)行高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，達(dá)到讓學(xué)生從初中到高中的順利過(guò)渡。

高中數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)，集合這一章重點(diǎn)需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，具體表現(xiàn)是學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，集合的概念需要通過(guò)具體事例抽象而出。集合是刻畫(huà)一類事物的語(yǔ)言和工具，通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用集合的語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)研究對(duì)象，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)。

而對(duì)于進(jìn)入高中后的第一章內(nèi)容，往往是學(xué)生遇到的第一個(gè)困難，從初中具體化內(nèi)容過(guò)渡到抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言是教學(xué)難點(diǎn)。我通過(guò)兩屆學(xué)生課前和課后的反映，分析學(xué)生遇到的問(wèn)題，找出初高中銜接上需要的注意事項(xiàng)并進(jìn)行了新一輪的教學(xué)設(shè)計(jì)，現(xiàn)將同學(xué)的反饋情況總結(jié)如下。1.在能力水平方面：因?yàn)榘鄡?nèi)同學(xué)的初中層次不同，對(duì)于高中知識(shí)在初中的滲透有所不同，所以造成同學(xué)間對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)程度存在差異，有些同學(xué)已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)單的定義，但未深入理解，有些同學(xué)則一點(diǎn)沒(méi)有接觸過(guò)。2.在學(xué)習(xí)能力方面：每位同學(xué)的學(xué)習(xí)能力有差異，對(duì)于整班教學(xué)無(wú)法做到一刀切，引導(dǎo)學(xué)生思考的深度需要拉開(kāi)梯度，讓每位同學(xué)聽(tīng)懂的前提下，好學(xué)生有所提高。3.在心態(tài)方面：在過(guò)去的暑假里學(xué)生多是放松為主，開(kāi)學(xué)后進(jìn)入新的環(huán)境，學(xué)習(xí)難度的加大會(huì)讓學(xué)生感到壓力，無(wú)形中造成學(xué)生知識(shí)獲取的慢。

針對(duì)我的教學(xué)班級(jí)出現(xiàn)的以上現(xiàn)象，我的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了一系列的調(diào)整，目的是解決上屆同學(xué)在學(xué)習(xí)上出現(xiàn)的問(wèn)題，更好地進(jìn)行初高中的銜接工作。1.在能力方面，班中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)集合內(nèi)容的同學(xué)會(huì)認(rèn)為高中知識(shí)第一章已經(jīng)掌握，但并不理解知識(shí)的由來(lái)和集合本章的學(xué)習(xí)意義，即集合的定位是將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，通過(guò)教學(xué)使學(xué)生感受到用集合語(yǔ)言來(lái)表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)的簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性，并使學(xué)生能用幾何語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表示數(shù)學(xué)對(duì)象。所以我的設(shè)計(jì)是通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行抽象概括，讓同學(xué)培養(yǎng)和鍛煉語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性。課堂上及時(shí)表?yè)P(yáng)表達(dá)上的進(jìn)步，而不停留在知識(shí)的獲取上。2.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我有意識(shí)的涉及到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)和其他知識(shí)，例如素?cái)?shù)、三角、二次方程和二次不等式、反比例不等式和社會(huì)熱點(diǎn)“新四大發(fā)明”。我希望學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的同學(xué)在看到這些發(fā)散的名詞后能夠回憶起更多內(nèi)容，把一節(jié)課的內(nèi)容拓寬拓廣。3.在同學(xué)的心態(tài)方面，我向特級(jí)教師請(qǐng)教，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)更多的小組討論和回答問(wèn)題的互相補(bǔ)充，意在讓同學(xué)們交流中互相熟悉并且思維上互相碰撞。知識(shí)的形成應(yīng)該是對(duì)比、分析、總結(jié)、互相交流、修正、總結(jié)的過(guò)程，在小組討論中更能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，并且在互相的交流中找到自己的問(wèn)題并加以修正，這正是學(xué)習(xí)新知識(shí)應(yīng)有的順序，為今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

下面是這節(jié)課我的部分設(shè)計(jì)：

教師活動(dòng)1

在小學(xué)和初中我們對(duì)集合這個(gè)次已經(jīng)有了一些粗略的了解，例如：一個(gè)含有未知數(shù)的等式的解的集合，簡(jiǎn)稱為這個(gè)等式的解集。平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓。

觀察下面例子中的集合，指出研究對(duì)象是什么？

（1）1～20內(nèi)的質(zhì)數(shù);

（2）本班高一2班的全體同學(xué);

（3）我國(guó)的直轄市

（4）方程的所有實(shí)根

學(xué)生活動(dòng)1

指出每個(gè)集合中的研究對(duì)象分別是什么并加以定義“元素”，小組討論，注意語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性，進(jìn)而總結(jié)得出集合的含義。

活動(dòng)意圖說(shuō)明：通過(guò)實(shí)際例子，對(duì)比、分析、討論和總結(jié)研究對(duì)象得出集合的概念。例子的設(shè)計(jì)目的是從學(xué)習(xí)之初就讓學(xué)生理解研究對(duì)象并不一定是數(shù)字，也有可能是生活中的元素。從實(shí)際中加以總結(jié)得到概念，學(xué)生由淺入深理解概念。

教師活動(dòng)2

指出下列元素是否構(gòu)成集合，如果是，指出集合的元素

（1）“math”中包含的字母

（2）我們班中比較高的同學(xué)

（3）中國(guó)的“新”四大發(fā)明

（4）大于的整數(shù)

（5）不等式的正整數(shù)解

（6）方程的解的集合

（7）到一個(gè)角兩邊距離相等的所有點(diǎn)

學(xué)生活動(dòng)2

學(xué)生進(jìn)行小組合作，先自己在學(xué)案上標(biāo)注出哪些是集合，再小組內(nèi)合作得出最終結(jié)果，組長(zhǎng)進(jìn)行匯報(bào)。由（1）和（2）的對(duì)比得到集合中元素的確定性。老師提問(wèn)“思考（3）中的：高鐵、掃碼支付、共享單車(chē)和網(wǎng)購(gòu)，有順序嗎？”得出集合中元素的無(wú)序性。由（5）“1，2”兩個(gè)元素，得出集合中元素的互異性。由（6）發(fā)現(xiàn)集合中如果沒(méi)有元素，稱為空集。由（7）感受除數(shù)集外的點(diǎn)集。

活動(dòng)意圖說(shuō)明

在了解了集合的概念和元素的概念后，進(jìn)一步加深對(duì)集合的理解。本設(shè)計(jì)通過(guò)生活中和數(shù)學(xué)上的例子，讓學(xué)生對(duì)比、思考、總結(jié)得到集合中元素的三個(gè)性質(zhì)，并簡(jiǎn)單了解集合的分類：空集、有限集、無(wú)限集。引用大量實(shí)例的目的是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，形成更加深刻的概念理解。

例1：選擇合適的方法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然數(shù)組成的集合

（2）大于3的有理數(shù)的集合

（3）滿足不等式的解集

例2：判斷下列集合是否是一樣的？

學(xué)生回答

在實(shí)例的背景下，學(xué)生可以得出哪些可采取描述法和列舉法，哪些采用描述法，同時(shí)練習(xí)集合的書(shū)寫(xiě)和特殊數(shù)集的符號(hào)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)使用習(xí)慣。學(xué)生對(duì)于例2的第一問(wèn)題往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這時(shí)我會(huì)讓同學(xué)回答，表達(dá)自己的想法，從中讓程度好的同學(xué)得到語(yǔ)言上的提升。

活動(dòng)意圖說(shuō)明

由上題中的例子中對(duì)比學(xué)習(xí)集合的列舉法和描述法，辨析兩種方法的區(qū)別和適用條件。例1的目的是突破本節(jié)課的難點(diǎn)，集合的表示法，教師板書(shū)書(shū)寫(xiě)格式。例2通過(guò)具體題目，引導(dǎo)學(xué)生使用集合的定義來(lái)判斷相等集合，并注意每個(gè)集合的元素是否是同一類型。

布置練習(xí)

練習(xí)1：求不等式的解集

練習(xí)2：下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）

練習(xí)設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明

對(duì)于各梯度水平的同學(xué)，我設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓這節(jié)課剛學(xué)會(huì)集合概念的同學(xué)做題時(shí)有做對(duì)的成就感，讓學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)行更深入的探究和思考，目的是讓每個(gè)同學(xué)都能有收獲有提高。

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（北京市東直門(mén)中學(xué) 北京 100000）