當“翻折”邂逅“多解”

孫春紅

摘?要：翻折是初中數學常考題型，翻折類的題目也可以有多種解法.而一題多解是提升學生數學素養，感悟數學思想的有效途徑;通過多角度思考和挖掘解題過程不僅有利于提高學生的思考能力，更有利于實現知識知識內部融會貫通，進一步提高學生的發散思維，增進學生對于數學知識的理解，感受數學的價值及知識間的內在聯系.

關鍵詞：數學素養;舉一反三;融會貫通

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）17-0002-02

本文以蘇科版七年級下冊第42頁第七章復習題第19題為例，探索一題多解，可以提高學生的舉一反三能力，激發學生尋找最優解的動力，可以更好地提升學生數學素養，有利于提高學生的發散思維和創新精神.

題目?如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置.探索∠A與∠1+∠2之間的數量關系，并說明理由.

方法一：用三角形的內角和定理和鄰補角的知識

分析?如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.要求∠A與∠1+∠2之間的數量關系，可以從問題出發，思考∠A如何表示，∠1，∠2如何表示.在△ADE中∠A=180°-（∠3+∠5），∠1=180°-（∠3+∠4），∠2=180°-（∠5+∠6）.

解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.

設∠3=∠4=x， ∠5=∠6=y，因為在△ADE中∠A=180°-（∠3+∠5），所以 ∠A=180°-（x +y）.

因為∠AEA′與∠1互補，所以∠1=180°-∠AEA′=180°-（∠3+∠4）=180°-2x.

因為∠ADA′與∠2互補，所以∠2=180°-∠ADA′=180°-（∠5+∠6）=180°-2y，即∠1+∠2=360°-2（x +y）.

所以∠1+∠2=2∠A.

方法二：用三角形的外角解決問題

分析?如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角，而且∠BED既可以用∠A和∠5表示，又可以用∠1和∠4表示;同理∠CDE可以用∠A和∠3表示，也可以用∠2和∠6表示.根據等式的性質可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數量關系.

解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角，所以∠BED=∠A+∠5，∠CDE=∠A+∠3.

又因為∠BED=∠1+∠4，∠CDE=∠2+∠6，所以∠A+∠5=∠1+∠4 ①，∠A+∠3=∠2+∠6 ②.

①+②得2∠A+∠5+∠3=∠1+∠4+∠2+∠6，即2∠A=∠1+∠2.

方法三：用平角和三角形的內角和定理

分析?如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.由∠AEB=180°可知∠1+∠3+∠4=180°，由△A′DE的內角和為180°，可知∠A′+∠4+∠6=180°，再根據等式的性質，可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數量關系.

解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為∠AEB=180°，△A′DE的內角和為180°，所以∠1+∠3+∠4=180°，∠A′+∠4+∠6=180°， 所以∠1+∠3=∠A+∠6. ①

同理 ∠2+∠5=∠A+∠4. ②

①+②得∠1+∠2=2∠A.

方法四：三角形內角和定理和平角的知識

分析?如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.由于△ADE的內角和為180°，∠A可以用180°-（∠3+∠5）表示，而∠3可以用∠1的代數式表示，∠5可以用∠2的代數式表示，再經過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數量關系.

解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為在△ADE中∠A=180°-（∠3+∠5），而∠3=12180°-∠1=90°-12∠1，∠5=12180°-∠2=90°-12∠2，所以∠A=180°-90°-12∠1-（90°-

12∠2），即∠A=12（∠1+∠2）.

方法五：運用四邊形的內角和和三角形的內角解決問題

分析?如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠1+∠2也在四邊形BCDE中，由四邊形BCDE的內角和為360°，可以表示出∠1+∠2，而其中∠4+∠6和∠B+∠C又可以分別用∠A表示，再經過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數量關系.

解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為四邊形BCDE的內角和為360°，所以∠1+∠2=360°-（∠4+∠6+∠B+∠C）.

因為△ADE和△A′DE的內角和為180°，所以∠4+∠6=180°-∠A′，∠B+∠C=180°-∠A，所以∠1+∠2=2∠A.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]楊裕前，董林偉.數學·七年級·下冊[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2012.

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