一道解斜三角形的高考題的多種解法

簡璐

2019年數學高考全國3卷的18題是一道解斜三角形的問題，且文理同題。此題與歷年高考試題保持一致性，是以解斜三角形為載體的三角形求角，求面積的范圍問題。題型規范，題面簡潔，問法熟悉。試題綜合考查三角公式、函數、不等式的內容，看似熟悉的題目蘊含著豐富的數學思想，兩個小題都有多種解法，為考生的思維發散提供了廣闊的空間。并且取值范圍問題涉及角的范圍，分式函數的范圍問題的處理，有很好的區分度和甄別性。

考生呈現多種解法，能數出十幾種之多，有的大同小異，可視為一種;有的過于繁瑣，不予采納;有的想法太特殊，不適用于絕大多數學生，不在此贅述。經過歸納梳理，第一問有3種解法，第二問有4種解法，分析如下。

評析此法從正弦定理入手，結合誘導公式，將題干的等量關系轉化為角B的三角等式，減少未知量個數，易于求解。其中②是關鍵結論。此法自然順暢，是大部分學生會采用的方法。需注意等式兩邊相消時不等于0的判斷，可獲滿分。

評析此法得出①之后，關注半角與單角的關系，采用平方策略轉化為單角與倍角關系，結合誘導公式解出;或者轉化為關于cosB的一元二次方程解出。由于都采用平方策略，所以歸為一法，與解法1比較略為復雜，而且平方擴大了范圍，會引起增根，容易因為不完善被扣分。

評析此法與解法1，解法2比較最為簡便，計算量很小。但是在作業批改過程中少見，原因是大部分學生受定勢思維影響深，解斜三角形問題中誘導公式、升降冪公式、先求三角函數值再求角等手段運用較多。當一個簡單的三角方程呈現在學生面前時，卻沒有被識別，走了彎路。反思教學過程，從側面反映兩個問題，一是學生對于三角方程不敏感;二是解題時，學生往往還沒有弄清楚“是什么？”，就急于按套路往下走，是不良的解題習慣，要糾正。當題目有多種解法時，學生能否選擇較為簡捷的途徑解決問題是學生具備數學建模、數學抽象、數學運算素養的綜合體現。

評析此法借助正弦定理將三角形的面積表示為關于tanC（或tanA）的函數關系，轉化為函數值域問題求解，其中銳角三角形得到C（或A）的范圍是第一難點，處理分式的范圍是第二難點。以tanC為變量的表達式因為只有一個位置含未知量，范圍易求得，以tanA為變量的表達式因為分子分母都有未知量，過程會繁瑣，易錯。

評析此法由余弦定理入手，借助B已知得到a，b的二元二次方程，即b可以用a表示，又由銳角三角形得到不等關系，轉化為a的不等關系，a的范圍易求，三角形面積的范圍求得。比較解法1，此法的優勢在于避免分式范圍的處理，解題難度降低，角的范圍限制變成邊的范圍限制，注意有兩組不等式需要考慮，這是易錯易漏點。

評析此法運用極限的思想，將臨界狀態看做特值處理，求出臨界狀態，就求出了范圍。思路巧妙，運算量小，是高手的解法。此法在小題中時常使用，在解答題中能把道理講清楚，也是可行的。

評析此法運用數形結合，找到滿足題意的三角形的臨界狀態，直觀快捷，計算量很小，是非常好的解法。此法在小題中也時常使用，注意在解答過程中，使用數形結合時一定要配上圖形，也是很完美的。

小結三角函數專題的知識內容包括①三角函數的定義、圖像與性質，三角方程與三角不等式;②三角公式;③解斜三角形（正余弦定理，三角形面積公式），在高三一輪復習中首先要掌握這些基本知識點以及知識點間的關聯。由于三角函數專題知識靈活多變，處在其他多種專題知識的交叉點上，是綜合考查學生能力和素養的好載體，所以在后續復習中，應善于開展“一題多解”教學。一方面學生已具備相當的知識總量，有基礎、有能力在解題時采用不只一種解法;另一方面“一題多解”教學鼓勵學生發散思維、創新思維，生生之間，師生之間的互相啟發和思維碰撞，留給學生足夠“悟”的空間，在高三復習階段發揮著不可替代的教學功能。在解題教學中，讓學生打開眼界，看盡量多的可能性，是學生和老師共同努力的方向。

參考文獻

[1]竇志民，曹湘江.高考數學萬能解題法[M].北京：化學工業出版社，2012.10.

[2]鄢宇生，胡典順.例談化歸思想在數學解題中的運用[J].數學通訊（上半月），2019（1）：6-8.