函數思想在高中數學解題中的應用

王鵬

摘?要：函數思想是高中數學教學中的重要思想之一，是數學學習的靈魂，貫穿整個教學過程.新課標改革背景下強調“教師教學過程中除了注重知識傳授外，還要關注學生學習方法、思想情感以及價值觀的培養，提高學生問題分析與解答能力.”在此背景下，探究函數思想在高中數學解題中的應用，不僅為學生數學學習提供了思想指導，還有利于突出重難點，滿足新課標教學要求.為此，本文結合具體解題過程，分析函數思想的應用策略.

關鍵詞：函數思想;高中數學;解題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0051-02

函數是高中階段數學知識的一項重要板塊，在生活形態中屬于量與量之間的變換，能夠為其它知識學習提供向導作用.為此，利用函數思想優化學生解題過程，提高解題能力，不僅是實現函數思想滲透的一種關鍵途徑，更是高中數學教學的一大特色與魅力.

一、函數思想相關分析

函數是數學的基本概念，是函數思想發展的基礎.因此，教師在應用函數思想輔助解題時，必須充分了解函數有關定義及性質，具體包括周期函數、單調遞增/遞減函數、奇/偶函數、一次函數、二次函數、指數函數（如圖1）、對數函數（如圖2）等，在此基礎上體會函數思想.

在高中數學中，許多知識中都體現了函數思想，包括方程、不等式、線性規劃、隨機變量、算法等，可謂是無處不在.在解題教學中，教師要注重分析不同知識與函數之間的關系，尋求函數思想運用的切入點.

二、函數思想在高中數學解題中的運用過程

1.引用函數單調性，求解不等式問題

函數與不等式屬于兩個性質完全不同的知識結構，在高中數學教學中，它們卻有著密切的聯系.不等式性質很大程度上反映了函數單調性.因此，在解題教學中，教師可以利用函數思想引導學生用函數的觀點審視不等式，更好地把握不等式本質特征.為此，在筆者看來，不等式中最值與恒成立問題是函數思想滲透的切入點.相關例題如下：

例1?對任意x∈[-1，1]，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范圍.

首先，帶著函數思想進行審題，發現該問題的本質可以概述為“在某一閉區間上有參數的二次函數大于零恒成立的問題”.其次，借助分類討論思想先將x∈[1，1]根據對稱軸x=4-a2進行分類，分為1<4-a2、-1≤4-a2≤1、4-a2<-1三大段，討論它在函數的遞增、遞減區間上f（x）值的情況，分別求出a的取值范圍，綜合出a的最終取值范圍a<1.由此以來，在解題時不需要再討論Δ<0的情況，不僅能夠使每種情況不被遺漏，還可以提高解題的精確度.

2.引入函數解析式，求解數列問題

高中階段學習的等比、等差數列本就是一類自變量為正整數的特殊函數，與函數思想有著密切的聯系，不同的數列問題中無形中會隱藏著函數的某種特征.利用函數思想求解數列問題也是歷年高考中的重點考題.利用函數思想求解數列問題的途徑有很多，比如求解等差數列前n項和的最值問題時，可以將Sn看做關于n的二次函數，運用配方法，引入函數單調性知識解決問題.為了從“形”上幫助學生充分認識函數思想與數列知識之間的關系，本節以函數解析式的運用為例，分析相關數列問題的求解.

例2?已知a1=1，a2=a3=a4=0，求數列{an}的通項公式.

從函數思想角度分析來看，數列{an}與n之間存在著某種函數關系，可以將an看做f（n），列出函數解析式：f（n）=0（即an=0），此時n是f（n）=0的根，也可以稱作零點.原問題的求解過程就可以設出an的表達式：an=k（n-2）（n-3）（n-4），根據已知條件：a1=1，運用待定系數法，求出k的值為-16，從而得出數列{an}的通項公式.

3.引入函數與方程聯系，求解零點問題

函數思想是處理“數學型”問題的一種思維方法，描述的是現實生活中數量之間的變化關系.在問題解決中，從實際情境中建立對應函數模型，運用函數基本知識，實現問題的解決.方程類知識在教學中也孕育了函數思想，它的本質在于研究問題在運動中的等價關系，一般情況下習慣首先明確給出的未知量與已知量之間關系，通過構建方程或方程組，由未知量推導出已知量.雖然兩者看起來本質不同，但在實際操作中常常互相滲透，函數間的關系與方程之間可以互相轉換.

例3?已知函數f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R），討論函數f（x）的零點情況.

通過審題發現，函數f（x）并不是所熟悉的函數模型，解析式包括對數、冪函數，此時需要首先確定函數定義域x∈（0，+SymboleB@

）.接下來引導學生對原函數進行變形，變為f（x）=x（lnx-ax-1）（a∈R），同時用g（x）表示“lnx-ax-1”，二次變形為f（x）=xg（x）.因為x≠0，因此對函數f（x）零點的討論可以轉為對函數g（x）零點情況的討論.解題過程進行到這一步時，引入函數思想中與方程之間的聯系，將對g（x）零點的討論等價轉化為討論方程lnx-ax-1=0的根的情況.但方程仍然不是我們熟悉的方程，此時可以重新從函數角度進行審視，將方程轉化為lnx-1x=a的形式，求解y=lnx-1x與y=a交點橫坐標，從而得出原函數f（x）的零點情況.

綜上所述，函數思想在高中解題過程中的運用，不僅展現了函數知識與其它板塊知識之間的聯系，還為解題提供了新思路，有利于培養學生創新意識，提高解題能力.為此教師要重視函數思想的滲透，優化解題過程.

參考文獻：

[1]朱兆軒.函數思想在高中數學解題應用中的再思考和實踐[J].數學學習與研究，2018（22）：124.

[2]何介.如何將函數思想融入高中數學教學[J].數學學習與研究，2019（05）：90.

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