大學數學知識在數學建模中的應用的調查與研究

黃磊雪 莊荔婷 王毅 國歌 楊博

摘要：本文通過調查分析高等代數、數學軟件在數學建模中的應用，以及舉例說明SEIR模型在預測新冠肺炎傳播情況的應用，具體論述大學數學專業在數學建模中的應用的調查與研究。本論文提出的思想對于理解數學建模和大學數學課程之間的聯系起到一定的促進作用。

一、引言

“大學數學”是絕大多數專業的必修課，是許多高等教育課程的基礎;“大學數學”思想作為“數學”思想的高級層面，同時在金融、計算機、建筑等各行各業應用廣泛。將抽象的思想落實到具體的技術中，我們需要一個“模型”，類似于把無形的水注入有形的容器;制作這個“模型”的過程，稱之為“數學建模”。

二、在數學建模應用中的重要性與必要性

數學建模就是將我們生活中難以解決的復雜的實際問題，對其構建數學模型，根據數學知識進行推理、證明、求解、得出結論，并將解得的結果代入原問題中進行驗證，使實際問題得以合理解決。通過大學數學專業數學分析、高等代數、解析幾何等學科的學習，我們已經學習了簡單行列式、函數連續性、可導性以及立體幾何的求法等相關的基礎知識，這為我們在數學建模中簡化模型、處理數據打下了良好的基礎。

（一）數學建模與建模意識

培養學生數學建模能力的關鍵是把實際問題能夠合理的抽象成數學問題。首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理，在這過程中，需要學生有敏銳的建模意識，并能根據實際問題合理忽略掉對實際問題影響較小的因素，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到將實際問題簡化為數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

（二）構建數學建模意識的基本方法

1.教師的建模意識的提高，教師在講述數學學科知識時可以有意無意將數學建模思想滲透到教學中。

2.數學建模教學應與教材相結合，可以將有關于數學建模的例題與大學學科知識相結合。

（三）通過構建建模意識培養創新思維

在數學學習中，構建學生的建模意識本質上就是培養學生的創造性邏輯思維能力，在建模活動過程中，培養學生獨立尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養學生的想象能力，直覺思維、創新思維等能力。

綜上所述，數學建模意識的培養可以激發學生的學習興趣，提高學生的各種能力，并努力提高學生利用數學手段來解決實際問題的綜合能力。只有這樣，才能使學生學到有用的數學，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣，才能把素質教育提高到一個新的水平。

三、調查分析

（一）高等代數在數學建模中的應用[1]

高等代數是數學專業的基礎課程，此課程所學習到的理論知識無論在大多數高等教育課程中，或是在解決實際問題中都有著廣泛應用;其中最顯著的就是特征值與特征向量。在現實問題中，往往影響一個事物的變化因素有很多，甚至一些因素對其造成的影響存在重疊的部分。而高等代數可以利用其本身的學科特點用較少的變量來代替較多的變量，進而簡便我們對于問題的分析與計算。其中，最常用的是主成分分析法（PCA）、因子分析（FC）以及獨立成分分析（ICA）等統計方法。

主成分分析法（PCA）利用正交變換將眾多的變量化繁成簡為幾個主成分變量。這幾個主成分變量之間既可以較完整的呈現原數據所要呈現出來的信息，也可以根據主成分及其相關數據計算出每一個成分所對應的權重比例，通過較少的變量來更優的解決問題。因子分析（FC）可以看作主成分分析的推廣，在大數據的觀測中將大量的觀測數據指標轉換為某些不相關且能代表總體的相關變量。而獨立成分分析（ICA）是上述兩者的拓展，更多處理數據的分離與恢復，數據之間的相對獨立性。

矩陣是高等代數課程的重點內容，通過矩陣的變換可將現實中觀測收集到的數據進行可視化表示。通過矩陣的變換可以對數據進行進一步的變換處理。將矩陣與線性方程組聯系起來可以對數據的最優問題進行分析。通過矩陣的線性變換可以找到滿足相關限制條件的最優解，借助運籌學知識解決一系列最優化問題。

（二）數學軟件在數學建模中的應用

數據分析是建立數學模型過程中重要的一個環節，建模初期面對大量的原數據，先對采集后的數據進行預處理，預處理后需要對已經規范化的數據進行數學分析，通過分析得到各屬性數據的關聯性，相關聯數據屬性可以通過可視化進一步得到層次清晰的多維圖形，做出清晰的可視化圖形使模型更加立體化，許多數學軟件都提供了強大的數據處理功能和繪圖功能，熟練掌握各類數學軟件對于數學模型的建立非常有利。

MATLAB是一款在數學建模中很常用的軟件，它的程序設計和圖形處理功能可以幫助我們更直觀的建立數學模型，符號運算和數值運算的功能大大節省了計算時間。它提供了面向不同領域而擴展的toolbox，不僅可以進行數值和符號運算，還可以處理數據分析、通訊工程、信號處理、圖形處理、神經網絡等。諸如系統辨識常用輸入信號、最小二乘參數辨識方法、極大似然參數辨識方法等，均可以在MATLAB中實現。[2]

還有一些提供特定數據處理功能的數學軟件，它們雖然使用范圍不夠廣泛但具有相應的特點。美國Lingo公司研究開發的一款專門用于求解最優化問題的軟件—Lingo。Lingo軟件不僅可以求解線性規劃和二次規劃模型，還可以用來求解線性和非線性方程。Lingo可以與excel，數據庫等數據存儲軟件交換數據，使用方便，是求解最優化模型的特定選擇。SPSS專門用于統計分析，可以從其他數據庫中讀入數據，導入數據方便快捷，不需要對原數據進行太多處理。隨著數據挖掘的逐步發展，一些技術的使用也逐步完善，數學軟件使這些技術變得簡單易操作。[3]

各類數學軟件對于建立數學模型的作用是立竿見影的，使用相應軟件可以在完成復雜的數學模型的建立過程中作為必要環節。數學軟件的熟練應用可以為我們省去很多的中間求解步驟，進而為我們問題的求解省去了大量的時間。

四、分析

由于模型存在誤差，且預測的跨度越大，預測的誤差可能越大。故我們可以引入強化學習的思想方法，對模型做動態訓練，最小化每一小步的預測誤差，以最大化中長期預測的準確度。同時，還可以結合不確定理論，來縮小數學模型與現實數據的差距，增強模型的魯棒性。然后我們可以用短期預測看離當前較近的重大衛生事件發展趨勢，用長期預測看離當前較遠的重大衛生事件發展趨勢。采用計算仿真來做重大衛生事件動態變化模擬，研究更貼切重大衛生事件發展實情的模型，考慮更多現實不確定性因素的影響。[4]

可以看出，大學數學知識與數學建模的結合解決了我們現實生活中很多困難抽象的問題。同時，大學數學知識中一些基礎的算法概念在數學建模中有很大的實踐應用，可以說，大學數學知識在數學建模中是十分有用的。

參考文獻：

[1] 段淵，李小琴，胡幗一，毛奕岑.高等職業教育數學課程教學中數學建模的應用研究——以廣東科技學院計算機專業為例.新課程研究，2007.5

[2]王軍鷹.數學軟件在數學建模中的應用，2019.10

[3]廖興.數學建模與數學軟件的應用，2013.4

[4]蘇保霞.新冠肺炎傳播的基本模型，2020

作者簡介：

黃磊雪（1999—），男，彝族，籍貫：貴州畢節，單位：沈陽師范大學數學與系統科學學院，研究方向：數學與應用數學。

項目名稱：大學數學知識在數學建模中的應用的調查與研究，項目編號L（B）2019286。