高考中數學建模問題的統計分析與解法探討

閆妍 楊小康 張麗麗

摘要：數學建模作為中學數學的核心素養，在中學數學學習中愈發重要。本文考慮通過對近年來高考中數學建模問題進行統計分析，并對求解方法進行分類探討，從而引導學生結合高考試題來學習數學模型知識，激發學生學習數學建模的興趣。

關鍵詞：高考;數學建模;統計分析

一、探究的背景與意義

隨著課程改革的深入發展，高考題型在改革，出題方向也在進行變化，解題的方法多樣，全面考查學生的數學能力。而數學建模還沒有引入到學生解決高考題的方法中，一些高中學校僅將數學建模知識作為了解內容或者活動課，并沒有培養學生的模型思想。因此，我們通過對高考中數學建模題目結合數學模型的方法進行分析和總結，引導和培養中學教師和學生初步熟悉應用模型解決問題的思路和方法，并以此為契機，推動培養數學建模能力的中學數學課程改革。

本文通過分析2008-2018年全國數學新課標Ⅰ卷，對所涉及的所有題型、分值分布做詳細統計，并結合陜西卷和江蘇卷對其中可用數學建模解決的問題進行分類和總結。對于高考中主要出現的數學模型，探討了如何結合數學模型的思想和方法進行求解，并給出數學建模類問題的求解建議，為高中學生提供幫助。

二、高考題中數學建模問題的統計分析

（一）題型分布

全國Ⅰ卷在2010年以后全國Ⅰ卷在解答題上有所改變，其中分為第一部分5道必做題，和第二部分3道選做題（任選1道解答），第一部分必做題每小題12分，第二部分選做題（任選1道解答）10分，總分值上仍保持150分。

陜西省在2006年到2015年是自主命題，2016年以后選用全國Ⅱ卷，其試題數量分布和分值情況都和全國Ⅰ卷相同，不同點在于難度低于全國Ⅰ卷。

江蘇卷是全國各省內難度系數最大的高考試卷。江蘇卷試題分為14道填空題和6道解答題。理科學生還有一道附加題，其中包括一道選做題和兩道必做題。文科滿分160分，理科滿分200分。其中包括70分選擇題 90分解答題和40分附加題（針對理科學生）。

（二）數學建模類題目統計

從近十年全國卷|中統計所涉及到的數學建模問題，通過對試卷上的題目進行深入分析后發現，高考中的題目側重于根據具體理論知識進行解題，涉及數學建模類的問題較少。

全國Ⅰ卷的難度屬于較難的類型，但從統計中可以看出，建模類問題涉及較少，考查形式趨于簡單。考生可以從相關問題中提煉出數學信息，在建立模型方面是較為簡單的。例如2011年求產品質量與利潤的關系，15年的利用散點圖建立回歸方程都屬于函數模型，15年米堆體積與高度問題屬于幾何模型，16年生產產品利潤之和最大值屬于線性規劃模型

陜西省在自主命題的近10年內，試題難度屬于簡單類型，相比于全國卷Ⅰ中的數學建模類問題明顯增多，建模難度方面也有所提高。其中涉及比較多的是函數模型，例如12年的領取樹苗往返所走路程的最小值，15年的拋物線上原始的最大流量與當前最大流量的比值的等問題，也有冶煉廠要生產鐵的最少費用問題的等線性規劃問題

江蘇省的試題難度較大，數學建模類的題目也考查較多，幾乎在每年的高考中都有涉及。例如：08年的污水處理廠選址，09年的交易中的滿意度問題，10年的電視臺高度測量等問題，這些題目類型與生活實例很貼近，同時對考生的建模能力要求很高，建模的難度也不言而喻。

通過對不同省份的高考數學卷進行題型分析。在其中涉及到模型問題的題目：函數問題、線性規劃問題、幾何問題的題目多一些，這些類型的題目可以用數學模型來進行求解，在此對其中的函數模型、線性規劃模型、幾何模型進行數量統計。

三、建模高考試題實例和學習建議

在平時的學習中考生要熟悉高中常見的模型、理解數學建模思想、掌握數學模型的方法和適用范圍，并多進行建模類習題訓練。針對像全國Ⅰ卷、陜西卷在構建數學模型時，題目中有較清晰的數學關系，考生可直接運用數學關系建立相應的模型進行解題。而對于復雜型建模問題，往往有許多數學信息與多種數學關系式交織在一起，考生需要從題目中的數學信息中剝離出不同的數學關系建立模型。

例如（2012年全國卷1第18小題第一問）某花店每支玫瑰花的進價為5元，售價為10元，賣不完的當作垃圾處理;（1）花店購進16支花時，求當天的利潤y（單位：元）與當天需求量n（單位：枝， ）的函數關系式;

（1）問題分析：

本問題屬于分段函數模型，在進行求解時要根據自變量的范圍選取適當的函數模型，將所解決的實際問題轉化為函數模型問題，從而更加熟練的掌握條件和模型之間的轉換關系.在題目中可以建立數學模型來求利潤和需求量之間的關系。同時不需要考慮其他因素對利潤與需求量的影響。

（2）正比例函數模型建立和求解：

由題可知，賣出一朵玫瑰花的利潤為5元。我們先假設所有的花都能賣完，則賣出的枝數和利潤是成正比關系的。可以用 表示。

賣出一朵玫瑰花的利潤為5元，那么賣出16朵就是 元。將帶入函數模型中求解可得，這個正比例函數模型的表達式為： ;

那么我們再來考慮需求量n，當一天購進的玫瑰花數目大于16枝時，也就是賣不完，當作垃圾處理。則大于16枝以上的玫瑰花既賺不到錢也虧不了錢，那么利潤y不變，仍為80元。

（3）一次函數模型建立和求解：

當一天購進的玫瑰花數目小于16枝時，就屬于實際購進數小于需求量;每少一枝，利潤就減少5元。此時我們建立一個利潤為y，需求量為n的一次函數模型。函數解析式為 。

當購進15枝時，需求量是16，利潤為 元;當購進14枝時，需求量是16，利潤為 元;將 、 帶入模型中求解可得： ;

綜上，當天的利潤y關于當天需求量n的函數解析式為

（4）總結：分段函數在做的過程中要找到自變量的臨界值，在自變量臨界值左右所選取的數學模型是不同的，這一點是區別與其他類的，然后根據自變量的范圍建立對應該段的數學模型。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2017

[2]梁遠榕.運用建模思想解高考數學應用題[J].數學學習與研究.2010.12（2）：

項目名稱：陜西省教育科學規劃項目“基于新課標的中學數學建模實踐活動研究（項目編號SGH18H298）”

第一作者簡介：閆妍，西安文理學院信息與計算科學專業15級1班學生。

通訊作者簡介：楊小康，陜西華陰人，西安文理學院信息工程學院講師，主要從事數學建模的研究。

張麗麗，西安文理學院數學與應用數學專業17級1班學生。