順理成章真的就“順”嗎？

一、緣起：研討課的“順”，常態(tài)課的 “惑”

最近學(xué)校開展了研討課的活動，六年級一位老師選擇了《圓的面積》一課，所使用教材是人教版：先讓學(xué)生通過剪拼法把圓轉(zhuǎn)化成長方形，再推導(dǎo)出圓的面積公式，最后運用公式解決實際問題。這節(jié)研討課顯得很成功，特別在公式的運用、練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，學(xué)生的作答情況也很不錯，知道套用公式，計算出正確答案，出現(xiàn)的問題主要是個別學(xué)生沒有先求出半徑。由此看來，運用圓的面積公式解決實際問題學(xué)生是比較容易掌握的，在圓的面積公式推導(dǎo)后，運用公式把數(shù)字套入進(jìn)去算出答案就是順利成章的了！

然而，當(dāng)帶著這樣 “理想”的期望回到自己班級時，卻發(fā)現(xiàn)在圓的面積公式運用時，除了碰到忘記先求半徑這樣的錯誤之外，學(xué)生困惑的地方更多的則是在計算上面。其中，出現(xiàn)了這樣的解答過程讓學(xué)生在課堂的后半段展開了一場“大討論”，如圖1、圖2：

二、發(fā)現(xiàn)：“惑”之所在，“不順”之因

實際上對于這個題目的解答，理想的情況是能直接寫出102，也就是100，再用3.14乘100。對于以上兩種解答，反映的是學(xué)生對一個數(shù)的平方，特別是常用數(shù)字的平方數(shù)值的知識缺失或者不熟練。然而，面對這兩種解法，有學(xué)生認(rèn)為第二種分步的方法是錯誤的，理由如以下：“通過剛剛圓的面積公式的推導(dǎo)，我們知道圓的面積就是由長方形的長（πr）乘長方形的寬（r）得到的，現(xiàn)在先算出來的r×r表示什么呢？ 100的單位是米還是平方米呢？”

面對學(xué)生這樣看似 “有理”的解釋，怎么倒回來也顯得圖1里面把102拆成10×10來計算也好像顯得不正確了，那么由長方形的長（πr）乘長方形的寬（r）得到的圓的面積公式是不是也得寫成πr×r，而不能寫成πr2了呢？答案顯然不是，到底教學(xué)時圓的面積公式的推導(dǎo)到底哪里出問題，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)識不清、理解不透，遇到原本可以簡單帶過、把數(shù)字套入公式直接計算這樣順理成章的過程竟然碰到了困惑，不“順”了呢？

三、行動：平方不是“累贅”，是真的“好使”

1.對比教材，找準(zhǔn)“順應(yīng)點”

縱觀幾個版本教材，發(fā)現(xiàn)在圓的面積公式推導(dǎo)和運用圓的面積公式進(jìn)行計算、解決實際問題上有所差異，各有側(cè)重，具體如以下：

教材版本?圓的面積公式推導(dǎo)?運用圓的面積公式計算、解決實際問題

人教版?轉(zhuǎn)化：長方形

例題：已知直徑，求圓的面積

例題：圓環(huán)的面積

例題：圓中方、方中圓

北師大版?估算：

數(shù)方格（圓內(nèi)正方形和圓外正方形）?例題：已知半徑求圓的面積

轉(zhuǎn)化：平行四邊形或長方形?例題：已知圓的周長求圓面積

蘇教版?估算：

數(shù)方格（以半徑為邊長的小正方形）?例題：已知直徑求圓的面積（遞等式）

轉(zhuǎn)化：長方形?例題：已知圓的周長求圓面積

例題：圓環(huán)的面積

冀教版?轉(zhuǎn)化：小三角形?例題2個：已知直徑求圓的面積（遞等式）

例題2個：已知周長求圓的面積（遞等式）

轉(zhuǎn)化：長方形?例題：選臺布方中圓

例題：圓環(huán)的面積

浙教版?估算：圓中方和方中圓?例題：已知半徑、直徑求面積

轉(zhuǎn)化：長方形、梯形、三角形?例題：圓和正方形

比較各版本對圓的面積的知識編排，發(fā)現(xiàn)：

1. 如果學(xué)生把半徑的平方 “拋諸腦后”，一直沿用“把半徑的平方拆開計算”這樣的方法，一方面會讓計算變得較為繁瑣;另一方面在后面學(xué)習(xí)圓環(huán)的時候就會碰到比較大的“麻煩”！因為在后面的教學(xué)中，需要運用圓的面積公式推導(dǎo)出很多的新公式，如：圓環(huán)面積公式π（R2-r2）、方中圓兩個圖形之間的面積公式0.86r2等;

2. 學(xué)生不理解“在圓的面積公式中r2表示什么？”主要是因為人教版教材把圓中方、方中圓的知識安排在后面，教師教學(xué)時又沒有把“數(shù)格子”的思路或者方中圓的知識進(jìn)行滲透，所以學(xué)生缺失了方中圓這個思維的“順應(yīng)點”，最終導(dǎo)致對圓的面積公式理解不透徹，認(rèn)識不清。

2. 順應(yīng)“思維”，尋找錯因

回顧本文前面所提到的圖1、圖2的解答過程，再分析這種解答方法（如圖），它們都是把一個數(shù)的平方拆開成一個算式。從中，可分析發(fā)現(xiàn)：

（1）一個數(shù)的平方本身就代表了一種運算，具有一定的抽象性和概括性，對學(xué)生來說具有一定的難度，把這個知識和符號π結(jié)合，難度更大，對學(xué)生的符號意識是一個不少的 “挑戰(zhàn)”;

（2）學(xué)生是在五年級的時候?qū)W習(xí)和運用過平方和立方，六年級再來運用，存在銜接上的“斷層”;

（3）學(xué)生之前面對平方和立方時，習(xí)慣是把它們拆開進(jìn)行計算，如計算正方體的體積，學(xué)生一般的做法是：V正=a3=43=4×4×4=16×4=64。按照這樣的計算習(xí)慣，在碰到圓的面積公式計算時，就出現(xiàn)了上面看似“不簡便”的計算方法。

3.“順勢”而上，改進(jìn)教學(xué)

（1）課前復(fù)習(xí)平方，做好鋪墊準(zhǔn)備

在教學(xué)圓的面積公式前讓學(xué)生回顧平方的概念，如在課前讓學(xué)生熟練1-9的平方，為公式的變形和簡化推導(dǎo)做好鋪墊，在公式應(yīng)用時，也能讓學(xué)生避免繁雜的計算，幫助學(xué)生進(jìn)行公式的正向強(qiáng)化和遷移。

（2）對比優(yōu)化，感受平方所帶來的計算上的簡潔和符號之美

在應(yīng)用公式時，除了要關(guān)注學(xué)生是否能正確列式，教師也應(yīng)重視學(xué)生的計算，防止“重結(jié)果，輕過程”現(xiàn)象的發(fā)生，使得公式的應(yīng)用教學(xué)“走過場”！例如：可以把學(xué)生的典型計算過程進(jìn)行對比，讓學(xué)生通過比較，真正感受平方存在的必要性和公式的簡潔性。

（3）教師發(fā)揮引領(lǐng)示范作用，幫助中下生跨越知識“鴻溝”

相比人教版教材（圖4），蘇教版教材（圖5）和冀教版教材（圖6）在教學(xué)公式運用時，例題呈現(xiàn)的是遞等式的形式，給出了詳細(xì)的計算過程。教學(xué)時，教師也應(yīng)該發(fā)揮引領(lǐng)示范的作用，給學(xué)生示范“先計算出半徑的平方，再用半徑的平方乘π”這樣一個完整的過程，讓中下生進(jìn)一步明確平方的作用和計算方法，避免在練習(xí)時平方變成了學(xué)生眼中的障礙和累贅，最終被厭棄，被“拋棄”！

為了讓學(xué)生更好地感受公式的簡潔，體會數(shù)學(xué)的符號之“美”，教學(xué)時我們得進(jìn)行一定的引導(dǎo)！而對于圓的面積公式教學(xué)，相比于前面的圖形，我們應(yīng)更注重計算的教學(xué)，把公式的應(yīng)用教學(xué)落實到實處！

【參考文獻(xiàn)】

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東莞市寮步橫坑小學(xué) 梁靄玲