系統思維 整體把握

摘要：課堂教學的改革要求教師以新的眼光審視“數學工具”的內涵，數軸作為一項學習工具，用直觀而有效的方式帶給學生解決問題的方法和思路。目前小學數學教學中對于數軸的使用現狀卻是流于形式，存在誤區。如何適時、適度、適當地發揮數軸在教學中的價值？本文旨在厘清教育部審定（2013）人教版教材中“數軸”的使用素材梳理，結合自身的教學實踐，對小學數學教學中數軸的使用進行一次探究，傳承了數形結合思想，將數軸的內涵、應用價值與具體實踐相結合，多方面使學生來感悟數軸這一學習工具對于建立數感、拓展思維的意義。

【關鍵詞】數學工具; 數軸;數形結合; 數感

課堂教學改革給廣大教師提出了許多新要求，我們教師要以發展性的眼光審讀“數學工具”的價值取向。數軸是非常重要的數學工具之一，是學生進行數學學習活動的重要媒介。合理的使用數軸這一“數學工具”，能夠很好的滲透數形結合思想，對學生數感的建立，數學思維的發展起到積極的作用。

一、“數軸”緣起——“一道習題”引發的思考

【鏡頭再現】

人教版一年級上冊“11～20各數的認識”時，教材練習十七安排了這樣的一道習題：

筆者在聽課中發現：老師用的“填一填、對一對、讀一讀”是傳統教學中的“三步曲”，教學效果不佳，導致很多學生不會填寫。

簡單的填數練習，為什么結果會如此糟糕。筆者課后翻讀了教材內容，發現：這之前，教材沒有單獨介紹過“數軸”，學生很陌生，自然無從入手。

【課堂審視】在這堂課中，老師沒有用活教材，沒能讓學生學會自己去深入思考，獲得學習體驗。課后筆者查閱了相關資料，產生了以下幾點思考：

1.教師教法過于簡單，忽視了培養學生探究新知的學習能力。學生對于“第一次”

接觸有“數軸”的練習題應該是陌生而又充滿學習興趣的，而教師簡單化的教學操作，只停留在“填一填，對一對，讀一讀”的層面，忽視了學生在“數軸”這個特定的幾何圖形上認識數的能力探究。筆者覺得應該要適時引導觀察：“數軸上的幾個數是怎樣排列的？這些數排列的順序與箭頭的方向有什么關系？”。

2.習題價值挖掘不夠，失去了發展學生高階思維能力的機會。本道習題的意圖在于

引導學生學會在數軸上觀察數，體會數的順序，感受到數的大小關系，而教師沒有精準把握習題的意圖和挖掘出習題的真正價值，停留在一個低級水平層次的教學，使得學生失去了高階思維能力發展的機會。筆者認為，第一次教學這樣的習題，如果精準了教學目標，挖掘了深層次的價值內容，定會提高后續教學的驅動能量。

二、聚焦“數軸”——“一套書”的整體解讀

數軸作為一種特定的幾何圖形，是數形結合的重要載體之一。為了充分挖掘數軸這一直觀形象的教學資源，筆者對“數軸概念”和相關“數軸習題內容”進行了全面解讀和梳理。

1.“數軸”的概念解讀。數軸是基本的數學工具，是學生形成認知、經歷數學活動的重要媒介之一。教材中真正的數軸概念出現在初中一年級：“用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸”。

2.“數軸”的應用價值。在小學階段的學習中，學生或許并不清楚數軸的準確含義，但數軸早已和學生的學習形影不離。第一、借助數軸，學生能直觀地感受數的排列是有規律和方向的，感受數的順序性。第二、數軸上的“數量級”又能幫助學生認數、準確地判斷數的大小。第三、將計數與數軸圖像聯系起來，學生能深入理解運算的性質，為以計數為基礎的計算策略提供心理意象，滲透一一對應的思想。第四、數軸能體現間隔，并能使學生認識并判斷位置與方向等。數軸具有形象地認識數的完備性的作用，有效使用數軸，對學生的數學思想、數學方法，甚至是數學能力的培養，發展數感都有著不可估量的作用。

三、巧用“數軸”——“數感”的實踐思考

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：數感的主要表現是能用多種方法來理解并表示數的意義，能在具體的情境中，把握數的相對大小關系、表達和交流信息，能選擇適當的算法解決問題，會估計運算的結果，并解釋其合理性。

教材中的每條數軸都承載著提升學生數學思維的作用。在教學中，教師要深入理解數軸的使用價值，將數軸這一工具有意識地向學生逐步滲透，幫助建構認知，發展數感。

（一）點數對應，啟蒙數感

1.依托數軸，感知數的順序

數在數軸上的排列是有一定順序，有一定方向的，這是學生建立數感的邏輯起點。借助數軸上的數序，學生通過觀察對比，就能判斷出負數總是比正數小;真、假分數所在的區間范圍，決定了假分數肯定比真分數大;整數中位數多的數一定比位數少的數大等等。

比如：

在練習上面這道題時，教師并沒有急著讓學生填，而是先讓學生觀察已經給出的數，說說它們的大小，再觀察箭頭的方向，引導學生發現，越往箭頭方向，數就越大，從左往右，數是按從小到大的順序排列的。然后引導觀察“18”“19”兩個數，明確單位長度表示“1”。在這樣的理解下，學生填錯的概率就很小了。反饋時，讓學生自由表述解題的思考過程，理清思路，活躍思維。

生1：我知道10和12中間是11，所以第一個方框填11。

生2：我知道越往箭頭方向越大，所以12后面肯定比它大，但是又比14小，所以只能填13。

生3：我知道17比18小1，所以它肯定填在18前面一格;19后面肯定是20，因為19加1是20。

......

2.借助數軸，理解運算性質

所有的實數都可以用數軸上的一個點來表示，利用這一性質可以幫助學生探究運算的算理，理解運算的性質，體會各種運算之間的聯系與區別。

比如，除法可以看作是連續減去相同數的減法，就是在數軸上找到“被除數”，然后依次向左減若干個相同單位長度的數。如果減到最后恰好是0，就說明能整除，減的次數就是“商”，反之則是有“余數”，剩余幾余數就是幾。如下圖：

算式 12÷2=6 算式 13÷2=6......1

點數對應，用圖形化的方式表征運算的性質，不僅溝通了減法與除法的關系，更呈現了商及余數的來源，數軸的使用讓抽象的計算變得有“形”可依，為學生多樣化的計算策略提供了直觀參照。

（二）借軸操作，發展數感

1.鄰近原則，估算的意義一目了然

語文有預測，數學有估算，如出一轍，都是探索未知領域的法寶。“學生不僅要掌握估算的策略和方法，更要理解估算的意義，經歷估算的過程，提升估算的意識。”數軸上的單位長度是確定的，借助這一特征，讓學生在數軸上標出近似于某數的位置，是“四舍”還是“五入”就能直觀地呈現在學生面前，“近似數”的概念就一目了然了。

如人教版四年級上冊學習“近似數”時，課本上例7求地球和太陽直徑的近似數，我們就可以借助數軸來幫助學生理解。讓學生先找到12756在數軸上的大致位置，然后通過觀察發現其更接近于10000，所以得到12756≈10000，而1389000則更接近于1390000，實質上是萬位上的9通過“五入”得到的。通過直觀的呈現，學生自然就理解了“四舍五入”的方法，也就能運用自如了。

2. 對稱原則，負數的概念順理成章

負數概念的出現，是學生認識“數”的一次飛躍，自此學生的認數范圍拓展到了有理數。雖然學生在日常生活中已經不經意間接觸過負數，比如零下的溫度，電梯顯示的地下二層等，但這只是停留在生活經驗的感性認識，缺乏數學意義的理解。教學中，教師若能借助數軸引出負數的概念，那么學生的認識便會順理成章。

教學片斷：

師：你能在溫度計上找出零上5度和零下5度嗎？

生：0往上5格是零上5度，0往下5格是零下5度。

師：“0”的作用是什么？

生：“0”是分界點。

師：如果把溫度計橫過來變成一條數軸，你還能找到零上5度和零下5度嗎？你有什么發現？

生：我會先找到刻度“0”，往左數五格是零下五度，往右數五格是零上五度。

生：它們剛好相反。

師：對了，兩個看似相同的數字，前面加了不同的符號，意義就完全相反，數字前面加“+”（正號）表示正數，數字前面加“-”（負號）表示負數。

數軸不僅為學生理解概念提供了感性支撐，更讓學生體驗了“建模”的過程，提升了數學素養。借助數軸認識相反意義的量，對正負數概念的學習更直觀，印象更深刻。

（三）梳理體系，滲透數感

1.層層遞進，梳理知識

低年級的學生對于新知的學習往往是零碎、片面的，利用數軸可以把零碎的知識串聯起來，使之系統化。比如《20以內數的復習》就可以分步進行、依次推進。

一條看似簡單卻內涵豐富的“數軸”把20以內的數的知識都串聯起來，打破了“分裂”的復習模型，層層遞進，面面俱到。

2.串線成網，形成體系

數的概念出現于小學各個學段，知識點分散，學生很難自主理清其中關系。筆者認為教學中可以利用數軸，穿針引線，系統梳理，形成整體。

把數軸作為切入點，展開數的總復習，把小學階段關于整數、小數、分數、百分數的知識都“搬遷”至數軸上，不僅使原本分散的知識點得以梳理，也能在轉化中感悟有些數雖然單位不一樣，但它們表示的是同一個大小的數，由此發現這些數之間的關系。這樣由知識“軸”構成的知識“網”，架起了學生認知的結構，形成了學習的網絡，滲透了整體的數概念。

（四）遷移內化，體悟數感

1.縱橫交錯，感受對應

兩條相互垂直且有公共原點的數軸就能組成一個平面直角坐標系，而用一對有順序的“數”唯一地確定平面上的一個“點”，就能幫助學生在二維空間里確定物體的位置。

比如，五年級上學期學習《用數對確定位置》，讓學生根據陽光小區的平面圖用數對表示超市、書店，并依據數對在圖中標出學校、診所的位置：

利用數對到數軸的巧妙遷移，學生就能快速通過兩個數據來確定物體所處的位置。

通過形來研究數的特點，通過數來呈現物體的位置，縱橫相交的兩條數軸，不僅培養了學生的空間觀念，更讓學生感悟到了一一對應的思想。

2.聚焦放大，體驗無窮

在以往的教學中，“無限”的思想非常抽象，學生不易理解，數軸卻能攻克這一難題。比如，在五年級學習了《分數的通分》后，教師可以設計“找一找”的游戲，激發學生在數軸上找到符合要求的數。

師：找出一個比2/3小但比1/4大的數。

生（思考片刻后）：2/4，1/3。

師：你們能在數軸上表示出來嗎？

師：除了這兩個數，還有其它數嗎？

學生陷入了沉思，數軸上2/4，1/3的兩邊還有空隙，就“一定還有”，大家紛紛表示要把空隙的部分再“放大”，于是紛紛動起筆來：

層層逼近的問題讓學生對數軸的使用產生了強烈的渴望。隨著數軸的層層放大，學生驚喜地發現隱藏在其中的分數有無數個。這個找分數的過程極大地豐富了學生對分數的認識，深刻地感受了“無限”的思想，在頭腦中初步建立起無窮這一宏觀的數系結構。

教師要學會充分挖掘數學教材中的教學資源，精準把握教學目標，優化教學手段，巧借“數軸”這一學習工具，努力提升學生“數感”，培養探究新知的學習能力，為學生高階思維的發展提供可能。然而數軸只是眾多教學工具中的一種，也并非是建立數感、拓展思維的唯一途徑。我們應該以新的眼光審視“數學工具”的內涵，讓它們更好地服務于數學課堂。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012，1.

[2]王玉潔.試論北師大小學數學教材中的數軸使用方法[J].新校園旬刊，2016（7）：103-103.

[3]于蓉.關于教學中應用數軸的思考[J].課程教學研究，2015（8）：72-74.

[4]戴小軍.巧用數軸，演繹精彩課堂—“數的認識總復習”教學案例[J].小學教學參考，2014（20）：27-28.

浙江省杭州市淳安縣臨岐鎮中心小學卸嶺完小 方海燕