線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用初步探討

朱勇

摘 要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量與空間形式的科學(xué)，古典數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何和分析三大領(lǐng)域。其中線性代數(shù)這一代數(shù)學(xué)分支既包含代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又和幾何學(xué)密切相關(guān)，在理工農(nóng)醫(yī)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。文章結(jié)合應(yīng)用實(shí)例，著重探討了線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域;應(yīng)用

1研究目的與意義

線性代數(shù)，英文名為Linear Algebra，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支。代數(shù)的英文名Algebra，源自阿拉伯語，它的本意為“reunion of broken parts”，即“把打破的重聚”。因此，把許多看似不相關(guān)的事物聯(lián)系到一起并對其進(jìn)行高度抽象，這是代數(shù)的特點(diǎn)與用途。抽象的目的是通過代數(shù)把某些錯綜復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為人們熟知的數(shù)學(xué)模型，從而能夠更加快速簡便地解決問題。線性代數(shù)的研究內(nèi)容包括矩陣、行列式、線性方程組、向量、線性空間和線性變換等。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域得到了極大的拓展。以前只是在傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域中應(yīng)用，后來隨著時(shí)代的發(fā)展，迅速拓展到非物理領(lǐng)域（生物、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、社會學(xué)等領(lǐng)域）。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家嘗試將數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)緊密地聯(lián)系在一起，并通過對大量數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用，使得經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的理論研究工作取得了重大的進(jìn)展。在上述數(shù)學(xué)工具中，線性代數(shù)出現(xiàn)的頻率很高。本文致力于尋找線性代數(shù)與經(jīng)濟(jì)問題之間的密切關(guān)系，著重探討線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。

為了使讀者更加深入地了解線性代數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛性以及線性代數(shù)對經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域相關(guān)研究的重要推動作用，本文除了總結(jié)陳述前人的研究外，還列舉并分析了幾個(gè)實(shí)踐中的案例，以期能夠通過本文的研究促進(jìn)線性代數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，促進(jìn)社會經(jīng)濟(jì)與科技全面發(fā)展。

2實(shí)例分析

2.1矩陣運(yùn)算的應(yīng)用案例

矩陣的運(yùn)算中，人們比較容易接受和掌握矩陣的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算等運(yùn)算方法。而矩陣的乘法的算法相對來說非常特別，不易理解，但大量的矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用都是建立在矩陣的乘法之上的。矩陣的乘法廣泛應(yīng)用于各個(gè)方面，矩陣的乘法中不僅只有兩個(gè)矩陣相乘，還有多個(gè)矩陣相乘的情況，這里就多矩陣相乘在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例。

案例一支付資金流動問題

為了保證金融機(jī)構(gòu)的現(xiàn)金能夠足額支付，金融機(jī)構(gòu)在A市和B市的公司分別設(shè)立了基金，平時(shí)可以使用這筆基金，但是每個(gè)周末清算時(shí)必須保持總金額不變。經(jīng)過了長時(shí)間的現(xiàn)金流動，發(fā)現(xiàn)每周公司的大部分支付基金在流通過程中仍然留在本公司，然而每周A市公司有大約12%的支付資金最終流向B市公司，B市公司則有大約15%的支付資金最終流向A市公司。最初，A市公司的基金為106萬元，B市公司的基金有212萬元。按照這種規(guī)律持續(xù)下去，兩家公司的支付基金數(shù)額變化趨勢是怎樣的？若要求每個(gè)公司的支付基金高于130萬，則需不需要在必要時(shí)調(diào)動資金？

案例二模糊評價(jià)矩陣在分析經(jīng)濟(jì)影響權(quán)重中的應(yīng)用

評價(jià)方案或者成果時(shí)，其中需要考慮的因素非常多，并且某些描述難以明確地表達(dá)出來。在這個(gè)時(shí)候，就可以采用模糊評價(jià)方法來對事物從定性化的評價(jià)轉(zhuǎn)為全面且定量化的評價(jià)。因?yàn)槟：C合評價(jià)可以有效地解決許多難以量化的問題，所以它非常適合解決各種不確定性問題。模糊矩陣在模糊綜合評價(jià)中用于表達(dá)各因素的不同的隸屬度，最終利用該矩陣進(jìn)行運(yùn)算得出各因素的重要程度排序。

假設(shè)某家銀行為了計(jì)劃下一個(gè)年度的貸款投資重點(diǎn)，對甲、乙、丙、丁這四家企業(yè)的財(cái)務(wù)信用進(jìn)行了貸款風(fēng)險(xiǎn)的投資評估。評判企業(yè)財(cái)務(wù)信用的重要目標(biāo)因素為企業(yè)的人才儲備、經(jīng)營能力、盈利能力和償債能力，對應(yīng)的數(shù)值如表所示。通過模糊綜合評價(jià)決策出重點(diǎn)投資的四家企業(yè)排名。

2.2行列式在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用

行列式是指由一些數(shù)值排列形成的方陣經(jīng)過計(jì)算得出的一個(gè)數(shù)。

線性方程組可用于許多真實(shí)的案例中，例如互付工資問題。工資的相互支付問題是指在提供勞動力的過程中因?yàn)槎喾胶献魉a(chǎn)生的問題。在農(nóng)忙時(shí)，各家各戶的農(nóng)民組成了一個(gè)合作小組，大家一起完成每戶的耕作、種田和收割等工作。又比如，木工、電工、油漆工等組成了一個(gè)工作小組，共同完成各個(gè)家庭的裝修工作。因?yàn)椴煌墓しN所付出的體力勞動和腦力勞動是各不相同的，所以，我們有必要計(jì)算互付工資的標(biāo)準(zhǔn)去平衡各方的所得利益。

案例三互付工資問題

一個(gè)互助組由A，B，C三個(gè)農(nóng)民組成，每個(gè)人一共在小組成員家中工作6天（在自己家干活的天數(shù)也包含其中），使得他們?nèi)齻€(gè)人家里的所有農(nóng)活恰好完成，其中A在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：2，2.5，1.5;B在A，B，C三人家中都干2天活，C在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：1.5，2，2.5。根據(jù)三個(gè)人的工作類型、速度與時(shí)間，他們認(rèn)為他們?nèi)齻€(gè)人兩兩的支出與收入平衡，所以他們之間不用相互支付工資。然后，三個(gè)人在隔壁村莊分工合作干了2天活，而且每個(gè)人的工作類型和強(qiáng)度都不變，三人一共得到了500元工資。他們?nèi)绾魏侠淼胤峙溥@500元工資？

3結(jié)論與討論

3.1本文的主要結(jié)論

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)展越來越迅速，經(jīng)濟(jì)活動的實(shí)踐離不開數(shù)學(xué)，線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用線性代數(shù)主要是運(yùn)用其概念、性質(zhì)和思想等。文中的案例分為兩種，一種是直接應(yīng)用線性代數(shù)，另外一種是間接應(yīng)用線性代數(shù)。

1）.經(jīng)濟(jì)學(xué)中直接應(yīng)用線性代數(shù)。直接運(yùn)用線性代數(shù)來計(jì)算經(jīng)濟(jì)問題并可直接得出結(jié)果的，如用矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和矩陣的逆，行列式，線性方程組等概念或性質(zhì)直接用于經(jīng)濟(jì)問題中的數(shù)據(jù)，從而計(jì)算得到結(jié)果。這種應(yīng)用較為普遍，企業(yè)直接運(yùn)用線性代數(shù)，能夠找到?jīng)Q策的理論依據(jù)，不會盲目投入與生產(chǎn)，造成企業(yè)的經(jīng)濟(jì)損失。

2）.經(jīng)濟(jì)學(xué)中間接應(yīng)用線性代數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中間接運(yùn)用線性代數(shù)不是直接套用線性代數(shù)的公式，而是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中解決問題時(shí)自然而然滲透著線性代數(shù)的思想，例如用模糊綜合評價(jià)、層次分析法分析經(jīng)濟(jì)問題以及線性規(guī)劃等。間接運(yùn)用通常是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中把較難的問題利用線性代數(shù)的思想巧妙地解決，使復(fù)雜的問題簡單化。因?yàn)榇蠖鄶?shù)的經(jīng)濟(jì)問題都不可能只用線性代數(shù)的問題解決，通常還需要經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論知識和社會經(jīng)驗(yàn)等，不能夠直接運(yùn)用線性代數(shù)，所以間接運(yùn)用線性代數(shù)才是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用線性代數(shù)的主流。間接運(yùn)用線性代數(shù)來描述較為復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，例如國民收入、消費(fèi)、經(jīng)濟(jì)活動等，有利于人們正確把握社會經(jīng)濟(jì)活動的規(guī)律。

綜上，線性代數(shù)增強(qiáng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的可靠性、科學(xué)性、客觀性，使之得出的決策更加令人信服，為經(jīng)濟(jì)學(xué)家們更好地解釋和預(yù)測經(jīng)濟(jì)行為提供了一種更有利的手段，為人們的經(jīng)濟(jì)生活提供了正確的指導(dǎo)。

3.2本文優(yōu)點(diǎn)與不足之處

對于線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，本文歸納出了矩陣、行列式、線性方程組等知識的應(yīng)用，并進(jìn)行了一定的分析研究，加深了人們對線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用情況的了解。但是本文也存在著許多不足之處。最大的不足是缺乏大量的真實(shí)數(shù)據(jù)作為本文案例的支撐。由于企業(yè)對于數(shù)據(jù)的保密，無法從各種渠道得到適合且匹配的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的搭建，就只運(yùn)用了理論知識就某些簡化的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行舉例，具有一定的主觀性，有待創(chuàng)造條件深入研究，做進(jìn)一步的完善。

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