凸輪機構多項式運動規律的設計方法及仿真分析

王 剛，任子文，周 奎

(中煙機械技術中心有限責任公司, 上海 201206)

凸輪機構是機械行業中最常用的典型機構，它可以使從動件按規定的運動規律完成動作，把回轉運動轉變成直線移動或擺動。然而，凸輪機構在實際運用中存在部分問題，如剛性沖擊和柔性沖擊。沖擊不僅影響凸輪壽命，而且對主運動機構的力和功率等影響也很大。不同的運動規律所造成的沖擊程度也不相同[1]。因此，對凸輪機構從動件的運動規律進行研究是十分必要的。

凸輪機構從動件的運動規律包括代數多項式運動規律和三角函數式運動規律以及改進型、組合型運動規律。

常用的代數多項式運動規律有一次多項式(等速運動規律)、二次多項式(等加速運動規律)以及高階多項式運動規律。一次多項式運動規律存在剛性沖擊，只能用于低速輕載的場合；二次多項式運動規律存在柔性沖擊，只能用于中速輕載的場合；五次、七次以及更高階的多項式運動規律既沒有剛性沖擊也沒有柔性沖擊，可用于高速場合。由于加工工藝復雜，因此高于七次的多項式運動規律很少使用。

三角函數式運動規律有正弦加速度運動規律和余弦加速度運動規律等[2]。正弦加速度運動規律沒有剛性沖擊和柔性沖擊，可用于高速場合；余弦加速度運動規律存在柔性沖擊，只能用于中速輕載場合[3]。

雖然正弦加速度運動規律可以用于高速場合，但在有多個特殊運動要求的情況下，正弦加速度運動規律就不太容易求解了[4]，需要采用加控制條件的多項式運動規律。為得到符合設計要求且性能更好的運動規律，本文通過對位移、速度以及加速度的分析，在運動過程中分段加入合適的邊界條件以及其他約束條件，對多項式運動規律曲線進行分段優化設計，從而得到更精確、小沖擊、無過大功率變化的改進型多項式運動規律。

1 多項式運動規律的數學方程計算

如圖1所示，推桿位移S和凸輪轉角θ存在一定的運動關系，該關系如引言所述可以有多種運動規律。

本文論述的是多項式運動規律，其基本形式為：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+…+Cmθm

(1)

式中:C0，C1，C2，C3,…,Cm為使S和S的某些導數滿足運動過程規定的邊界條件的待定常數。式(1)中各次冪的相繼項目數應與決定凸輪運動所需的條件數相等[5]。

對式(1)進行一次求導可得到速度方程，二次求導得到加速度方程，三次求導得到躍度方程，直到更高的階次。在對通用機械的凸輪運動規律進行設計時，通常只需要保證速度及加速度連續即可，即設定起點和終點的約束條件為：當θ=0時,S=0,V=0,A=0；當θ=δ時,S=h,V=0,A=0。其中δ為凸輪轉角，h為推桿位移，V為推桿速度，A為推桿加速度。由上述6個邊界條件，可得該多項式方程為：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+C4θ4+C5θ5

(2)

將方程(2)對θ求導，得

V=C1+2C2θ+3C3θ2+4C4θ3+5C5θ4

(3)

將方程(3)對θ求導，得

A=2C2+6C3θ+12C4θ2+20C5θ3

(4)

將C0,C1,C2,C3,C4,C5的值代入式(2)、(3)、(4)，可得到位移、速度和加速度的運動方程為：

(5)

(6)

(7)

通過方程(5)、(6)、(7)可以看出，速度和加速度都是連續的。根據式(5)可以寫出多項式運動規律的位移方程通式[6]：

(8)

式中：n為起點的約束條件個數。利用終點的約束條件，即θ=δ時，S=h，V=0,A=0,…,可得用于計算各系數C的線性方程組:

(9)

運用代數運算，求得線性方程組(9)的解為：

(10)

式(10)是在給定起點和終點約束條件的情況下，對高次多項式運動規律的位移、速度、加速度等進行聯合求解而得到的各系數計算公式。當運動規律要求有特定的起點和終點約束條件時，只需要在式(10)中代入指定的值，便可得到相應的系數值。

2 附加約束條件的多項式運動規律設計

除了規定在邊界處有一個或幾個位移導數等于零的條件外，還可以給出起點或終點處一個或幾個位移導數的具體數值，這種具有更多約束條件的運動規律能夠嚴格控制凸輪機構的運動學性能[5]。現根據具體情況進行設計論述。

設定升—停—回型凸輪，運動循環圖如圖2所示，圖中δ1為凸輪升程轉角，δ2為停程轉角，δ3為回程轉角。回程時，凸輪旋轉δ31，推桿位移為h1；凸輪繼續旋轉δ32，推桿位移為h2；凸輪最后旋轉δ33，推桿位移為h3。其中h1+h2+h3=h，δ31+δ32+δ33=δ3。

圖2 運動循環圖

升程段沒有特殊的運動要求，根據多項式運動方程(8)正常求解即可。回程段時要求先進行一段加速運動，然后進行一段勻速運動，最后再進行一段減速運動，對于這樣的運動特性，目前通常采用圓弧拼接的改進型等速運動規律[6]。該運動規律的缺點是加速度不連續，會造成柔性沖擊。

2.1 對升程段進行求解

由于升程δ1段沒有特殊要求，那么在沒有剛、柔性沖擊的條件下，可定義其邊界條件為：θ=0,S=0,V=0,A=0；θ=δ1,S=h,V=0,A=0。

將n=3代入式(10)，可求得各系數的值，將各系數值代入式(8),從而得到升程段的多項式運動規律位移方程：

(11)

2.2 對回程段進行分段求解

凸輪回程δ3段由于存在多個設計條件，采用單一的多項式運動規律顯然不能滿足其運動要求，因此對其進行分段求解[7]。假設推桿位移為h1時，推桿速度為v1;位移為h2時，推桿速度為v2；位移為h3時，推桿速度為v3。

對h1位移段運動方程進行求解，為了保證接合處加速度曲線連續，在θ=δ31處的加速度應等于h2位移段的加速度，即A=0。為了便于計算，將升程和凸輪轉角無量綱化，即令最大升程和最大凸輪轉角都為1[8]，同時對速度也進行無量綱化表示，由于此時速度不為0，設定速度等于1，其邊界條件為：θ=0,S=0,V=0,A=0;θ=1,S=1,V=1,A=0。

將這6個邊界條件的具體值代入到式(2)、(3)、(4)，聯立求解得：C0=C1=C2=0;C3=6;C4=-8;C5=3。

由此得出位移、速度及加速度的多項式無量綱運動方程如下：

(12)

(13)

對h3位移段運動方程進行求解，為了保證接合處速度曲線連續，此段起始速度與h2位移段的速度相等，為了保證接合處加速度曲線連續，此段起始處的加速度應等于h2位移段的加速度。于是其邊界條件為：θ=0,S=0,V=1,A=0;θ=1,S=1,V=0,A=0。

運用h1位移段計算方法，可求得h3位移段的多項式方程為：

(14)

至此就求得了回程的三段多項式運動規律方程。

3 仿真分析及應用效果

在設計完多項式運動規律后，對其進行仿真分析，以確保該運動規律符合凸輪設計的基本要求以及附加的特殊需求。對各已知項進行賦值，通過第2節計算方法得出多項式運動規律方程，然后將運動規律方程導入仿真軟件，并與圓弧拼接的改進型等速運動規律進行對比。

圖3中曲線1為多項式運動規律生成的滾子中心軌跡線，曲線2為用圓弧拼接的改進型等速運動規律生成的滾子中心軌跡線。

圖3 圓柱凸輪展開圖

兩種運動規律的位移、速度以及加速度的運動曲線如圖4，5，6所示。

圖4 位移曲線圖

圖5 速度曲線圖

圖6 加速度曲線圖

由圖可以看出，本文求解的多項式運動規律，其速度和加速度曲線在整個行程中均無突變，說明該多項式運動規律既無剛性沖擊，也沒有柔性沖擊，同時也能嚴格滿足回程的分段控制要求。而用圓弧拼接的改進型等速運動規律，雖然速度連續，但加速度有突變，會造成柔性沖擊，而且其回程段的各參數只能趨近于要求值，做不到嚴格一致。因此本文多項式運動規律的設計方法是安全有效的。

4 結束語

本文在確保凸輪機構速度及加速度曲線連續的情況下，通過對邊界條件賦值，求解出了多項式運動規律的位移方程通式，并根據通式推導出了各系數的計算公式。然后通過實例驗證了各系數計算公式的便捷性與可靠性，并介紹了五次多項式運動規律的應用方法。同時提出了一種針對具有附加約束條件的多項式運動規律的設計方法，該方法可以針對不同的設計需求，對凸輪行程進行分段設計，在確保凸輪機構沒有剛、柔性沖擊的前提下，滿足從動件的特殊動作需求。最后，通過對設計的多項式運動規律進行仿真分析，并與用圓弧拼接的改進型等速運動規律進行對比，驗證了該設計方法是安全有效的。