一類非線性MIMO系統(tǒng)的自解耦控制

肖友剛，盧 浩，王輝堤，韓 錕

(1.中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075;2.軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國(guó)際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室(中南大學(xué))，長(zhǎng)沙 410075)

實(shí)際工業(yè)對(duì)象大部分為多變量系統(tǒng)，各通道相互耦合，實(shí)際被控對(duì)象的模型參數(shù)通常處于波動(dòng)狀態(tài).設(shè)計(jì)解耦器, 消除系統(tǒng)中各回路間的耦合關(guān)系, 然后對(duì)每組通道逐一進(jìn)行控制，是多變量系統(tǒng)控制的常用方法.解耦器是通過(guò)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)矩陣設(shè)計(jì)出來(lái)的，當(dāng)對(duì)象傳遞函數(shù)階數(shù)和輸入輸出變量維數(shù)加大時(shí)，常規(guī)的對(duì)角矩陣法、相對(duì)增益法、特征曲線法等設(shè)計(jì)出的解耦器復(fù)雜程度大增，當(dāng)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型不準(zhǔn)確時(shí)，系統(tǒng)的解耦性能將受到影響[1].逆系統(tǒng)解耦方法利用反饋思想極大地簡(jiǎn)化了解耦器設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度, 結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單, 然而系統(tǒng)內(nèi)外擾動(dòng)及模型誤差會(huì)影響系統(tǒng)的跟蹤特性和魯棒性[2]. 運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-4]、模糊方法[5-6]、支持向量機(jī)[7-8]等方法進(jìn)行解耦優(yōu)化，成為了解耦控制的一個(gè)研究熱點(diǎn).然而，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦控制雖然實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)解耦，但需利用大量實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，且網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的調(diào)整方法存在局限性.模糊控制需要制定復(fù)雜的控制規(guī)則，支持向量機(jī)核函數(shù)參數(shù)需要適時(shí)調(diào)整，這些都給解耦優(yōu)化的實(shí)際應(yīng)用造成了困難.

文獻(xiàn)[9]提出的自抗擾控制技術(shù) (active disturbance rejection control, ADRC)以積分器串聯(lián)型作為反饋系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)對(duì)異于標(biāo)準(zhǔn)型的總和擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并主動(dòng)補(bǔ)償，從而把充滿擾動(dòng)、不確定性和非線性的被控對(duì)象轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行控制. 文獻(xiàn)[10]將多輸入多輸出系統(tǒng)中各個(gè)子系統(tǒng)之間的耦合也歸結(jié)到總擾動(dòng)中，然后對(duì)每一個(gè)通道用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器各自獨(dú)立地進(jìn)行在線跟蹤及補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)分散式解耦控制.與常規(guī)分散控制算法相比，自抗擾控制具有更強(qiáng)的解耦和抗干擾能力，因而引起了諸多學(xué)者的興趣，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)系統(tǒng)的控制中. 將逆解耦與ADRC相結(jié)合，文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)了精餾塔過(guò)程自抗擾控制器，文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了四水箱的液位控制器；針對(duì)六極混合磁軸承三自由度之間的耦合性和非線性特點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]采用線性/非線性自抗擾切換控制方法進(jìn)行了解耦控制；針對(duì)制冷系統(tǒng)非線性、強(qiáng)耦合、大時(shí)滯等特點(diǎn)，文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的自抗擾解耦控制器；針對(duì)級(jí)聯(lián) H 橋靜止無(wú)功發(fā)生器，文獻(xiàn)[14]基于自抗擾控制設(shè)計(jì)了多變量解耦控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)[15]通過(guò)引入虛擬控制量，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)制循環(huán)蒸發(fā)系統(tǒng)液位與出料密度的ADRC解耦控制；將預(yù)測(cè)控制ADRC 相結(jié)合，文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了既具信息預(yù)估又具擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)念A(yù)測(cè)自抗擾控制器，并應(yīng)用于制水行業(yè)待濾水濁度過(guò)程控制；針對(duì)熱連軋活套系統(tǒng)多變量、非線性和強(qiáng)耦合特點(diǎn)，文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了熱連軋電動(dòng)活套系統(tǒng)的高度和張力自抗擾控制器；針對(duì)氣體流量裝置實(shí)驗(yàn)管路流量、壓力耦合系統(tǒng)，文獻(xiàn)[18]對(duì)氣體流量裝置進(jìn)行了自抗擾解耦控制.

這種分散式自抗擾解耦控制把各回路間的耦合作用看作擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，在一定程度上降低了回路間的相互影響, 但是當(dāng)回路間有較強(qiáng)耦合時(shí),這種方法的解耦效果有限，而且，在對(duì)各個(gè)回路進(jìn)行ADRC控制時(shí)，需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果整定各個(gè)回路的控制參數(shù)，導(dǎo)致參數(shù)整定工作量非常大，所整定的參數(shù)也會(huì)互相影響，一個(gè)參數(shù)調(diào)到最優(yōu)后，另一個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的性能又惡化了，最終所得到的只是各個(gè)參數(shù)折中的結(jié)果，整體控制性能大打折扣.針對(duì)以上不足，本文提出了一種m個(gè)輸入m個(gè)輸出(MIMO)系統(tǒng)的自解耦控制方法 (self-decoupling control，SDC).該法利用線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)對(duì)系統(tǒng)中的耦合部分、非線性部分及擾動(dòng)部分進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制律實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的自解耦，將3m個(gè)LESO的增益轉(zhuǎn)化為由系統(tǒng)硬件決定的常量，將2m個(gè)待整定的反饋控制量增益轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差微分方程的Hurwitz穩(wěn)定矩陣的特征值配置，實(shí)現(xiàn)了MIMO系統(tǒng)控制的單參數(shù)調(diào)整，并應(yīng)用Lyapunov方法對(duì)SDC法的穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.

1 問(wèn)題描述

(1)

假定耦合矩陣

(2)

則系統(tǒng)第i個(gè)通道的輸入輸出關(guān)系為

(3)

2 MIMO系統(tǒng)的自解耦控制器設(shè)計(jì)

方程(1)所述的MIMO系統(tǒng)可表示為

(i=1,2,3,…,m).

(4)

將方程(4)進(jìn)一步表示為

(5)

(6)

式中：

根據(jù)方程(6)設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)：

(7)

將yi環(huán)的反饋控制量設(shè)計(jì)為

(8)

式中:vi為yi的目標(biāo)值，ki1、ki2為反饋控制量增益.

將方程(8)代入方程(5)，可得

(9)

當(dāng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的誤差ei3=Ri1-zi3足夠小時(shí)，根據(jù)方程(9)的積分特性可知，系統(tǒng)的輸出量yi將不受未知擾動(dòng)(包括外部擾動(dòng)、耦合項(xiàng)、非線性項(xiàng)等)的影響，達(dá)到了自解耦的目的，因此這類MIMO系統(tǒng)可以采用控制框圖來(lái)進(jìn)行控制，如圖1所示.在這種控制方式下，每一個(gè)輸出量yi不再使用虛擬控制量，而是使用實(shí)際控制量進(jìn)行控制，物理意義更加明確，而且不要求系統(tǒng)具有可逆的耦合矩陣，拓寬了控制系統(tǒng)的使用范圍.

圖1 自解耦控制的結(jié)構(gòu)框圖

3 MIMO系統(tǒng)自解耦控制參數(shù)分析

從自解耦控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程可以看出，MIMO系統(tǒng)自解耦控制的待定參數(shù)包括線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)增益向量、各通路的反饋控制量增益及控制量放大系數(shù)的估計(jì)值bi，對(duì)于m輸入m輸出系統(tǒng)，待確定的bi為m個(gè)，觀測(cè)向量增益為3m個(gè)，控制量增益為2m個(gè)，如果根據(jù)實(shí)驗(yàn)或仿真結(jié)果來(lái)進(jìn)行調(diào)整，將導(dǎo)致參數(shù)整定工作量非常大，技術(shù)要求高，而且所整定的參數(shù)互相影響，一個(gè)參數(shù)調(diào)到最優(yōu)后，另一個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的性能又惡化了，最終所得到的只是各個(gè)參數(shù)折中的結(jié)果，整體控制性能大打折扣，因此有必要從MIMO系統(tǒng)自解耦控制的要求出發(fā)，盡可能減少待整定參數(shù).考慮到bi為m個(gè)控制量放大系數(shù)bii的估計(jì)值，在控制中可采用實(shí)際的bii.

文獻(xiàn)[19]根據(jù)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)帶寬構(gòu)造了LESO的觀測(cè)增益向量：

(10)

其中ω0為L(zhǎng)ESO的帶寬，ω0越大，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的穩(wěn)態(tài)誤差越小，收斂速度也越快. 帶寬受到數(shù)值計(jì)算迭代步長(zhǎng)的制約，大帶寬需要小迭代步長(zhǎng)，否則會(huì)因?yàn)榈介L(zhǎng)過(guò)大而產(chǎn)生較大的相位滯后，引起超調(diào)或者系統(tǒng)不穩(wěn)定.在實(shí)際控制系統(tǒng)中迭代步長(zhǎng)由系統(tǒng)硬件決定，探討迭代步長(zhǎng)與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器帶寬之間的關(guān)系，可以將MIMO系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的擾動(dòng)用統(tǒng)一的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行集中觀測(cè)補(bǔ)償.

由于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的增益系數(shù)與迭代步長(zhǎng)聯(lián)系緊密，文獻(xiàn)[9]運(yùn)用Fibonacci 數(shù)列，根據(jù)迭代步長(zhǎng)構(gòu)建了三階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)序列：

(11)

其中:h為迭代步長(zhǎng)，由系統(tǒng)硬件決定;β01、β02、β03分別為三階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù).

對(duì)比方程(10)、(11)表示的參數(shù)序列關(guān)系，將帶寬和步長(zhǎng)的迭代關(guān)系設(shè)計(jì)為

(12)

其中k為待定系數(shù).

為使方程(10)表示的參數(shù)序列與方程(11)表示的參數(shù)序列盡可能接近，將方程(10)、(11)作方差運(yùn)算，并以方差最小化為目標(biāo)，即

(13)

將方程(10)～(12)代入方程(13)，可得

(14)

解得

(15)

(16)

(17)

其中:

為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差向量，且ei1=xi1-zi1,ei2=xi2-zi2,ei3=xi3-zi3.

(18)

式中I為3階單位矩陣.

求解方程(18)，可得

(19)

則SDC的線性控制量(LSEF)為

(20)

4 MIMO系統(tǒng)自解耦控制器穩(wěn)定性證明

定理1在持續(xù)變化的擾動(dòng)Ri作用下，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(7)的觀測(cè)值存在有界穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng)擾動(dòng)Ri保持不變或停止作用時(shí)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(7)的觀測(cè)誤差(ei1,ei2,ei3)迅速收斂于(0,0,0).

證明將式(6)減去式(7)，得LESO誤差的微分方程:

(21)

將線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)為

V1=eiTPei.

(22)

其中P為假定存在的對(duì)稱正定矩陣，

對(duì)V1(t)求導(dǎo)，并將方程(21)代入，得

(23)

其相應(yīng)的Lyapunov方程取為

ETP+PE=-I.

(24)

將P、E代入方程(24)，可得

(25)

求解方程(25),可得

(26)

將方程(26)代入方程(23)，可得

(27)

(28)

由方程(28)，易得

(ei1,ei2,ei3)=(0,0,0).

(29)

即擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(7)的觀測(cè)誤差會(huì)迅速收斂于點(diǎn)(0,0,0).

當(dāng)擾動(dòng)Ri為持續(xù)變化的擾動(dòng)時(shí)，即ri≠0時(shí)，系統(tǒng)的觀測(cè)值會(huì)出現(xiàn)一定誤差.由式(7)、(17)可得穩(wěn)態(tài)誤差范圍為

(30)

由方程(29)、(30)的結(jié)論可知，定理1得證.

定理2在持續(xù)變化的擾動(dòng)Ri作用下，MIMO系統(tǒng)(1)在SDC的線性控制律(20)的作用下整個(gè)控制系統(tǒng)的誤差在零點(diǎn)附近大范圍穩(wěn)定，存在有界穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng)擾動(dòng)Ri保持不變或停止作用時(shí)，整個(gè)控制系統(tǒng)的誤差會(huì)迅速收斂于零點(diǎn).

證明將式(17)進(jìn)一步表示為

(31)

矩陣Aψ是Hurwitz穩(wěn)定矩陣，因此可將Aψ作為式(29)的Lyapunov方程：

V2=ψTAψψ.

(32)

則

(33)

(34)

由式(34)易得

ψ2i-1=0,ψ2i=0.

(35)

當(dāng)擾動(dòng)Ri為持續(xù)變化的擾動(dòng)時(shí)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差.當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)誤差微分方程(17)的左邊全為零，則根據(jù)式(30)，可得

(36)

將方程(36)代入方程(31)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差范圍為

(37)

由式(35)和(37)的結(jié)論可知，定理2得證.

5 MIMO系統(tǒng)自解耦控制的應(yīng)用分析

5.1 算例一 熱連軋活套系統(tǒng)的自解耦控制

熱軋機(jī)電動(dòng)活套系統(tǒng)控制的優(yōu)劣直接影響成品帶鋼的寬度、厚度和板形精度，輥縫移動(dòng)、負(fù)荷擾動(dòng)、被控對(duì)象變化會(huì)使張力出現(xiàn)較大波動(dòng)，使得活套控制比較復(fù)雜. 參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]，可知熱連軋活套系統(tǒng)模型為

(38)

式中：

其中

采用本文提出的自解耦控制方法，根據(jù)方程(20)設(shè)計(jì)高度回路和張力回路的反饋控制律為

(39)

圖2 擾動(dòng)作用下熱連軋活套系統(tǒng)的自解耦控制

5.2 算例二 氣體流量裝置的自解耦控制分析

氣體流量和壓力對(duì)氣體流量裝置的計(jì)量性能影響很大，參見(jiàn)文獻(xiàn)[18]，可得氣體流量裝置的雙輸入雙輸出模型：

(40)

其中：I1、I2分別為調(diào)節(jié)閥1、調(diào)節(jié)閥2的給定電流值，mA；Qm為管路的流量，kg/h；p為管路的壓力, kPa.

將式(40)改成式(4)的形式：

(41)

采用本文提出的SDC法，根據(jù)式(20)設(shè)計(jì)氣體流量裝置的反饋控制量式(42)，b1、b2分別采用控制量u1、u2增益的實(shí)際值.

表1 高度和張力控制性能指標(biāo)

(42)

圖3 階躍與擾動(dòng)信號(hào)作用下氣體流量裝置的自解耦控制曲線

表2 流量和壓力控制性能指標(biāo)

6 結(jié) 論

1)利用統(tǒng)一的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)對(duì)系統(tǒng)中的耦合部分、非線性部分及擾動(dòng)部分進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制律實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的自解耦，整個(gè)SDC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、緊湊，并用Lyapunov方法證明了其穩(wěn)定性.

2)采用由系統(tǒng)硬件決定的迭代步長(zhǎng)確定3m個(gè)LESO的增益，通過(guò)Hurwitz穩(wěn)定矩陣特征值配置將2m個(gè)待整定的反饋控制量增益轉(zhuǎn)化為一個(gè)待整定參數(shù)，極大地減少了MIMO系統(tǒng)待整定的參數(shù)和調(diào)參難度.

3)在SDC控制方式下不再使用虛擬控制量，使用實(shí)際控制量對(duì)每一個(gè)輸出量進(jìn)行控制，物理意義明確，而且不要求系統(tǒng)具有可逆的耦合矩陣，拓寬了控制系統(tǒng)的使用范圍.

4)算例說(shuō)明SDC不僅最大限度地減少了MIMO系統(tǒng)的待整定參數(shù)，而且獲得了比傳統(tǒng)自抗擾解耦控制法更好的控制效果.