懸索橋桁架加勁梁動力等效成等截面歐拉梁方法

祝衛亮， 葛耀君

(土木工程防災國家重點實驗室(同濟大學)， 上海 200092)

懸索橋是當今大跨度橋梁中跨越能力最大的橋型，其加勁梁可以采用鋼箱梁和鋼桁架梁. 鋼桁架梁具有整體剛度大、抗風性能好、空間高度大、方便布置雙層交通等優點，是懸索橋中常用的加勁梁形式，例如，在主跨1 991 m的日本明石海峽大橋、主跨1 377 m的香港青馬大橋、主跨1 280 m的美國金門大橋均能看到鋼桁架加勁梁的身影. 鋼桁架加勁梁的等效是工程中經常遇到的問題. 一方面，大跨度懸索橋桁架加勁梁中桿件眾多，上下橋面混凝土或加勁鋼板的鋪層常作為受力結構，U型肋、I型肋等細節眾多，采用有限元模擬存在大量的單元節點，計算量巨大，計算結果冗雜(如全橋模態中出現大量加勁梁局部振型)，不利于設計優化的進行. 單主梁或雙主梁魚骨模型在懸索橋分析中形式簡潔、高效，被廣泛使用，桁架加勁梁簡化為單主梁則需要等效. 另一方面，懸索橋全橋氣彈模型試驗抗風性能研究中加勁梁的剛度和質量采用芯梁來模擬，芯梁可為等截面鋼材或鋁材制成，可視為經典的歐拉梁，芯梁截面尺寸依據等效計算的截面抗彎剛度和抗扭剛度參數.

懸索橋中，全橋的豎向剛度主要由主纜提供，加勁梁起著支撐橋面系,傳遞車輛及人行荷載的作用，對于豎向剛度的貢獻較小. 懸索橋施工中首先架設主纜，加勁梁逐節拼裝，這樣的施工過程也決定了懸索橋的加勁梁承受較小的彎矩，即使為構件較多的桁架梁，加勁梁變形時也可近似假設滿足平截面假定，采用等截面歐拉梁對其進行模擬是合理的.

鋼桁架加勁梁等效為歐拉梁中剛度等效分為抗彎剛度和抗扭剛度，抗彎剛度分豎彎方向和側彎方向，不過兩方向抗彎剛度計算方法相同. 基于懸臂梁的靜力位移相等原則被廣泛使用[1-3]，此處稱為懸臂靜力法. 懸臂靜力法選取部分長度桁架加勁梁建模，一端施加固結約束，另一端則是自由的，且施加集中荷載(計算抗彎剛度加集中力，抗扭剛度加集中扭矩)，通過有限元程序計算等到位移響應. 對比懸臂梁在自由端集中荷載作用下位移響應計算公式，反算出等效梁抗彎慣性矩和扭轉慣性矩. 懸臂靜力法形式簡單，邊界條件施加方便，被多數桁架梁等效建模所采用. 但是，其計算方法上存在以下不足：1)在計算扭轉剛度時，需要施加一個扭矩，不太方便于有限元計算；2)扭轉作用下扭轉角的計算需要確定合理的扭心，這需要細心選擇[4]；3)在懸臂端加載點附近存在較大的局部變形，在許多算例中均采用加補償段和多點撓度擬合的方式來消除局部變形的影響[4]；4)計算結果只有等效剛度參數，沒有等效梁的質量參數，無法直接用于懸索橋的動力響應分析，質量參數還需通過其他途徑獲得.

除了懸臂靜力法，文獻[5-6]提出基于能量相等原則的等效方法，推導了板桁結合型加勁梁主桁架腹桿和下平聯的連續化等效板厚計算公式，根據板桁結合型加勁梁的彎曲與扭轉受力特點分別構造了相應的連續化等效截面,該方法計算較為復雜.

桁架加勁梁質量等效包括等效質量和等效質量慣性矩. 等效質量通過求和自重作用下的支座反力便可計算得到，求解比較簡單. 等效質量慣性矩若按質量慣性矩定義直接對截面桿件和板進行積分計算過程繁瑣，且不同截面質心位置存在變化，增加了計算難度，在文獻[7-8]中給出一種基于均勻附加扭轉質量慣性矩前后結構扭轉頻率的變化計算鋼桁梁扭轉質量慣性矩的方法，并基于有限元離散后的代數控制方程給出了理論解釋，該方法簡單有效.

針對靜力懸臂法中的不足之處，本文首先給出歐拉梁在懸臂和兩端固結兩種約束條件下，基于連續偏微分控制方程得到的自振頻率計算公式；然后，利用該公式直接得到等效抗彎、抗扭參數計算表達式，并對文獻[7-8]中等效質量慣性矩計算方法給出更直接的理論解釋，同時利用該方法計算等效質量慣性矩;然后，針對某桁架加勁梁懸索橋，對比了本文方法與懸臂靜力法的計算結果;最后將本方法應用于不同長度的桁架加勁梁等效，分析了在原理上采用歐拉梁等效桁架加勁梁存在的問題.

1 等截面歐拉梁基頻

桁架加勁梁精細化建模中施加等效的等截面梁的鉸接邊界條件比較困難，而固結和自由邊界則比較容易，因此本文對兩端固結以及懸臂式等截面歐拉梁動力特性進行理論分析. 等截面梁歐拉梁與相應等效桁架加勁梁如圖1所示，在具有同樣的動力特性情況下，等截面梁具有以下參數：面積A(此處只用于計算質量，不考慮軸向剛度)，截面豎向抗彎慣性矩Izz,截面側向抗彎慣性矩Iw,截面抗扭慣性矩It，截面扭轉質量慣性矩Ix，密度ρ，長度L.

(a)等截面梁歐拉梁

(b)桁架加勁梁

1.1 彎曲振型基頻

忽略梁的軸向變形，無限自由度歐拉梁豎向自由振動時控制方程[8]為

(1)

式中：E為材料彈性模量，ρ為材料密度.

模態分析中考慮w為簡諧振動，可以利用分離變量法分解為只與時間有關項和只與坐標有關項的乘積，即

w(x,t)=φ(x)Y(t).

(2)

式中：φ(x)為振型，Y(t)可假設為簡諧振動Y(t)=sinωt，其中ω即為自振圓頻率.

將式(2)代入式(1)，可以得到

(3)

φ(x)的通解為

φ(x)=A1cosax+A2sinax+A3coshax+A4sinhax,

(4)

梁兩端固結時，即

φ(0)=0，φ′(0)=0，φ(L)=0，φ′(L)=0，

(5)

為了使得關于Ai(i=1,2,3,4)的方程存在非0解，系數矩陣的行列式為0，即得

2a2(1-cosaL·coshaL)=0.

(6)

對此特征值問題，求解非線性方程根可以得到a1L=4.730 1，由此得到單一截面梁的兩端固結彎曲基頻為

(7)

對于懸臂梁，一端固結、一端自由的方式，邊界條件為φ(0)=0，φ′(0)=0，φ?(L)=0，φ″″(L)=0，具體頻率和振型推導過程在文獻[8]中有詳細介紹，此處只呈現結果：

(8)

式(7)、(8)分別適用于豎彎和側彎頻率等效，其中豎彎時I=Izz,側彎時I=Iyy.

1.2 扭轉振型基頻

無限自由度梁扭轉位移θ振動控制方程[9]為

(9)

同樣假設自由振動時θ可以利用分離變量法分解為只與時間有關項和只與坐標有關項的乘積，即

θ(x,t)=φ(x)Y(t).

(10)

式中:φ(x)為振型；Y(t)假設為簡諧振動Y(t)=sinωt，其中ω為自振圓頻率.

將式(10)代入式(9)可得

(11)

φ(x)的通解為

φ(x)=A1cosβx+A2sinβx.

(12)

(13)

要使得A1,A2存在非0解，即sinβL=0. 易得β1L=π,由此得到單一截面梁兩端固結扭轉基頻為

(14)

對于懸臂梁，一端固結一端自由的方式，邊界條件為扭轉邊界為φ(0)=0,φ′(L)=0,即

(15)

(16)

扭轉和彎曲基頻與扭轉和彎曲剛度及質量的關系見表1.

表1 等截面歐拉梁動力特性公式匯總

(17)

由式(17)可得

(18)

此結果與文獻[8]結果相一致.

2 等效計算方法

根據上述推導的單截面歐拉梁頻率和剛度表達，提出等效計算方法如下. 桁架加勁梁每延米質量通過計算自重下支座反力或者設計給定，作為輸入參數m和密度ρ一起給定，用于計算等效歐拉梁的截面積. 在桁架加勁梁等效為等截面歐拉梁計算中，首先，選取某長度桁架精細化模型進行動力特性分析，動力特性分析分兩次，第二次相比于第一次，給桁架加勁梁增加扭轉質量慣性矩一個增量ΔI. 通過動力特性分析，可得到以下4個參數：fbv，原桁架加勁梁精細化模型一階豎彎頻率；fbl，原桁架加勁梁精細化模型一階側彎頻率；ft1，原桁架加勁梁精細化模型一階扭轉頻率；ft2，增加扭轉質量慣性矩之后桁架加勁梁精細化模型一階扭轉頻率. 其中，精細化桁架加勁梁可選擇兩端固結或者懸臂式約束方式. 等效等截面歐拉梁方法以這4個參數作為輸入，代入表2對應公式即可得到等效質量和剛度參數.

表2 桁架加勁梁等效等截面歐拉梁截面計算公式

3 數值仿真分析

3.1 基頻公式數值驗證

表1結果為本文等效方法的基礎，尤以其中兩端固結梁結果較少見于文獻，為驗證理論分析得到的單截面歐拉梁頻率和截面特性的公式關系，采用有限元手段和理論公式，給以相同的截面特性輸入，對比兩者結果. 本文選取L=20 m，E=1.0×108Pa,ρ=1.0×103kg/m3兩端固結不同截面(寬為3 m，高從0.1 m變化到2.9 m的矩形截面)的梁段，有限元模擬采用通用有限元軟件ANSYS中beam4單元進行計算，截面特性和有限元計算得到的基頻結果列于表3，有限元與理論公式計算得到頻率結果對比如圖2所示，從圖2可以看出式(7)和式(14)與ANSYS計算結果符合很好.

(a)豎彎頻率對比

(b)扭轉頻率對比

3.2 某主跨 576 m懸索橋的板桁加勁梁等效

桁架加勁梁等效歐拉梁的主要工作量在于建立一段(無需整跨)精細化的加勁梁有限元模型，計算得到各模態的自振頻率，以及添加附加扭轉質量慣性矩后的扭轉振動基頻. 本算例中等效對象為某主跨576 m懸索橋的板桁加勁梁，全橋立面圖如圖3所示. 該加勁梁為正交異性鋼橋面與鋼桁梁結合的板桁結合形式，全寬30.1 m，雙片主桁為華倫式，并帶有斜桿,節間長度14.4 m. 加勁梁斷面如圖4所示. 以此加勁梁節間桁架形式進行擴展，采用通用有限元軟件ANSYS進行建模，上下橋面采用SHELL63單元，并準確模擬出U型肋與I型肋，桁架桿件采用BEAM188單元模擬，分別建立長度為144、288、432、576 m跨徑的板桁結合梁精細化有限元模型. 以288 m跨徑為例，有限元模型如圖5所示.

表3 不同截面兩端固結梁有限元截面輸入參數和對應豎向及扭轉頻率計算結果

圖3 某板桁結合梁主跨576 m懸索橋立面圖(cm)

圖4 板桁結合梁橫斷面(mm)

(a)正視圖

(c)俯視圖

(b)側視圖

(d)立體圖

針對這4種跨徑精細化板桁結合梁，共計算20個工況：1)4種跨徑在懸臂式邊界條件下計算動力特性工況4個；2)4種跨徑在懸臂式邊界條件，同時在桁架的節點上施加共5.0×105kg·m2/m的附加扭轉質量慣性矩，計算動力特性工況4個；3)4種跨徑在懸臂式邊界條件下，在自由端施加共105N的集中豎向荷載，計算靜力響應工況4個；4)4種跨徑在懸臂式邊界條件下，在自由端施加共105N的集中側向荷載，計算靜力響應工況4個；5)4種跨徑在兩端固結邊界條件下，計算動力特性工況4個.

其中工況組1)和工況組2)分別對應的4組工況可用于求解等效扭轉慣性矩，等效質量直接通過模型參數得到，計算結果見表4. 在獲取等效質量和等效慣性矩之后，由工況組1)和工況組5)中的8個工況，根據表2中對應公式可以計算得到等效豎彎、側彎抗彎慣性矩及抗扭慣性矩，計算結果見表5、6. 以288 m跨徑為例，其兩端固結和懸臂式邊界下一階豎彎、側彎、扭轉振型如圖6、7所示.

表4 質量及質量慣性矩等效結果

表5 不同長度板桁結合梁精細化模型懸臂式動力特性及等效結果匯總

表6 不同長度板桁結合梁精細化模型兩端固結動力特性及等效結果匯總

(a)一階豎彎 (b)一階側彎 (c)一階扭轉

(a)一階豎彎 (b)一階側彎 (c)一階扭轉

另外，針對工況組3)和工況組4)中的8個工況，本文采用懸臂靜力法計算其等效豎彎和側彎抗彎剛度. 懸臂靜力法[3]利用了懸臂梁在端部集中荷載P作用下的撓度曲線：

(19)

具體實施步驟：1)在精細化建模的桁架加勁梁有限元模型中，施加端部力P；2)獲取多個斷面x處的豎向或側向撓度d(x)；3)根據x,d(x)擬合得到式(19)中的I值.

其計算結果見表7，該表結果可與本文基于動力特性等效抗彎剛度進行對比. 圖8給出288 m跨徑施加豎向集中荷載工況中，擬合Izz參數得到的擬合位移曲線與有限元計算不同截面處撓度對比示意圖，可以看出該工況下等效效果較好.

等效豎向及側向抗彎剛度結果懸臂靜力法與本文中基于懸臂式邊界動力特性方法(此處稱為懸臂動力法)結果對比見表8，從表中可見懸臂動力法和懸臂靜力法可提供相同精度的等效抗彎慣性矩的計算結果，而且計算更加方便.

表7 懸臂靜力法計算結果匯總

圖8 288 m懸臂桁架加勁梁有限元靜力計算撓度值及式(19)的擬合撓度曲線

表8 懸臂靜力法與懸臂動力法等效抗彎剛度對比

4 計算結果比較分析

從表5、6計算結果可以看出隨著跨徑L的增加，Iyy和Izz都呈現單調上升并趨向“穩定”的現象. 另外在同樣的跨徑下兩端固結與懸臂式邊界下Iyy和Izz計算公式不同且達到“穩定”的速度不同，后者能更快達到穩定狀態. 相比Iyy和Izz，It的計算結果則要穩定得多. 另從式(7)、(8)可以看出等截面歐拉梁理論彎曲的頻率反比于長度平方，而表5、6可以看出精細化桁架加勁梁有限元模擬結果中豎彎和側彎頻率并不遵從反比于長度平方的關系.

本文認為這是因為桁架加勁梁中存在著剪切效應，純彎曲的歐拉梁無法捕捉剪切效應，從而導致了上述現象. 這是歐拉梁此處等效在本質上的缺陷. 下面針對剪切效應在靜力位移反算抗彎剛度方法中的影響進行定性分析.

懸臂梁中，當在自由端施加一個集中荷載P，如果只考慮彎曲的影響，自由端部的撓度為

(20)

而如果只考慮剪切作用，在自由端部的撓度為

(21)

其中κ為剪應力沿截面分布不均勻而引起的與截面形狀有關的系數[10]. 可得懸臂梁在集中力作用下彎和剪對自由端豎向撓度的貢獻比值為

(22)

從式(22)中可以看出，隨著L增大，剪的作用在自由端豎向撓度占比變小，采用位移反算抗彎剛度就會出現達到“穩定狀態”的現象.

同樣，可以分析兩端固結梁在跨中作用一個集中力P時的跨中撓度響應. 當只考慮彎的效應時，跨中撓度響應為

(23)

當只考慮剪效應時，跨中撓度響應為

(24)

由此可得兩端固結梁在集中力作用下，彎和剪對跨中撓度的貢獻比為

(25)

對比式(22)、(25)可以看出在不同的約束條件下，彎與剪對撓度的貢獻程度占比是不一樣的. 換言之，如果用兩端固結梁跨中撓度反算等效抗彎剛度比用懸臂梁自由端撓度反算等效抗彎剛度，需要更長的桁架梁段才能達到穩定.

5 結 論

1)提出了一種基于結構動力特性的桁架梁等效成等截面歐拉梁的等效質量慣性矩、等效抗彎慣性矩、等效抗扭慣性矩計算方法，介紹了兩端固結和懸臂式邊界桁架梁動力特性反算等效歐拉梁兩類公式.

2)該計算方法具有的優勢：在計算等效抗彎剛度上，懸臂動力方法具有與基于懸臂靜力位移等效剛度方法等同的計算精度，但計算上更方便；能同時提供等效質量，質量慣性矩等靜力方法無法提供的信息.

3)仿真分析結果表明：將桁架梁等效為等截面歐拉梁的理論可對現有基于懸臂動力法計算等效慣性矩方法給出簡單明了的新解釋；等效抗彎慣性矩與選擇的桁架梁長度和邊界約束條件有關，在懸索橋中的桁架加勁梁比較滿足歐拉梁的純彎曲假設情況，應選擇較長和懸臂式的的精細化桁架加勁梁來進行等效，因為同樣的約束條件下，桁架加勁梁越長，剪切效應越小，而當長度一定時，懸臂桁架加勁梁中的剪切效應較兩端固結桁架加勁梁小.