一致連續(xù)性的課堂教學(xué)建議

[摘? ? ? ? ? ?要]? 現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析課程教材關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的內(nèi)容較為簡單，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)起來普遍都感到很困難。為此，結(jié)合汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)生的實際情況，對教學(xué)工作進(jìn)行了一系列的教研教改。通過一致連續(xù)性的課堂教學(xué)實踐，從備課、課堂活動再到課后反饋，最后給出了提高該內(nèi)容的課堂教學(xué)質(zhì)量的若干建議，旨在加強直觀性教學(xué)，突出難點、化解難點，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維方式。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 一致連續(xù)性;課堂教學(xué);教學(xué)建議

[中圖分類號]? G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）02-0118-02

一、引言

函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程中的重要而困難的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，是比連續(xù)更強的一種連續(xù)性，它強調(diào)函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，刻畫了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上變化的相對均勻性，是連續(xù)函數(shù)的一個重要性質(zhì)。在微積分學(xué)中，它與后繼課中“絕對連續(xù)”“一致收斂”“絕對收斂”及“等度連續(xù)”等概念都有著密切的關(guān)系，在其他學(xué)科中的應(yīng)用也極為廣泛，關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)問題的學(xué)習(xí)與深入探討也為理解其他數(shù)學(xué)知識打下堅實的基礎(chǔ).

函數(shù)一致連續(xù)的定義及判定是教學(xué)的重點和難點，而現(xiàn)行的幾種教材[1-4]關(guān)于這部分的內(nèi)容又較為簡單，以致數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都普遍覺得較難理解、太抽象。故為突出重點、轉(zhuǎn)化難點以提高教學(xué)質(zhì)量，結(jié)合我院的實際情況，在課堂教學(xué)上做了一些嘗試，通過教學(xué)實踐，提出了一些教學(xué)建議與同行們共同探討，以期起到拋磚引玉的作用。

二、現(xiàn)行教材內(nèi)容分析及存在的問題

我們現(xiàn)采用的教材為《數(shù)學(xué)分析講義》上冊[1]，其中函數(shù)的一致連續(xù)性的主要內(nèi)容安排如下（其他教材雷同）：一致連續(xù)定義;一致連續(xù)的否定（非一致連續(xù)）;判定函數(shù)一致連續(xù)性（例題）;康托定理。根據(jù)內(nèi)容及教學(xué)大綱我們以往設(shè)計的一般教學(xué)過程如下。

1.引入一致連續(xù)定義

先復(fù)習(xí)函數(shù)連續(xù)的定義，由此得到δ的大小與給定的ε及點a的位置有關(guān);當(dāng)ε暫時固定時，得到δ=δ（a），由于a的變化得到無窮多個δ=δ（a）>0，再提出尋找通用的δ（若通用的δ存在），從而給出一致連續(xù)的定義。

2.導(dǎo)出一致連續(xù)的否定

通過一致連續(xù)的定義給予否定并列表對照，直觀展示如下：

指出連續(xù)與一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系，以加深對概念的理解。

3.通過例題學(xué)習(xí)判定函數(shù)一致連續(xù)性的方法

4.講述康托定理

它是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的又一性質(zhì)，也是一致連續(xù)的一個判定定理，但對不是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)失效。

當(dāng)我們講解至例題時會發(fā)現(xiàn)：只能用定義來求解，沒有其他性質(zhì)或判定方法。因教材這部分內(nèi)容少且方法很單一，致使學(xué)生對一致連續(xù)的含義及判定方法難以掌握。

三、課堂教學(xué)反饋

在課堂教學(xué)師生互動的環(huán)節(jié)中，學(xué)生提出以下值得思考的幾個問題。

1.學(xué)習(xí)函數(shù)一致連續(xù)性的目的動機是什么？

2.一致連續(xù)性有沒有幾何意義可幫助我們較直觀地理解該定義？

3.判定一致連續(xù)性一般用定義都是較復(fù)雜的，是否有其他判定定理或方法？

四、教學(xué)建議

針對以上這些反饋問題，進(jìn)行了集體備課，查閱相關(guān)書籍、文獻(xiàn)，共同研究探討，得到一致的意見：擴(kuò)充內(nèi)容，改進(jìn)方法;制訂了三個“1”的教學(xué)措施，第一個1是“突出學(xué)習(xí)函數(shù)一致連續(xù)性的目的動機”，第二個1是“補充一致連續(xù)的幾何意義”，第三個1是“增加一致連續(xù)性的判定方法”。一句話就是加強直觀性教學(xué)，以突出難點、化解難點，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維方式。具體如下謹(jǐn)供參考并敬請批評指正。

（一）學(xué)習(xí)一致連續(xù)性的目的動機

下面預(yù)設(shè)了幾個問題，采用問題式教學(xué)方法引入。

[問題1]如圖1，設(shè)f0（x），f1（x），f2（x），…，f5（x）都是區(qū)間I的連續(xù)函數(shù)，那么除端點外它們有什么主要區(qū)別呢？

答：除f0（x）外，其他幾個函數(shù)曲線都呈均勻變化態(tài)勢（即當(dāng)自變量變化很小時，引起函數(shù)值的變化表現(xiàn)在圖像上是“平緩”的變化），故學(xué)習(xí)函數(shù)一致連續(xù)性的目的就是研究其均勻連續(xù)性。

[問題2]那么引起f0（x）在I上不均勻連續(xù)的原因又是什么？

答：在接近區(qū)間右端點處，函數(shù)曲線出現(xiàn)了“突變”（即使當(dāng)自變量變化很小時，函數(shù)值的變化反映在圖像上并不是“平緩”的而是突然“陡峭”），即曲線在該點附近的切線接近與x軸垂直（斜率的絕對值突然增大至無窮大），而其他點則不然，這就破壞了均勻連續(xù)性，稱非一致連續(xù)性。

注：值得注意的是半圓f1（x）雖然在端點處切線與x軸垂直，但它是平緩變化來的而不是突變來的，故它仍是一致連續(xù)函數(shù)。

由此可知：若當(dāng)x接近于某值x0時，函數(shù)圖像接近垂直于x軸，則函數(shù)在以x0為端點的區(qū)間可能非一致連續(xù)，否則必一致連續(xù);而在判定非一致連續(xù)時，關(guān)鍵要尋找的破壞點就是該點x0（x0可以是-∞或+∞），這為下一步補充一致連續(xù)性的判定方法做好準(zhǔn)備。

（二）一致連續(xù)的幾何意義

在給出一致連續(xù)的定義后，及時補充一致連續(xù)的幾何意義。我們知道，一致連續(xù)函數(shù)的實質(zhì)是：只要自變量|x1-x2|<δ，則函數(shù)值|f（x1）-f（x2）|<ε。故作一根管子（如圖2）及一致連續(xù)函數(shù)圖像（如圖3），幾何意義是：存在這樣的一根管子，可以在一致連續(xù)函數(shù)曲線上平行移動。

（三）一致連續(xù)性的判定方法

函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法有很多，近期有文獻(xiàn)[5]分十二個方面，系統(tǒng)歸納、分類總結(jié)了連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法，分類給出了函數(shù)一致連續(xù)的充分或充要條件，彌補了相關(guān)文獻(xiàn)資料關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性問題判別方法的一些不足，大大簡化并拓寬了函數(shù)一致連續(xù)性的可判別范圍;文獻(xiàn)[6，7]主要給出有限區(qū)間及無限區(qū)間一致連續(xù)的極限判別法;文獻(xiàn)[8]證明了函數(shù)一致連續(xù)性的導(dǎo)數(shù)判別法和極限判別方法;文獻(xiàn)[9]討論了一致連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而給出應(yīng)用實例和判斷函數(shù)一致連續(xù)性的充分必要條件;文獻(xiàn)[10]介紹了幾種函數(shù)在無限區(qū)間上不一致連續(xù)的判定法。那么，根據(jù)我院數(shù)學(xué)專業(yè)大綱要求，我們選擇增加了如下函數(shù)一致連續(xù)性的兩種判定方法。

1.可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性

五、結(jié)論

基于一致連續(xù)性的課堂教學(xué)實踐，從內(nèi)容的分析及教學(xué)設(shè)計到課堂教學(xué)中學(xué)生的反饋，再到教學(xué)質(zhì)量分析，筆者做了深入思考并進(jìn)行了一系列相應(yīng)的教改，取得了一定的成效，最后給出了提高該內(nèi)容教學(xué)質(zhì)量的若干建議。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉漣，傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義（上冊第六五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

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[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)（上冊第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]舒斯會.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[5]張歆秋，栗會平，張國強，等.函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法[J].考試周刊，2013（9）：67-70.

[6]蘭瑞平.對函數(shù)一致連續(xù)性的討論[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2011（6）：21-23.

[7]姜雄.關(guān)于函數(shù)在任意區(qū)間上一致連續(xù)與非一致連續(xù)的條件討論[J].遼寧科技學(xué)院學(xué)報，2005（2）：35-37.

[8]李啟龍.判斷函數(shù)一致連續(xù)性的幾種方法[J].數(shù)理化研究，2012（6）：46.

[9]高義，代小丹.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的反例及應(yīng)用[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)），2011（6）：88-91.

[10]杜家祥.函數(shù)在無窮區(qū)間上一致連續(xù)性的判定[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報，2001（1）：91-92.

編輯 鄭曉燕

作者簡介：陳彥（1962—），男，漢族，廣東汕頭人，汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)系副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。