例說中學(xué)數(shù)學(xué)中的周期問題

董曉莉

在現(xiàn)實(shí)生活中，存在周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象，這種周而復(fù)始的性質(zhì)我們稱之為周期性，具有這樣性質(zhì)的函數(shù)叫周期函數(shù)。周期性具有簡(jiǎn)單、和諧、對(duì)稱等數(shù)學(xué)美，也蘊(yùn)含著等價(jià)變換和數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法。因此，我們要十分重視周期問題，充分利用好周期的屬性，幫助我們?nèi)シ治鰡栴}和解決問題。下面例說中學(xué)數(shù)學(xué)中的周期問題，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、周期函數(shù)的定義、教學(xué)及作用

1.周期函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)常數(shù)T（T=0），使得當(dāng)自變量x取定義域內(nèi)的任意一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就是周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期。對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期。在周期函數(shù)的定義中我們要注意兩個(gè)地方，一是對(duì)任意的自變量x，恒等式f（x+T）=f（x）都應(yīng)該成立;二是并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期。

2.周期函數(shù)的教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，周期的定義是在三角函數(shù)這一章中出現(xiàn)的，這主要是因?yàn)槿呛瘮?shù)是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，“周而復(fù)始”的基本特征蘊(yùn)含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中。課本通過探究和觀察三角函數(shù)的圖像，使學(xué)生先直觀理解，再抽象掌握周期性及周期的定義，然后學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的周期求法，因此，教材的安排就顯得合情合理了。在此基礎(chǔ)上，為今后利用周期性去解決一些實(shí)際問題創(chuàng)造了必要條件。

3.周期函數(shù)的作用

從周期的定義可以看出，周期函數(shù)最大的特點(diǎn)就是函數(shù)值f（x+T）和函數(shù)值f（x）是相等的，所以其最大的作用之一是在求一個(gè)函數(shù)值遇到困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)函數(shù)值。另一方面，根據(jù)周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去思考問題。也就是說，我們要從周期的代數(shù)意義和幾何意義兩個(gè)方面去考慮解決問題。

二、怎樣確定函數(shù)的周期

1.代換法

總之，周期是函數(shù)的一個(gè)重要屬性，而學(xué)生對(duì)它的認(rèn)知往往是簡(jiǎn)單膚淺的，這個(gè)問題在教學(xué)中一定要引起教師的高度重視，要想方設(shè)法拓展學(xué)生對(duì)周期內(nèi)涵和外延的認(rèn)知程度，特別是它蘊(yùn)含的等價(jià)變換和數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該讓學(xué)生去親身體驗(yàn)和感受，這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益。