高中數學圓錐曲線解題技巧之我見

張蓓媛

【摘 要】 高中數學教學中有很多重點和難點，在這些環節的突破中，教師需要巧妙地鎖定教學策略，結合學生的實際學習現狀，通過問題的引領、方法的點撥啟發學生一步一步解決重點和難點。筆者就結合圓錐曲線類問題，借助具體的例題進行了探討，希望能促進學生學習能力的提升。

【關鍵詞】 高中數學;圓錐曲線;能力

圓錐曲線是高中數學的重點與難點知識，屬于高考必考知識點，以計算煩瑣而著稱。教學中為提高學生的解題能力，增強學生解答圓錐曲線習題的自信，教師就應注重在課堂上傳授相關的解題技巧，幫助學生充分把握圓錐曲線習題的特點以及相關的解題技巧，使學生能夠根據實際情況靈活應用相關方法，進而突破這一學習難點。

一、借助圖形，巧找參數關系

解答圓錐曲線試題時，迅速正確地找到參數之間的關系是關鍵。為幫助學生更好地找到參數之間的關系，迅速求解圓錐曲線習題，教學中應注重為學生滲透數形結合思想，認真講解各類圓錐曲線的幾何性質，使學生準確記憶，深刻理解，搞清相關參數的內在關聯。同時，圍繞具體例題講解，使學生掌握解題時應注意的細節，認真審題，冷靜分析，充分挖掘隱含條件，確定正確的參數范圍，繪制正確的圖形，靈活運用圓錐曲線的幾何性質求解。

例1：已知雙曲線的方程為-=1，F1，F2分別為其左右焦點，其上有一點P（，），已知△PF1F2的內切圓和x軸切于點M，則·的值為____。

解答該題時需要根據題意繪制相關的圖形，借助圖形找到參數之間的關系，運用雙曲線知識進行求解。由點P坐標，不難求出雙曲線的方程為：x2-=1。根據題意繪出如圖1所示的圖形，設M（x，0），則由橢圓知識以及幾何知識可知|PF1-PF2|=2，|PN|=|PM|，|NF1|-|HF2|=2，則不難推出|MF1|-|MF2|=2，即（x+2）-（2-x）=2，解得x=1，則M（1，0），·=（-1，）·（1，0）=-1。通過該題目的求解，使學生認識到借助圖形解答圓錐曲線習題能很快找到相關參數的關系，大大降低解題難度。

二、運用結論，少走解題彎路

圓錐曲線涉及很多結論，部分結論具有普遍性，應用于解答相關習題過程中，經過簡單的計算便可得出答案，促進學生解題效率的提升。授課中要注重圍繞某一具體的曲線方程，為學生詳細講解相關結論的推導過程，使學生不僅要準確記憶，更要能夠順利地推導，做到知其然，更知其所以然，以實現靈活應用。同時，提高學生應用結論解答圓錐曲線問題的意識，結合具體例題，引導學生分別使用常規法以及結論法解題，使學生體會應用結論法解題的便利。

例2：已知橢圓方程：+=1（a>b>0），其中長軸為短軸的2倍。一斜率為k（k>0）的直線過右焦點F，和橢圓交于A、B兩點，若=3，則k=_____。

該題目屬于常規題目，解題中，應用相關結論經過簡單的計算便

可得出結果。該結論為：過橢圓+=1（a>b>0）右焦點F且傾斜角為a（a≠0）的直線與橢圓相交于A、B兩點，且滿足=，則橢圓的離心率為。顯然，該題可以直接套用該結論。由長軸是短軸的二倍，則不難求出離心率e=，又因為k=3，直接代入可得|cosa|=，因為a∈（0，），則cosa=，k=tana=。通過該題目的解答，使學生認識到應用結論求解圓錐曲線習題，既能保證解題結果的正確性，又能很好地提高解題效率，使其在學習中注重相關結論的推導與記憶，并靈活用于解題中。

三、巧設方程，避免解題討論

解答圓錐曲線習題時，部分習題因不知道圓錐曲線的焦點在哪一個軸上而需要進行分類討論，計算較為煩瑣，而根據題干條件巧設方程就能有效簡化計算。教學中應注重對圓錐曲線相關問題進行匯總，并在課堂上為學生認真講解，使學生掌握該類題型的特點。如求解與已知橢圓、雙曲線共焦點的橢圓方程、雙曲線方程，求解與已知雙曲線有共同漸進線或已知漸進線的雙曲線方程，不清楚焦點在哪個軸上雙曲線的標準方程，就可通過巧設方程避免解題時的討論。另外，為學生講解巧設方程的結論，要求學生牢固記憶，使其在解題中能夠迅速找到高效的解題思路。

例3：已知雙曲線方程為：-=1，求和該雙曲線有公共漸進線且過點A（，3）的雙曲線的標準方程。

該題目不確定雙曲線的焦點在哪個軸上，因此采用常規做法需要進行分類討論，較為煩瑣。而將待求解的雙曲線的標準方程設為-=k（m，n>0），將A點坐標代入，不難求出要求解的雙曲線方程為：-+=1。通過該題目的求解，使學生認識到巧設方程能避免解題中的麻煩，提高解題效率。另外，授課中還應注重為學生講解其他巧設方程的技巧，如已知漸進線方程為y=±mx（m>0），求雙曲線的方程時可設為：y2-m2x2=k（k≠0）。

綜上所述，圓錐曲線在高考中分值占比較高，為提升學生的圓錐曲線解題能力，教學中既要注重圓錐曲線基礎知識的全面深入講解，又要注重總結相關的解題技巧，同時要求學生加強訓練，養成良好的解題習慣，不滿足于得出正確結果，而要嘗試著從其他角度入手，尋找更佳的解題技巧，促進學生圓錐曲線習題解題水平邁上一個新的臺階。

【參考文獻】

[1]魏慧.借力數學探究，提高學生“四能”，發展核心素養——“圓錐曲線的統一定義”一課的教學感悟[J].中學數學，2020（01）：7-9.

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