面向論文閱讀與寫作的張量分析教學改革研究

張志鎮 程紅梅 羅寧 王建國 高峰

[摘 要]課題組針對張量分析教學中存在的問題，分析了其發展歷程、教學動機與教學目標，指出科學文獻的閱讀與寫作是張量分析教學的主要目的，也是學生學習的核心訴求。基于此，課題組以高水平論文閱讀與寫作為主要抓手，將其和課程教學有機結合，構建了張量分析教學改革總體實施方案，包括六個方面：教學內容優化、教學方法改革、論文閱讀研討專題、論文寫作實踐、張量應用能力考核和教學效果評價。這六個方面貫穿于整個課程教學的始終，形成了張量分析一體化全方位教學實踐體系，具有深遠的實踐意義與較高的推廣價值。

[關鍵詞]張量分析;教學改革;論文閱讀;論文寫作;改革方案

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）09-0053-03

張量是一個可用來表示在一些矢量、標量和其他張量之間的線性關系的多線性函數，這些線性關系有內積、外積、線性映射以及笛卡兒積等。自然界中絕大多數物理量和力學量都可以用張量表示，所以張量分析在物理學和工程學中非常重要，例如廣義相對論完全用張量語言描述;工程中應力和應變都是二階張量，彈性材料本構關系由一個四階彈性張量來決定等[1]。張量分析作為連續介質研究的基本數學方法，在力學、物理學、土木工程、計算機科學、材料科學、地球科學等學科中具有廣泛的應用背景[2]。

目前，在各高校工程類高年級本科生的數學力學相關課程中，都或多或少地涉及張量分析內容[3]。在我校，工程力學專業本科生彈性力學課程中會涉及笛卡爾張量的內容，一般是結合相關彈性力學方程進行對照講解;在研究生教學中，張量分析是力學類（一般力學、固體力學、流體力學、工程力學）、土木類（巖土工程、結構工程、橋隧工程、防災減災等）等專業研究生的基礎必修課。此外，礦業工程、礦產普查與勘探、安全科學與工程、材料科學與工程等專業也有不少研究生選修，每年于秋季學期上課，教學時數為30學時[4]。

但在多年授課過程中發現，學生對此門課程的學習積極性不高，學習效果不好，這主要是由于兩方面的原因，一是張量分析課程本身十分枯燥，所需數學知識較多，學生學習起來有一定的難度，二是學生剛剛進入研究生階段學習，對自己所研究領域尚不熟悉，也不清楚本課程對自己研究課題是否有幫助，導致學習意愿不強，積極性不高，只是想達到不掛科的目的。鑒于此，筆者結合學生實際需求，對張量分析課程教學開展了系統的改革方案與內容實踐，使學生學習效果得到了很大改善。

一、論文閱讀與寫作是張量分析教學的主要目的

（一）張量分析的發展歷程

張量分析最早可追溯至德國數學家高斯所創立的微分幾何、格拉斯曼的超復數理論等。19世紀50年代后，黎曼、貝爾特拉米、克里斯托費爾和李普希茨等人建立并發展了微分不變量理論，為張量分析提供了基礎。19世紀末，“張量”概念由意大利數學家里奇在《絕對微分幾何》中引入，并隨著他的學生列維-齊維塔的經典文章《絕對微分》被廣泛知曉，他們基本建構了張量分析的理論框架。

1916年是一個大的轉折點，愛因斯坦從他蘇黎世聯邦理工學院的同學馬塞爾-格羅斯曼那里學習了很多張量語言，以張量分析和黎曼幾何作為數學工具，用數學不變式表達了廣義相對論，獲得了巨大成功[5]，極大促進了張量分析的發展。此后，張量分析被廣泛而深入地應用于理性力學等科學領域，取得了空前成就。

（二）為什么要學張量分析

自然界中客觀存在的物理和力學量，絕大多數都可以視為張量。例如，時間、尺度、密度、溫度等是零階張量，也稱為標量;力、速度、加速度、電磁場等是一階張量，也稱矢量;連續介質力學中的應力、應變、轉動慣量等，則是二階張量;而材料的彈性本構關系，則可由一個四階張量來表征。總之，張量普遍而廣泛存在，尤其是二階或二階以上的張量往往包含在諸多復雜物理力學系統中。

要不斷地推進科學和技術的進步，需要更加精細地研究自然界中的復雜物理力學現象，揭示其中的規律，獲得高品質的產品，在這一系列研究過程中，張量分析已經成為有力的工具。而作為知識媒介的書籍、論文、報告等科學文獻中，張量也已經成為必不可少的基本語言，缺乏張量分析的手段，許多先進材料本構方程的研究和建立，以及工程結構與過程的推演與計算，都會舉步維艱。筆者隨機統計了SCI數據庫中近20年百余篇力學類理論分析論文，發現越來越多的力學類文獻和教材都采用張量符號書寫，近年已達93%，如圖1所示[4]。

作為高年級本科生，尤其是研究生，要開展創新性課題訓練，撰寫學術論文，就需要閱讀大量的科學文獻，并且在前人的研究基礎上構建新模型，推導新公式。如果不熟悉張量分析知識，在閱讀相關研究文獻時就困難重重，更別提在此基礎上開展創新研究了。因此，張量概念和張量分析方法已經成為工程科技工作者必須掌握的數學工具。

（三）學習的主要目標是什么

從上述分析可以得出，張量分析更大程度上是一個工具，幫助我們閱讀文獻、開展創新研究。清華大學鄭泉水教授對于張量分析課程的學習目標主要分為如下三個層次：（1）學習為閱讀大部分現代研究文獻所需的張量分析基本知識;（2）初步能將張量分析作為方便的、有力的研究工具，并應用于自己的研究課題中;（3）對張量分析有較深入的理解，可以靈活應用，對現代張量函數理論和微分幾何有初步的了解。

綜上所述，科學論文的閱讀與寫作是張量分析教學的主要目的，因此，以高水平論文閱讀與寫作為主要抓手，將其和課程教學有機結合，以課程教學帶動論文閱讀寫作，以論文閱讀寫作促進課程教學，將會極大提高教學成效。

二、面向論文閱讀與寫作的張量分析教學改革方案

基于以上分析，為切實提高研究生利用張量理論開展科學研究的能力，提出了以高水平論文閱讀與寫作為主要抓手的教學改革構想[4]，并進一步構建了總體實施方案，如圖2所示。

（一）教學內容優化

將張量理論、工程科學問題和高水平論文有機結合，根據學生所在學科分布，從SCI數據庫中遴選各研究方向高水平論文，剖析論文理論推導中張量分析的運用，將其與課程知識一一對應，構建“張量論文閱讀研討案例庫”;遴選難度適中的典型科學問題，利用張量知識開展力學建模和公式推導，構建由命題式到開放式的“張量論文寫作實踐案例庫”;增加工程實際圖片、視頻以及制作精美的三維彩圖、動畫等，吸引學生注意力的同時，使教學內容更加形象生動。總之，把張量分析課程知識教學與知識應用充分糅和，以知識應用刺激知識教學，以知識教學促進知識應用，可以形成一種新的“實戰教學模式”。例如，基于瓦斯滲流問題，選擇論文“Liu Jishan， Wang Jianguo， Chen Zhongwei， Wang Shugang， Elsworth Derek and Jiang Yaodong （2011）Impact of transition from local swelling to macro swelling on the evolution of coal permeability. International Journal of Coal Geology， 88（1）： 31-40.”開展針對性分析，講解梯度、旋度、散度的概念及應用。

（二）教學方法改革

改革以課堂講授為主要手段的教學方法，以精心篩選的高水平論文為主要線索，以培養張量理論運用能力為中心，開展案例教學、研討教學、課堂討論等多種形式的教學，著重采用啟發式和互動式教學，以推動學生自主學習，提高學生學習的主動性和積極性。

（三）論文閱讀研討專題

在課程開始時就把學生分成若干個研究型學習小組，每組3～5人，開展論文閱讀專題研討。從“張量論文閱讀研討案例庫”中選題，以《論文閱讀研討專題指南》的形式布置下去。重點的針對性訓練有以下內容：工程問題的張量描述（問題認知）;利用張量理論構建力學模型（張量建模）;理論模型的推導與分析（張量推導）;撰寫分析報告等。

（四）論文寫作實踐

針對學生的研究方向，從“張量論文寫作實踐案例庫”中遴選難度適中的典型科學問題，在學期末以《論文寫作實踐選題指南》的形式布置寫作，作為課程重點考查內容，讓學生利用張量知識開展力學建模和公式推導，可以在指南內開展命題式研究，也可以不受指南限制，進行開放式寫作實踐。

（五）張量應用能力考核

教學改革與創新活動必須實行一個較為公平的考核評價方法，并具有激勵作用，這樣才能保證絕大多數學生參與其中并且受益。張量應用能力的考核評價主要從相應的三個方面入手，即張量知識掌握水平、張量閱讀理解能力、張量寫作實踐能力。考核成績與平時出勤等一起作為課程成績。

（六）教學效果評價

客觀上，利用上課出勤率和課程成績作為教學效果評價指標;主觀上，通過與學生直接交流、發放無記名調查問卷等，獲得教學效果的反饋與建議，完善面向論文閱讀與寫作的張量應用能力培養體系。

三、張量分析教學改革的實踐意義及推廣價值

（一）實踐意義

第一，高水平論文閱讀與寫作是學生深入理解和應用張量概念及理論的必要過程。對于大部分學生來說，張量理論晦澀難懂，對論文中具體張量推導過程的細致剖析與研討可以使學生加深對理論本質的理解，把握理論的核心要點，領會在應用中的關鍵、難點及存在的問題，方便學生進一步加強研究與分析的深度。

第二，高水平論文閱讀與寫作直接體現了張量分析課程的學習目標。越來越多的理論性論文采用張量書寫運算，張量分析課程也應直面科學研究中具體問題的建模分析過程，以張量概念及理論為工具，從研讀學科內高水平論文中進行理論推導，到利用張量記法及運算的優越性進行理論模型構建和論文寫作，是張量分析課程的核心目標。

第三，高水平論文閱讀研討與寫作實踐契合研究生階段核心訴求與培養目標，可激發學生的學習積極性與主動性，營造生機勃勃的教與學互動環境。

因此，構建張量論文閱讀研討和寫作實踐案例庫及相關教學資源，對于推動教師研究型教學、學生研究型學習，提升教與學的效果，培養研究生利用張量分析進行科學研究的能力，都具有重要的意義。

（二）推廣價值

面向高水平論文閱讀與寫作的張量分析課程案例庫及相關教學資源的建設，在我校研究生張量分析課程的研究型教學中發揮了重要作用，任課教師可方便地開展論文閱讀研討與寫作實踐環節，提高學生學習興趣，提升教學效果。

此教改方案的最大特點就是：在多學科視野下，將課程知識學習與研究生階段核心訴求結合起來。從高水平論文寫作切入，符合本課程的固有屬性，符合學生的內在需求，符合學校“雙一流”建設要求，符合教育部關于加強研究生課程建設意見，具有廣泛的推廣價值。未來可拓展至分形巖石力學、損傷與斷裂、滲流力學等力學專業研究生課程，共同打造開放創新的力學類研究生基礎課程研究型教學框架。

四、結束語

通過分析張量分析課程的教學動機與目標，構建了面向高水平論文閱讀與寫作的教學改革總體實施方案。緊緊抓住學生閱讀論文理論部分的主要困難，構建由點及面的張量論文閱讀研討案例庫，提升學生輸入型張量知識應用能力;緊緊圍繞學生開展論文理論研究的核心訴求，構建由命題式到開放式的張量論文寫作實踐案例庫，提升學生輸出型張量知識應用能力;重研討重應用重聯系，建立教學內容優化、教學方法改革、論文閱讀研討專題、論文寫作實踐、張量應用能力考核和教學效果評價的一體化全方位張量分析教學實踐體系。該教改方案具有深遠的實踐意義與較高的推廣價值。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 黃克智，薛明德，陸明萬. 張量分析（第2版）[M]. 北京：清華大學出版社，2003.

[2] 彭樂生. 在力學教學中及早普及張量的建議[J]. 教材通訊，1985（2）：14-15.

[3] 陳新，左建平. 張量分析教學內容改革的研究與實踐[J]. 科技創新導報，2016（9）：116-117.

[4] 張志鎮，程紅梅，邢燕，等. 《張量分析》課程教學趨勢分析與改革構想[J]. 教育教學論壇，2018（47）：91-92.

[5] 黃勇，魏屹東. 從張量概念到張量分析[J]. 科學技術與辯證法，2008（3）：80-84.

[責任編輯：鐘 嵐]