國內信息技術與數學教學融合研究述評

蔣培杰，牛偉強，熊 斌

國內信息技術與數學教學融合研究述評

蔣培杰1，2，牛偉強1，2，熊 斌1，2

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．上海市核心數學與實踐重點實驗室，上海 200241）

信息技術與數學教學的深度融合既是時代的潮流，也是培育數學核心素養的內在要求，為進一步促進這一融合的深度研究，對CSSCI來源教育類期刊、《數學教育學報》和《數學通報》的276篇文章進行內容分析．發現：（1）融入數學教學的信息技術逐漸便攜化和系統化；（2）研究的方法有思辨研究、案例研究、描述性研究、調查研究、行動研究、實驗研究和比較研究；（3）研究的內容主要涉及計算機輔助數學教學、動態幾何軟件、計算機代數系統、數學實驗教學、信息技術與數學課程整合以及數學教師TPACK等6個方面．信息技術的特點與年代相關，研究成果較多的是教育和經濟水平較好的省市，思辨研究過多，信息技術應用的評價機制缺乏．建議：重視實驗研究和設計研究；加強數學探究和數學實驗的標準教材研究；加強信息技術環境下的數學建模教學研究．

信息技術；中小學；數學教學；融合；述評

1 問題提出

技術帶來新媒體、新功能、新視角使得設計新的課程和教學活動成為可能，學習和做數學的方式有了新變化．信息技術與數學教學的深度融合既是時代的潮流、不可抗拒的趨勢，也是培育數學核心素養的內在要求．信息技術不僅有助于學生“做數學”，還有助于讓學生直接在現實生活和大自然中感悟數學的價值．在數學教學中正確應用信息技術不僅能引發學生興趣，有助于學生深入理解數學，提高教學效率，還能幫助學生創新和創造[1]．改革開放已四十余年，在科學技術一日千里的今天，中國信息技術與中小學數學教學融合的研究已經發展到什么程度？有哪些好的經驗？為更明確定位信息技術的作用，使信息技術更好地服務于中小學數學教學，促進教育理念的有效落實和教學方式的有利變革，更高效地培養德智體美勞全面發展的人，有必要對信息技術與中小學數學教學（以下簡稱數學教學）融合的研究成果作細致地梳理和述評．孫彬博和曹一鳴（2019）對1978年以來中國頒布的14份中學數學課標、大綱中信息技術應用內容演變及發展特點進行編碼分析，提出應進一步開展調研、助推應用研究等建議[2]．這對當前國家數學課程標準的修訂和信息技術與數學課程的深度融合有參考價值，但目前此類對信息技術與數學教學融合研究的梳理和分析還不多，對信息技術與數學教學融合方面的研究作較為全面的梳理和述評無論是對理論研究還是對教學實踐都有重要意義．

2 研究方法

自改革開放以來，中國在信息技術與數學教學融合方面進行了不斷的、有益的嘗試．有關信息技術與數學學科整合的文獻可謂汗牛充棟，知網上以“信息技術*數學”為關鍵詞檢索有四千多項研究，全文內容同時涉及信息技術和數學的文獻則更多，有二百余萬篇．因此，要做全面的梳理不太可能．由于發表信息技術與數學教學融合方面成果較為權威和重要的刊物有《數學教育學報》以及《電化教育研究》等CSSCI來源教育類期刊，這些刊物中相關的文章具有較高的代表性．此外，中小學數學教師是信息技術與數學教學融合的主要實踐者，收錄他們相關成果較有影響力的核心期刊是《數學通報》．為使得所選刊物具有更廣泛的代表性，研究選取1979—2019年（截至2019年10月）《數學教育學報》、CSSCI來源教育類期刊（以2019—2020年目錄為準，不含擴展版）和《數學通報》中相關的文章．選入文獻的標準為：文章的標題或關鍵詞中同時包含屬于“信息技術”外延的詞和屬于“數學”外延的詞．由于《數學通報》的文章沒有摘要和關鍵詞，所以基于文章的標題進行判斷．為提高研究的信度，由兩位研究人員共同討論且意見一致后才確定選入文章．選入文章共276篇，其中《數學教育學報》75篇，《電化教育研究》53篇，《中國電化教育》27篇，《現代教育技術》8篇，《課程·教材·教法》6篇，《中國教育學刊》2篇，《開放教育研究》2篇，《教育科學》1篇，《教育研究》1篇，《數學通報》101篇．采用內容分析法對這些文章從完成年份、地域、研究的主要內容和研究方法等維度進行分析．

其中，地域指的是第一作者發文時所在省域．在研究方法的分析上，由于數學教育的研究類型主要有描述事實、發現關系和揭示差別3類，每種類型下各有多種具體的研究方法[3]，根據選入文章的特點將研究方法細化為描述性研究、案例分析、調查研究、比較研究、行動研究、思辨研究和實驗研究．由于某些文章兼具多種研究方法，存在一定的模糊性，為提高信度由兩位研究者根據上述界定先獨立判斷每篇文章的核心研究方法，然后討論統一并作記錄．研究的主要內容則通過對選入文章的關鍵詞作詞頻分析得到．對意義相同或相近的關鍵詞重新編碼、作統一規范化處理，比如，“TI圖形計算器”和“HP圖形計算器”等統一規范為“圖形計算器”；“數學課程”“課程內容”“新課程”“課程標準”等統一規范為“課程”．對于來源于《數學通報》的文章，其關鍵詞（3~5個）由兩位研究者先獨立歸納，討論統一后確定．

3 結果與述評

3.1 研究的年代特點

年份統計結果如圖1所示．從1979—1993年近15年間，關于信息技術與數學教學融合的研究成果僅有一篇文章．該文由賀大國（1985）發表在《電化教育研究》上，主題為小學數學投影片的發行和應用[4]．從1994年開始每年都有一定數量的文章發表，并且數量呈逐年增加趨勢，大部分研究成果集中出現在21世紀剛開始的前后幾年，文章數量在21世紀的頭幾年達到一個高峰．2005年以后文章數量呈減少趨勢．發表文章比較多的年份是2002年（23篇）、2004年（22篇）和2005年（22篇）等年份．2005年是一個研究轉折時間點，此后研究的熱度降低，但年均研究成果仍比21世紀以前（1994年以后）多．可見，科學技術的發展促進了信息技術與數學教學融合的研究．

圖1 文章數量的時間分布

由于2002年發表的文章最多，以2002年為分界點，2002年（含）前和2002年（含）后的文章的關鍵詞詞頻見表1．2002年以前主要研究計算機輔助數學教學，幾何畫板是主要的信息技術工具；2002年以后主要研究的是“信息技術”和“數學教學”，說明信息技術的教學應用意識更加濃厚．“圖形計算器”的出現頻率超過“幾何畫板”，圖形計算器和幾何畫板一起成為主要的信息技術工具．圖形計算器不僅能進行數值計算，還能進行簡易的符號運算，并具備（動態）作圖功能，可見隨著時間推移和科學技術的發展，可用于數學教學的信息技術的類型更加便攜、細致和多樣化，功能也更加完善．“課程”與“整合”出現頻率較高，說明2002年以后更加注重信息技術與課程的整合．此外，從2002年以后數學探究和數學實驗等教學模式逐漸得到研究，計算機輔助數學教學不再是主要被研究的教學模式，數學探究和數學實驗等模式得到重視．

表1 2002年前后關鍵詞詞頻倒序前10比較

3.2 研究的地域特點

發表文章最多的省份是北京（64篇），其次是江蘇（32篇）和廣東（20篇）．圖2中列出省份為發表文章數量達近10篇及以上的省份，列出的省份大部分是教育和經濟水平相對發達的省份，說明信息技術與數學教學融合的研究受到教育和經濟水平的影響，成果較多的省份是教育和經濟水平相對較好的省份．同時，作為教育和經濟水平相對落后的省份，甘肅（18篇）和廣西（9篇）也發表了一定數量的文章．由于《電化教育研究》雜志是由西北師范大學創辦，而西北師范大學所在省份就是甘肅，說明創辦學術刊物有助于促進當地相應研究的發展，應重視信息技術與數學教學融合研究平臺的搭建．廣西的9篇文章中有5篇是由同一人發表的，說明人才建設對于研究的發展非常重要，應重視相關人才的引進和培養．因此，信息技術與數學教學融合的研究成果總體受制于教育、經濟水平，但與人才建設和研究平臺的搭建密切相關．

圖2 研究的地域分布

3.3 高頻作者統計

對選入文章的作者進行分析，發現作為文章作者之一有5篇以上文章選入的研究者有吳華（9篇）、尚曉青（8篇）、王光生（6篇）、彭翕成（6篇）、徐章韜（6篇）、張景中（6篇）、孫名符（6篇）、曹一鳴（6篇）、張桂芳（5篇）和張定強（5篇）．在某一領域高頻發表學術論文一般都意味著研究者在該領域進行了較長時間的持續研究，對他們的介紹有助于其他研究者檢索和了解關于信息技術與數學教學融合的一些連續性研究成果．

3.4 研究的主要方法

圖3為276篇文章研究方法的統計柱形圖．由圖3可知，選入文章采用的核心研究方法以思辨研究最多，其次是案例分析，大部分文章的核心研究方法為這兩者之一．描述性研究、調查研究、行動研究、實驗研究和比較研究相對少一些．思辨研究共117項（42%），案例研究共88項（32%）．思辨研究主要是采用分析的方式闡述思想、討論信息技術的價值，如張定強[5]、吳華[6]和劉詠梅[7]等的研究．案例分析是對教學案例作較為細致的分析，如王雪[8]、陳咸存[9]和李渺[10]等的研究．此外，有31篇（11%）文章是描述性研究，主要是對技術工具的介紹和國外經驗的引介，如李剛[11]、孫連舉[12]和吳華[13]等的研究；有20篇（7%）文章是對教師應用信息技術態度和效果等的調查研究，如郭衎、曹一鳴、王立東[14]和王愛玲[15]等的研究；有9篇（3%）文章是在實踐中探討信息技術有效應用的行動研究，如權國龍[16]和龔衛東[17]等的研究；有8篇（3%）文章是檢驗信息技術與數學教學融合干預效果的實驗研究，如徐勇[18]和沈仁廣[19]等的研究；有4篇（1%）文章是比較研究，作者是郭衎、曹一鳴[20–21]和袁智強[22]等．總體而言，思辨研究較多，實證類研究偏少，考慮到信息技術與數學教學融合的最終目的是改善教學實踐，未來應重視實證研究，尤其是長期的教學實驗研究和精細的行動研究．此外，設計研究能在真實的教學情境中發現規律、建構理論，但目前的研究中尚未見使用，未來應受到重視．

圖3 研究方法統計柱形圖

3.5 研究的主要內容

據圖4，信息技術（66次）、數學教學（40次）、圖形計算器（38次）、整合（34次）、計算機輔助教學（31次）、幾何畫板（25次）等是出現次數最多的關鍵詞．數學實驗（23次）、課程（21次）、探究（21次）、多媒體（18次）、函數（17次）、動態幾何（10次）、超級畫板（9次）、圓錐曲線（6次）等關鍵詞出現次數較多．此外，GeoGebra和TPACK也多次出現．

圖4 關鍵詞詞頻倒序條形圖

因此，已有研究涉及的教學內容主要是函數和圓錐曲線，教學模式則主要是計算機輔助數學教學、數學探究和數學實驗，主要的信息技術工具是計算機多媒體、幾何畫板和圖形計算器等．信息技術引起的研究已體現在數學課程和教師教育上．主要研究的內容有以下幾個方面．

3.5.1 計算機輔助數學教學（CAMI）

有62篇（22%）文章主要的研究內容是計算機輔助數學教學（computer aided mathematics instruction）．較早的研究時間可以追溯到1994年，張杰夫探討了計算機輔助數學教學的心理學基礎，指出計算機對數學教育重心的轉移和內容變化都有影響，并就計算機是否損害代數能力的發展作了討論，建議所有年級的數學課都使用計算機[23]．劉金國則提倡人工智能計算機輔助數學教學，探討了人工智能輔助數學問題解決教學的可操作性[24]．在多媒體課件的制作上，吳華等認為課件設計要具體與抽象相結合、動態與靜態相結合、數值與圖形相結合以及展示數學美與數學欣賞相結合[25]．張波進一步歸納出計算機輔助數學教學需要注意形象生動與抽象運算的關系、實驗歸納與演繹推理的關系以及人機交互與情感交流的關系[26]．王立東還指出計算機輔助數學教學存在忽視傳統教學、忽視師生情感交流和過度形式化等問題，提出“適合、適當、適時、適度”的八字對策[27]．總體而言，計算機輔助數學教學的研究成果豐富．多媒體課件制作的一些方法和原則已經被提出．存在的問題和應處理好的關系得到一定程度的探索，并且形成了一些有針對性的策略．

3.5.2 幾何畫板等動態幾何軟件（DGS）的應用

有43篇（16%）文章主要研究幾何畫板等動態幾何軟件（dynamic geometry software）的教學應用．陶維林指出幾何畫板具有學習容易、操作簡單和功能強大等特點，并列舉幾何畫板在概念教學、問題解決和數學實驗中的應用，呼吁廣大教師學習幾何畫板[28]．對如何借助幾何畫板在教學中滲透數學思想方法，胡晉賓提供了策略[29]，很多案例得到開發．超級畫板和GeoGebra等動態幾何軟件也在教學中有所應用．張景中等基于超級畫板技術研發“動態幾何”課程，指出“動態幾何”的教育價值[30]．彭翕成倡導用超級畫板開展中學數學觀察、驗證、模擬和探索實驗[31]．還有研究者推介GeoGebra用于數學教學，對GeoGebra軟件進行全面介紹，并與幾何畫板對比，指出GeoGebra具有優于幾何畫板的代數功能，更容易操作[32]．尚曉青通過比較發現國內關于動態幾何的研究問題比較宏觀、研究過程設計不夠嚴謹、研究結論指導性不足，提出要借鑒和學習國外的經驗[33]．各種動態幾何軟件各有特點，它們之間的功能差異已有研究，這為教師選用技術提供了一定的參考．動態幾何軟件是數學探究和數學實驗教學的有力工具．

3.5.3 圖形計算器等計算機代數系統（CAS）的應用

有32篇（12%）文章主要研究的是圖形計算器等計算機代數系統（computer algebra system）在數學教學中的應用．計算機代數系統的主要功能是數值運算、符號運算和作圖．圖形計算器在一定程度上具備了上述3項功能，是一種簡易的計算機代數系統．黃旭廣介紹了早期圖形計算器的功能及其在課堂教學中的作用，論述了引入圖形計算器的必要性與可行性[34]．郭立昌通過對北京四十多所學校的數學教學中應用圖形計算器的觀察指出要更新教育觀點、改進教學過程、開展課題研究、督促教師學好技術和將技術與課程整合才能更好地開展中學數學創新教育[35]．徐德前將圖形計算器應用于高中數學實驗教學[36]，安陽等則將圖形計算器用于研究性學習[37]．何棋等探討了在數學測試中使用圖形計算器，提出試題編制的方法[38]．MAPLE和MATHEMA- TICA等計算機代數系統在中學數學教學中雖有應用但并不多，圖形計算器因其手持優勢和容易操作的特點在教學中擁有更廣泛的應用．圖形計算器有利于開展數學探究和數學實驗教學．在如何編制可用圖形計算器作答的試題上，研究成果則很少．

3.5.4 數學探究和數學實驗（MEs）

有30篇（11%）文章主要研究數學探究（mathematical exploration）和數學實驗（mathematical experiment）教學．曹一鳴等將手持技術如圖形計算器等列為“移動數學實驗室”[39]，數學實驗室為數學探究和數學實驗教學提供了技術環境．趙小云等以“結構、探索、概念、外延”為現代教育技術支持下的數學探究活動的指導方針[40]．張佳等則在實踐的基礎上對融合手持技術的探究式學習進行了思考，用案例闡述了信息技術支持下如何進行探究式教學[41]．在數學實驗教學上，侯立偉指出信息技術能夠為學生提供表征多元的學習環境，使學生從不同角度深化對概念的理解和掌握，有利于數學實驗的開展[42]．吳華等提出驗證結論和探索建構是兩種基于多媒體技術進行數學實驗教學的方式[43]．喻平提出數學實驗教學與計算機輔助數學教學最大的區別在于探索性和學生主動性，數學實驗教學充分體現了過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實的有機融合，有利于靜態數學觀與動態數學觀的融通[44]．信息技術支持下，開展數學探究和數學實驗教學更為便利．

3.5.5 信息技術與數學課程整合研究

有29篇（11%）文章主要研究內容是信息技術與數學課程整合．張定強對數學技術、信息技術與數學課程的整合進行了思辨，指出在信息技術條件下，數學課程在數學課程理念、數學內容選取、數學教學與信息技術的整合等方面發生了實質性的變化[45]，合理地在數學課程體系中定位信息技術的角色，才能使信息技術在數學新課程的發展中充分發揮其獨特的作用[46]．徐章韜提出用信息技術挖掘課程內容的精神實質、課程內容中蘊含的思想方法、探究性素材、課程內容間的內在聯系是將信息技術深入到課程的幾種常用著力點和取向，這些著力點和取向將導致課堂教學結構的根本變革[47]．雷波采用逐步回歸數學模型對影響學生對中學數學微課程教學總體滿意度的因素進行了分析，發現能否引發學生興趣是學生總體滿意度的主要影響因素[48]．值得指出的是，孫彬博和曹一鳴以課程標準（教學大綱）內容演變為主線對中學數學課程（1978年至今的14份標準或大綱）中信息技術應用進行了回顧與展望，為課程標準編寫以及未來的研究提供了一些有益的建議[2]．信息技術已逐漸發展為數學課程的一部分．

3.5.6 數學教師TPACK研究

有22篇（8%）文章的主要研究內容是數學教師TPACK，探討了信息技術支持下數學教師的專業知識結構以及數學教師的培養．孫名符等從理念認識、專業知識、專業技能、專業標準、發展模式等幾個方面對該問題進行了分析，提出信息技術支持下數學教師專業發展的策略[49]．袁智強等通過實證研究表明，職前數學教師學習關于TPACK的課程，參加相關的教學活動是實現職前數學教師的TPACK水平顯著提高的一種途徑[50]．段元美等通過問卷調查對中國基礎教育實踐中教師TPACK的構成進行了實證研究，發現初中數學教師TPACK包括整合技術教授數學的統領性觀念、學生理解知識、課程和課程資源知識、教學評價知識和教學策略知識等5個因子[51]．張新顏以685位初中數學教師為研究對象，經因素分析探析出TPACK的5個主要因素，構建符合中國數學教師特質的3層5因素的初中數學教師TPACK結構模型[52]．總體而言，數學教師的TPACK結構已經有一些探索和成果，但還有待更全面、更深入的研究．

此外，在信息技術促進問題解決[53]、信息技術如何在課堂中應用[54]、信息技術促進提高教學效率[55]和計算器用于考試[56]等方面也有一些具有代表性的研究成果．

4 結論與討論

4.1 研究年代和地域特點

信息技術與數學教學融合所使用的主要信息技術工具和類型與年代相關，受限于科學技術的發展，具有明顯的時代特色．20世紀90年代中期就出現信息技術與數學教學融合的初步研究，已有近三十年的研究歷史．在計算機多媒體的共同基礎上主要的信息技術工具由幾何畫板轉向圖形計算器，體現出手持化和系統化的特點，可見將來的技術工具會更加精細、更方便使用．由于現有研究中已經有人工智能與數學教學融合的雛形[57]，未來的技術工具很可能基于互聯網整合到智能手機上，以智能化數學學習應用程序的形式出現．在地域上，教育和經濟水平相對發達的地區成果普遍較為豐富．信息技術與數學教學融合研究成果的地域特點反映了教育和經濟水平對教育研究的重要影響．同時，相關的人才建設和研究平臺的搭建能夠提高信息技術與數學教學融合研究的水平，對促進研究成果的產生非常重要．

4.2 研究方法和內容特點

在研究方法上，實證研究和非實證研究都有，但量化研究較少．采用最多的研究方法是基于個人理性認知的思辨研究，描述性研究也較多，實驗研究等實證方法較少，精致的實證研究也不多．雖然思辨研究已經很多，但是相應的理論構建卻不多，尚無法達成共識．此外，已有的行動研究相對粗糙，多是一線教師對教學實踐的反思，缺乏有清晰目的的事前設計．已有的教學實驗研究在范圍、深度和評價上有待提高．在研究內容上，已有研究關注數學課堂教學，聚焦在如何應用幾何畫板和圖形計算器等各類技術上．信息技術環境下，數學探究和數學實驗教學雖已有初步的探索，不再只是對計算機輔助數學教學的研究，但在更為聯系生活實際的數學建模的教學方面卻還沒有研究．信息技術應用于數學教學的標準和效果的評價研究也非常缺乏，目前較有代表性的成果僅王光明等（2013）“融入信息技術的數學教學設計評價標準”一文[58]．

5 建議

5.1 重視長期的實驗研究和設計研究

認知負荷理論、信息加工理論等學習理論和信息技術與數學教學融合密切相關，未來研究應重視相關的學習理論，在理論的基礎上重視教學實驗研究，通過實驗研究發現教學中的因果關系和規律，構建信息技術與數學教學融合的理論體系．思辨研究雖能揭示一定的規律，但通過實驗研究更有利于發現教學中存在的問題，提出解決問題的實踐對策，直接推動教學實踐的發展．未來應在深度、廣度、時間長度和效果評價上加強教學實驗研究．同時，由于在真實的教學情境中往往無法嚴格控制實驗變量，作為補充，通過分析、設計、發展和實施這些過程多次循環產生基于情境的設計原則和理論的設計研究也應該得到充分的重視．

5.2 加強數學實驗和數學探究的標準教材研究

任何一個專業領域具體標準的形成都要經歷一個不斷探索的階段，是長期持續研究和不斷積累的結果．數學實驗和數學探究標準教材的研究和研發不僅有助于數學實驗和數學探究的實踐教學，還有助于對信息技術應用的過程和效果進行有效評價．數學實驗和數學探究中如何使用信息技術、使用何種信息技術、使用信息技術的具體流程是什么、使用信息技術的效果怎么樣都需要一定的執行和判斷標準．標準教材的研究要具體到課時和相應案例，像物理實驗和化學實驗一樣，有標準的數學實驗手冊，對中小學階段有代表性的實驗有統一的規劃，明確每一次實驗的目的．

5.3 加強技術環境下的數學建模教學研究

信息技術已經逐漸融入到數學教學的各個方面，使得數學學習方式有了變化，但其價值仍亟待深度開發．信息技術最重要的價值之一就是變革數學教學模式，使得數學探究、數學實驗和數學建模等更加可操作．以圖形計算器為例，信息技術支持下數學建模的教學不再局限于課堂，不再停留在虛擬的情境中．借助圖形計算器技術，學生可以直接在真實的生活情境和科學情境中收集數據、分析數據、構建模型并檢驗模型．目前真實情境下的中學數學建模活動較少，相關研究不多，未來應重視信息技術支持下的中學數學建模（教學）研究．

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A Literature Review of the Integration of Information Technology into Mathematics Instruction in China

JIANG Pei-jie1, 2, NIU Wei-qiang1, 2, XIONG Bin1, 2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

An integration of information technology into mathematics instruction is not only a trend of technological society, but also an inherent requirement of core literacy in mathematics. To contribute to this integration, a content analysis of 276 articles of CSSCI source education journals, mathematics education journals, and mathematics bulletins was conducted. The results show that: (1) The integration of the information technology into mathematics teaching is gradually becoming feasible and systematic; (2) the research methods consist of theoretical argumentation (not empirical research), case studies, descriptive studies, surveys, action research, experimental studies and comparative studies; and (3) the research content mainly involves six aspects: computer-aided mathematics teaching, application of dynamic geometry software, application of computer algebra systems, experimental mathematics teaching, the integration of information technology and mathematics curriculum, and TPACK of mathematics teachers. The use of the kinds of information technology is varied in different time.Most of the studies were conducted with samples and sites from affluent provinces and cities. Most of the published 276 articles are not empirical in nature. There is a lack of the evaluation mechanism of the applibility of information technology. We suggest that more attention should be paid to empirical research and design-based research. There is a need to explore the textbook development with an integration of information technology. We also suggest more research on mathematical modeling with an integration of information technology.

information technology; middle and primary school; mathematics teaching; integration; review

G434

A

1004–9894（2020）04–0096–07

蔣培杰，牛偉強，熊斌．國內信息技術與數學教學融合研究述評[J]．數學教育學報，2020，29（4）：96-102．

2020–02–10

上海市核心數學與實踐重點實驗室課題——數學實踐（18DZ2271000）

蔣培杰（1990—），男，廣西全州人，博士生，主要從事數學方法論與數學教育研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]