James Stewart的微積分教材立體化建設特點及其啟示

王海青

James Stewart的微積分教材立體化建設特點及其啟示

王海青

（惠州學院 數學與大數據學院，廣東 惠州 516007）

為促進教育改革與發展，中國開始在高等教育內部推出“新工科”的高等工程教育教學改革，在基礎教育中開展本土化的大學先修課程試點試驗．微積分課程是高等工程教育課程體系的基礎課程，也是中國大學先修課程試點的主要課程．微積分課程的教材編寫與教學方法是改革的重要環節，影響著課程的實施效果．擯棄不同的教育文化背景以及價值理念，剖析美國James Stewart的經典微積分教材編撰特色與成功經驗，有助于中國微積分教材的建設與相應教輔資源的開發．

微積分教材；新工科；大學先修課程；教材編寫

1 研究背景

為國家戰略培養新型人才的需要，教育部在2016年提出新工科概念后，于2017年正式推出“新工科”[1-3]計劃．自此，高等工程教育從注重科學研究的“科學范式”轉換成為注重實踐的“工程范式”．高等教育內部以工程教育新理念、新模式、新方法、新內容、新質量等作為學校新工科建設和教育改革的基本內容．新工科人才培養應該使學生掌握包括自然科學、數學、工程科學、人文社科等方面更先進的知識．因此，新工科的建設和發展也將為其它學科和專業的建設、改革和發展起到引領和示范作用．其中，在高等工程教育課程體系中起著基礎和支撐作用的高等數學課程的教學與教材改革也需與時俱進，以符合“新工科”建設的要求．

此外，中國在2000年左右開始探索大學先修課程體系，2013年5月，北京大學成立考試研究院并下設“中國大學先修課程中心”．中國大學先修課程項目（Chinese Advanced Placement，簡稱CAP）旨在銜接高中教育和大學教育，讓學有余力的高中生提前接觸大學課程內容，接受大學思維方式、學習方法的訓練[4]．首批研發的包括微積分等7門精品課程已于2014年9月起在全國首批試點中學開始授課．有許多研究[5-14]從宏觀層面梳理了美國AP課程的理念、價值、內容體系與實施方式及其對中國大學先修課程建設的啟示．就大學先修微積分課程而言，它是面向高中生開設的大學數學課程，課程的對象與課程內容的抽象性增加了教材開發的難度．如何開發適合高中生的微積分教材？這也是在后續的教材編寫與修訂中亟待深入思考的問題．

中美兩國的教育目的不同、基礎教育與高等教育的課程體系不同、學生的基礎不同以及文化背景與價值觀也不相同．然而，他山之石可以攻玉．美國成熟的微積分教材體系可以為中國高等數學與大學先修數學課程的建設提供參考和借鑒．

2 James Stewart的微積分教材編撰分析

James Stewart編寫的微積分教材堪稱經典，在美國微積分教材市場的營銷額超過60%[15]，是最受歡迎的微積分教材．James Stewart剛開始編寫的微積分教材本是面向高等院校的大學生，隨著在高中選修AP微積分的學生越來越多地使用，他對原有的微積分教材不斷地進行改善和更新，以滿足不同使用者的需要．下面以James Stewart 2014年編寫的[16]為例，分析其編寫特點，藉此為中國微積分教材與教輔資源的研發帶來些許啟示．

2.1 人性化的排版方式與細致的學習指導

“微積分入門”簡要介紹了促使微積分這門學科產生的面積問題、切線問題與速度問題．數列的極限與數列求和問題，以及解決這些問題的基本思想和方法，主要目的是使學習者對即將要學習的內容及其重要性有一個大致的整體認識，了解微積分與現實的聯系．為了說明微積分的廣泛應用性和引起學習者的興趣，教材在“微積分入門”的最后列出了一份包含12個有趣的現實問題清單，這些問題來自教材中的習題或是拓展課題．例如，電影院中最好的座位在哪些位置？飛機要降落，飛行員要在離機場多遠的位置開始操作下降？如何解釋人觀望美麗彩虹時與最高點的視角大概為42°（如圖1）？

圖1 人觀望美麗彩虹時與最高點的視角

2.2 數學與人文兼具的內容體系

全書共17章，包含大學微積分的全部內容．分別是函數和模型，極限與導數，導數的運算法則，導數的應用，積分，定積分的應用，積分法的技巧，定積分的更多應用，微分方程，參數方程和極坐標，無窮序列和無窮級數，向量空間和幾何空間，向量函數，偏導數，多元函數的積分，向量微積分，二階微分方程．教材在編寫過程中既強調微積分形式邏輯的推導方式，也通過圖形、圖表等直觀形象的描述幫助學生理解抽象的概念和原理．在專注于數學知識的科學性、應用性和思想性的同時，也充分體現了數學與人文的交融．

2.3 突出數學教學核心的編寫原則

數學課堂教學的核心是揭示數學本質和提高問題解決的能力．數學教學應講清楚知識的來龍去脈、豐富內涵及其背后的精神實質和思想方法．教師要通過具體知識的教學揭示數學的本質、過程、思想和結構[17]，并讓學習者體驗到數學來源于現實并應用于現實．“強調對概念的理解”與“提升問題解決能力”是教材的重要編寫原則，它來自于1986年以“微積分教學改革運動”為主題的Tulane大學會議[18]．

（1）重視對概念的理解和數學思想方法的形成．

許多概念的形成過程就包含著重要的數學思想方法，微積分概念的思想性尤為突出．“極限”是微積分中最重要的概念，極限思想也是最基本的思想．一系列概念如“連續”“導數”和“積分”都以極限來刻畫定義．“導數”和“積分”概念隱含了化變量為常量、化曲為直、化非線性為線性、化全局為局部的極限思想，這也正是微積分的精髓所在．概念的習得一般要經歷理解、固化和運用3個環節．James Stewart主要通過“四規則”和設計類型各異的問題促使學習者更好地掌握概念．

圖2 割線的斜率

圖3 切線的斜率

通過解決某些特定類型的問題有助于概念的固化與運用．教材在每個章節練習題和單元復習題中都設置了大量有針對性的習題，從不同角度、多個層次幫助學習者認識和使用概念．與概念相關的習題主要有4類，分別是：要求解釋各章節的基本概念；概念對錯判斷；通過圖形或圖表理解概念；利用文字描述并結合圖形、數值和代數方法考查對概念的掌握程度．

（2）重視問題解決能力和應用意識的培養．

微積分是繼歐氏幾何之后數學中最大的發明創造[19]．它的創立首先是為了解決17世紀主要科學問題，如求瞬時速度、曲線的切線、函數的最值及曲線的長度、曲面的面積、曲面圍成的體積等．所以，微積分的思想具有廣泛的應用性．為此，教材主要通過兩種途徑來培養學習者的應用意識和問題解決的能力．

一個途徑是向讀者介紹并運用波利亞的問題解決“四步驟”策略．所謂“四步驟”策略[20]是指：理解題意、擬定方案、執行計劃與回顧反思，這一解題策略貫穿教材編寫的始終．首先，教材在第一章“函數和模型”的后面專門對“四步驟”策略作了詳細介紹，并通過具體例子說明策略的運用．其次，教材在某些原理的推導或證明、例題的解答過程中會在左邊的空白處給予解題策略提示．如第一章“函數和模型”1.1節的例題5（如圖4，P14），在例題的左邊給出了相應的圖示及解題提示（如圖5）．第三，從第二章到第十六章，每章復習題之后都設置了綜合性較高的“附加題”欄目．每個“附加題”欄目都會有一至兩道詳細的運用“四步驟”策略的例題解答，以便于學習者在剩余的附加題目中仿照學習，并鼓勵其用多種方法解決問題．

圖4 教材中的例題

圖5 教材中的解題提示

另一個途徑是讓學習者在整個學習過程中不斷完成4類不同的拓展課題（應用課題、實驗課題、寫作課題和探索課題）．從第二章到第十六章，每一章都會穿插一個或多個拓展課題．教材會提供相關的數據、公式、參考資料、大致思路和方向，讓學習者嘗試著去完成寫作任務或利用所學的知識去解決問題．“應用課題”的設置主要是為了激發學習者的想象力，如習題9.3后面的課題：“一個球從初始位置向上拋，它到達最高點所用的時間是否比它從最高點回到初始位置的時間長？”“實驗課題”主要涉及到技術的運用，如第10.2節的課題：“如何運用貝塞爾曲線設計激光打印機的字母形狀？”“寫作課題”需要學習者分析與微積分有關的數學史料并提出參考建議，如第2.7節的課題為“早期求切線的各種方法”．“探索課題”主要是培養學習者的綜合運用知識解決問題的能力，如第7.6節的課題是通過對一類不定積分進行“模式識別”歸納出一般結構和解決方法，鼓勵學習者參與探索發現．還有其它的一些附加課題則需要在教師的引導下通過團隊合作來完成，比如習題5.1的第2題關于“樣本點位置的確定”，教師可以指導學習者以小組合作的方式計算數據和繪制草圖．

2.4 強調由“特殊到一般”“具體到抽象”的教學方式

圖6 矩形的面積

2.5 例題典型且解答詳盡 習題難度遞進且覆蓋全面

圖7 參數的解釋

James Stewart編寫的既是一本可供教師教學參考、學生學習的教材，也是一本容量大、覆蓋面廣、難易兼顧的習題集．習題包含三大部分：每節知識點對應的課后練習題、每章的復習題及復習題之后的附加題．除個別章節，每節的練習題量超過50道，每章的復習題有100道左右，每章的附加題也有近15道．章節習題的難度遵循“階梯式”遞進的原則，由基礎的概念題及簡單的計算題、能力提高題和更具挑戰性的應用題及證明題幾個部分構成．附加題的主要目的是為提高學習者綜合運用知識解決問題的能力，引導學習者按照解題策略的步驟理解分析題意、選擇方法處理綜合性的數學問題與現實問題．

2.6 強大的技術支持與豐富的教輔資源

James Stewart的微積分教材已不僅是傳統的紙質教科書，而是依托計算機技術的立體化教學資源庫．計算機技術的應用利于學習者直觀地理解概念和原理，以及實現探究、驗證猜想，降低形式推理的抽象性和學習難度．豐富的教輔資源則滿足不同學習者的需要，拓寬教材內容和探究邊界．完善的網上作業系統則方便學習者的學習與解放教師．

（1）重視圖形計算器和計算機代數系統的使用．

（2）內容豐富的網上同步教輔資源．

圖8 章節后問題

圖9 窮竭法

TEC中還有一個欄目稱為“作業提示”（homework hints）．教材各個章節比較有代表性的習題會用紅色字體標出，通常是奇數號，如圖8的第33題．這表明此類習題可以通過TEC的“作業提示”來解決．相應的提示并不是具體的解答過程，通常以啟發式提問的方式出現，如果前面的提示不能幫助解決問題，則可以進入下一個提示．

（3）靈活的線上作業系統．

James Stewart充分利用網絡和媒介，開發和完善網上作業系統，第八版的教材每章習題的70%已經可以通過在線作業系統來完成和批改．這對大班教學的教師來說是體力和腦力的雙重解放，大大節省了批改作業的時間，學生也能從中獲得及時的反饋．在線作業的使用比例正不斷提高，它的吸引力在于易于使用、精準分級和可靠，提高教學和學習的效率．這個系統還包含一些詳細的樣例，通過鏈接教材內容和視頻一步步地指導學生解決問題．

3 James Stewart的微積分教材立體化建設的啟示

國內高校經典的微積分教材編寫更多地反映內容的精確、嚴謹、邏輯性強等特點．由扈志明主編專門為高中學生量身定制的中國大學先修課程教材《微積分》[21]則在堅持傳統的基礎上，充分考慮到中學生的數學基礎與認知能力，編寫過程盡可能減少抽象符號語言的描述以體現微積分概念直觀與樸素的一面，并且在習題的設置上也做了精心選取，配備了一些設問靈活的開放性題目以滿足不同潛質學生的發展需要．但就高中學生群體而言，教材內容直觀呈現的程度與方式仍有進一步改善的空間，便于不同學習者使用的配套教輔資源還有待開發．

James Stewart的微積分教材當然也有其自身的缺陷．如在算法算理的教學中難于平衡計算機技術的使用比例，容易造成忽視代數運算技巧而過于依賴技術的情形．此外，教材在許多原理的證明過程中為強調直觀闡釋而弱化了邏輯的演繹與推導，一定程度上削弱了內容的嚴謹性．但James Stewart的微積分教材極高的市場占有率也充分說明了教材編寫的成功．它具有通俗易懂、直觀有趣、強化概念與原理、突出應用等特點，配套的教學輔助資源豐富多樣且考慮不同程度學習者的需要．中國微積分教材的編寫及其立體化建設應從中借鑒經驗．

3.1 配備線上線下交融的教學資源以改善學習者學習體驗

隨著信息技術的快速發展與更新，人們的學習方式、微積分課程的內容及教學方式也正在發生改變．教材立體化的理念正被教育工作者們廣泛接受，教材已經由單一的紙介形式向形式多樣的多媒體產品過渡．James Stewart的微積分能成為國際上最暢銷的教材與其豐富的多媒體教學資源有很大關系．它的立體化教學資源在多媒體設計與網絡教學資源管理等方面都值得借鑒．James Stewart花了大量時間根據用戶的需要不斷充實、完善和更新網上同步教學資源，使之成為學習者真正意義上的“第二導師”，在課下給予全方位的、人性化的指導．與傳統的單純依靠紙質教材的枯燥晦澀的學習不同，同步學習網站上的課件與資料鏈接，TEC中的“可視化教具和知識模塊”及“作業提示”，精準分級、及時指導與反饋的“作業系統”都給予學習者新的學習體驗，便于自學和自我提升．這些完善和豐富的線上線下交融的教學資源對在高中選修AP微積分課程的學生來說尤為重要．

3.2 借助計算機技術降低學習難度拓寬廣度和深度

教材通過圖形計算器與計算機代數系統的使用，在一定程度上降低了微積分形式推理的難度．但對于技術的使用James Stewart強調不能用計算器代替技能學習或者問題解決，避免學習者濫用技術．相應地，教材的課后習題也專門開辟有允許和不允許使用計算器的題目．

學習者之間的數學基礎和自我提升的要求存在差異，James Stewart的微積分課程網站上豐富的操作性強的多媒體資源考慮到了不同學習者的差異性，拓寬了學習的廣度和深度．比如網站上提供了大量的提升數學基礎的材料或鏈接，TEC中可供深入探索的“可視化教具和知識模塊”、由淺入深啟發學生思考的“作業提示”、層級分明與指導有度的“作業系統”、圖形計算器與計算機代數系統相關數學軟件的使用指導等，既滿足了不同學習者的需要，也有效地服務于教師的教學．

3.3 注重通過數學思想方法和文化的滲透揭示數學的本質

微積分課程主要是為了發展學生們對微積分概念的理解，為學生提供微積分方法以及應用這些方法的經驗．這反映了數學教學應揭示蘊含在具體知識之上的數學思想、精神與價值，即數學本質．James Stewart的微積分教材重視概念的生成、數學思想的揭示與問題解決能力的培養．如利用“四規則”和豐富的習題加強學習者對數學概念的理解、固化和運用，融合數學史與人文材料體現數學的思想與精神，通過不間斷的“解題策略”與“拓展課題”訓練提升學習者應用意識、數學建模與問題解決能力．這些方式與途徑能大大促進學習者對數學內容的深入認識．

3.4 遵循學習心理與認知規律以促進學習者的理解與掌握

微積分的概念與原理在語言描述上具有高度的抽象性，也體現了數學學科“嚴謹性”的特點，這給微積分的初學者帶來極大的困難與挑戰．然而微積分的歷史發展表明，微積分的基礎是一個逐步嚴謹化的過程，這門學科產生之初邏輯基礎并不嚴謹．為了突破學習者的學習障礙，James Stewart充分遵循了學習心理與認知規律，在教材編寫中貫徹數學教學的基本原則——重視呈現知識的生成與發展過程．他通過“四規則”的方式呈現微積分概念的形成過程，運用“特殊到一般”“具體到抽象”的方式展開微積分原理或規則的證明．具體、直觀與形象的描述方式降低了邏輯的嚴謹性要求，但也保持了適度的形式推理過程，有助于促進學習者對微積分知識的真正理解和運用．

[1] 林健．面向未來的中國新工科建設[J]．清華大學教育研究，2017，32（2）：26-35．

[2] 鐘登華．新工科建設的內涵與行動[J]．高等工程教育研究，2017（3）：1-6．

[3] 顧佩華．新工科與新范式：概念、框架和實施路徑[J]．高等工程教育研究，2017（6）：1-13．

[4] 中國教育學會．中國大學先修課程項目介紹[EB/OL]．（2016-05-11）[2018-09-10]．http://www.csecap.com/About CAP.aspx.

[5] 羅祖兵，陳方．高中開設大學先修課程的困境與對策[J]．課程·教材·教法，2014，34（9）：97-102．

[6] 楊明全．普通高中開設大學先修課程：理念、價值及實踐路徑[J]．課程·教材·教法，2014，34（9）：91-96．

[7] 王振存，林寧．美國大學先修課程的理念、優勢、局限及啟示[J]．課程·教材·教法，2016，36（9）：114-120．

[8] 史寧中．中國大學先修課程研制：理念與作用[J]．數學教育學報，2017，26（3）：4．

[9] 李楊映雪．中美比較視角下的中國大學先修課程及其特色[J]．數學教育學報，2017，26（3）：10-14．

[10] 侯自新．中國大學先修課程的建設與實施[J]．數學教育學報，2017，26（3）：2-3．

[11] 王尚志，胡鳳娟．大學數學先修課與優秀高中學生的發展[J]．數學教育學報，2017，26（3）：5-9．

[12] 馬峰．基于實踐的高中微積分課程比較研究[J]．數學教育學報，2011，20（6）：59-63．

[13] 王海青，湯志娜．大學先修課程背景下美國AP微積分教材的編寫特色與啟示[J]．數學教育學報，2018，27（2）：74-77．

[14] 秦春華．如何定位中國大學先修課程[N]．光明日報，2014-12-02（13）．

[15] 胡建德．從Stewart的Calculus看高等數學教學[J]．大學數學，2006，22（3）：22-24．

[16] ?JAMES STEWART. Calculus [M]. 8th ed. Boston: Brooks Cole, 2014: 1.

[17] 李祎．高水平數學教學到底該教什么[J]．數學教育學報，2014，23（6）：31-35．

[18] 柴俊，張晶．美國的微積分教學：1940—2004[J]．高等數學研究，2005，8（3）：6-116．

[19] 莫里斯·克萊因．古今數學思想（第二冊）[M]．上海：上海科學技術出版社，2014：1．

[20] 波利亞．怎樣解題[M]．上海：上海科技教育出版社，2007：1．

[21] 扈志明．微積分（中國大學先修課程）[M]．北京：高等教育出版社，2016：1．

The Characteristics and Enlightenments of James Stewart’s Calculus Textbook

WANG Hai-qing

(School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China)

To promote educational reform and development, a teaching reform based on the “new engineering program” was introduced in higher education and a pilot study was conducted to localize calculus curriculum in high school. Because calculus is a fundamental course required for advanced engineering education and is also the main high school course for college credits, curriculum and instruction for calculus are an important part of this reform and have an important effect on its implementation. Thus, it would be helpful for developing calculus textbooks in China by analyzing the characteristics of and successful experience using James Stewart’s Calculus textbook.

calculus textbook; new engineering education program; advanced program; textbook compilation

G622.4

A

1004–9894（2020）04–0079–06

王海青．James Stewart的微積分教材立體化建設特點及其啟示[J]．數學教育學報，2020，29（4）：79-84．

2020–02–27

廣東省本科高校高等教育教學改革項目——基于新工科應用型人才培養的地方本科院校高等數學課程教學改革與實踐（2017）；廣東省學校德育科研項目（高校思想政治工作課題）——基于“立德樹人”的高校課程育人途徑探索（2019GXSZ055）；中國教育學會教育科研專項課題——中美大學先修課程數學教材的比較研究（18XM1926015ZB）；惠州學院2017年校級教學成果培育項目——新工科背景下的高等數學教學改革與實踐（CGPY2017004）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，主要從事數學史與數學課堂教學研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]