交變載荷下液壓缸非線性動(dòng)態(tài)特性的數(shù)值分析方法

陳鵬霏， 和 鵬， 于泰龍， 賀宇新

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012； 2.長(zhǎng)春職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130033)

引言

目前，隨著液壓驅(qū)動(dòng)裝置向高精度、高穩(wěn)定性方向發(fā)展，對(duì)其動(dòng)力學(xué)性能的要求也越來(lái)越高[1]。同時(shí)，由于液壓系統(tǒng)的復(fù)雜性，其模型通常具有顯著的非線性和時(shí)變性特征。如何準(zhǔn)確、高效地求解非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，一直是動(dòng)力學(xué)分析領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[2-3]。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)液壓缸的非線性動(dòng)力學(xué)特性，開(kāi)展了大量的研究工作。在國(guó)外，MAGYAR B等[4]以普通閥控式液壓缸系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)解析方法，分析了時(shí)滯及死區(qū)等非線性因素對(duì)液壓定位系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，確定了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)域。MISRA A等[5]考慮到流體的可壓縮性，從液壓控制閥角度分析了液壓缸非線性運(yùn)動(dòng)特性問(wèn)題，研究了當(dāng)控制閥相關(guān)參數(shù)改變時(shí)所引起的不同程度的液壓自激振動(dòng)現(xiàn)象。LICSKO G等[6]以流體非線性動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，建立了普通液壓系統(tǒng)中單級(jí)溢流閥的動(dòng)態(tài)特性數(shù)學(xué)模型，深入研究了分岔、混沌等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理。在國(guó)內(nèi)，陳佳等[7]基于LuGre摩擦模型推導(dǎo)了完整的數(shù)字液壓缸非線性狀態(tài)空間模型，并對(duì)三種不同工況條件下的模型進(jìn)行了仿真和試驗(yàn)研究，重點(diǎn)分析了系統(tǒng)換向時(shí)的動(dòng)態(tài)特性。王林鴻等[8]研究了非線性摩擦力和液壓彈簧力的產(chǎn)生機(jī)理，并采用Lienard方程描述二者耦合作用下的液壓缸動(dòng)力學(xué)方程，指出方程的解在不同工作條件下具有不同的形態(tài)，說(shuō)明液壓缸非線性動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜多變。姜萬(wàn)錄等[9]系統(tǒng)闡述了彈簧力和摩擦力等非線性因素對(duì)電液伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，指出非線性液壓彈簧力引起的“跳躍現(xiàn)象”和非線性摩擦力引起的極限環(huán)型振蕩的共同作用，是導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生非線性振動(dòng)的一個(gè)主要原因。

此外，由于非線性是液壓系統(tǒng)中普遍存在的難題。目前已有學(xué)者采用較為成熟的非線性振動(dòng)學(xué)理論Duffing方程、Van Der Pol方程和Lienard方程，來(lái)解決液壓缸的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并取得了良好的效果。但是，在模型轉(zhuǎn)化過(guò)程中仍不可避免地需要進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，影響了模型的求解精度。

因此，本研究以液壓缸非線性動(dòng)態(tài)特性為研究對(duì)象，深入闡述液壓彈簧力和摩擦力的產(chǎn)生機(jī)理，揭示其各自體現(xiàn)出的非線性和時(shí)變性特征，并通過(guò)數(shù)值方法離散時(shí)間域步長(zhǎng)，對(duì)交變載荷作用下液壓缸的非線性動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

1 液壓缸動(dòng)力學(xué)模型

液壓缸屬于液壓系統(tǒng)中的執(zhí)行元件，可將油液壓力能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能輸出。雖然液壓缸的種類(lèi)繁多，但其工作原理基本相同。單活塞桿雙作用式液壓缸的工作原理簡(jiǎn)圖，如圖1所示。

圖1 單活塞桿液壓缸的工作原理圖

若液壓油液從左側(cè)無(wú)桿腔進(jìn)入，由右側(cè)有桿腔輸出，則活塞桿驅(qū)動(dòng)負(fù)載向右伸出。于是，進(jìn)油腔油液對(duì)活塞的有效作用力為F1=p1·A1，回油腔對(duì)活塞的有效作用力為F2=p2·A2。這里，p1為進(jìn)油腔壓力，p2為回油腔壓力，A1為無(wú)桿腔有效面積，A2為有桿腔有效面積。根據(jù)圖1中的受力分析可知，液壓缸左右兩腔內(nèi)油液對(duì)活塞的有效作用力，可等效為液壓彈簧力Ft，即Ft=p1·A1-p2·A2。

根據(jù)牛頓第二定律，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(1)

式中，m—— 活塞和負(fù)載的等效質(zhì)量

Fc—— 介質(zhì)黏性阻尼力

Ff—— 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的摩擦力

Ft—— 液壓彈簧力

FL—— 外加負(fù)載

2 非線性時(shí)變特征參數(shù)分析

2.1 非線性液壓彈簧剛度

如圖1所示，當(dāng)液壓缸驅(qū)動(dòng)負(fù)載向右移動(dòng)時(shí)，有桿腔和無(wú)桿腔內(nèi)均充滿了液壓油，且都處于壓縮狀態(tài)。因此，總的液壓彈簧剛度可看作是兩腔產(chǎn)生的液壓彈簧剛度并聯(lián)作用的結(jié)果[10]。并且，隨著活塞的移動(dòng)，左右兩腔液體彈簧的長(zhǎng)度將會(huì)發(fā)生變化，彈簧剛度隨之發(fā)生變化。根據(jù)胡克定律，可得液壓彈簧剛度隨活塞位移變化的規(guī)律為[8]：

(2)

式中，Ko—— 油液的體積彈性模量

x0—— 活塞的初始位置

L—— 液壓缸活塞的總行程

α，γ—— 待定系數(shù)

于是，根據(jù)式(2)可得液壓彈簧剛度k(x)隨活塞位移x的變化曲線，如圖2所示。當(dāng)液壓缸為α=1，γ=0工況時(shí)，表示系統(tǒng)為進(jìn)油節(jié)流且回油路無(wú)背壓的回路，此時(shí)k(x)隨行程x增加逐漸變小，全程表現(xiàn)出軟彈簧特性；當(dāng)液壓缸為α=1，γ=1工況時(shí)，表示系統(tǒng)為進(jìn)油節(jié)流且回油路有背壓的回路，此時(shí)k(x)隨行程x增加，先逐漸變小后又逐漸變大，表現(xiàn)出半程軟彈簧半程硬彈簧特性；當(dāng)液壓缸為α=0，γ=1工況時(shí)，表示系統(tǒng)為回油節(jié)流回路，此時(shí)k(x)隨行程x增加逐漸變大，全程表現(xiàn)出硬彈簧特性。

圖2 液壓缸彈簧剛度的非線性變化規(guī)律

由圖2可知，液壓缸的等效彈簧剛度k(x)隨活塞位移x的變化，會(huì)呈現(xiàn)出明顯的非線性特性。因此，在液壓彈簧剛度的影響下，活塞上作用的液壓彈簧力Ft也將出現(xiàn)明顯的非線性特征。

2.2 時(shí)變阻尼特性

由Stribeck摩擦理論可知，液體的潤(rùn)滑狀態(tài)分為三種主要類(lèi)型：Ⅰ為邊界潤(rùn)滑狀態(tài)；Ⅱ?yàn)榛旌蠞?rùn)滑狀態(tài)；Ⅲ為流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)。根據(jù)Stribeck摩擦理論，可獲得摩擦力隨速度變化的數(shù)學(xué)模型為[9]:

(3)

(4)

式中,Ff—— 摩擦力

Ffd—— 動(dòng)摩擦力

Fe—— 外力

Fj—— 最大靜摩擦力

Fk—— 庫(kù)倫摩擦力

v—— 摩擦副的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度

vs—— Stribeck速度

B—— 黏滯摩擦系數(shù)

τ—— 經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，一般在0.5～2之間取值[9]

根據(jù)式(3)和式(4)，可獲得摩擦力隨速度變化的關(guān)系曲線，如圖3所示。根據(jù)圖3可知，當(dāng)工作點(diǎn)位于區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ時(shí)，摩擦力Ff隨速度v非線性變化，且隨速度增加，導(dǎo)致摩擦阻尼處于負(fù)阻尼狀態(tài)。而當(dāng)工作點(diǎn)位于區(qū)域Ⅲ時(shí)，摩擦力隨速度基本發(fā)生線性變化，隨著速度的增加，摩擦阻尼的作用效果增加了整個(gè)系統(tǒng)的阻尼。

圖3 摩擦力隨速度變化線圖

對(duì)于液壓缸動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，受自激振動(dòng)和受迫振動(dòng)影響，將導(dǎo)致活塞實(shí)際的瞬時(shí)速度v會(huì)在一定范圍內(nèi)劇烈變化。由圖3可知，當(dāng)瞬時(shí)速度v的變化范圍跨越不同潤(rùn)滑區(qū)域時(shí)，必然導(dǎo)致摩擦阻尼隨之發(fā)生激烈變化。因此，相比液壓彈簧剛度在整個(gè)行程內(nèi)的非線性變化，液壓缸的摩擦阻尼呈現(xiàn)出明顯的時(shí)變性特征。

3 液壓缸動(dòng)態(tài)數(shù)值分析

3.1 交變載荷作用下的動(dòng)力學(xué)分析

根據(jù)2節(jié)內(nèi)容可知，在活塞運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，液壓彈簧剛度具有非線性特征，而摩擦阻尼具有時(shí)變性特征。因此，系統(tǒng)可抽象為如圖4所示的模型。

圖4 液壓缸活塞的非線性動(dòng)力學(xué)模型

如圖4所示，當(dāng)油液驅(qū)動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)輸入的油液流量q不變，則理論上活塞的預(yù)期運(yùn)動(dòng)速度ve=q/A1保持不變。但是，由于實(shí)際液體具有可壓縮性[11]，需要蓄備油液以便形成液壓彈性力。若該工作點(diǎn)處的液壓彈簧剛度為k(x)，則產(chǎn)生的液壓彈簧力為：

Ft=-k(x)[x-(x0+x1+vt)]

(5)

(6)

(7)

式中，c′為摩擦阻尼系數(shù)。

液壓缸活塞受到的阻尼力可表示為:

(8)

式中，c0為系統(tǒng)阻尼系數(shù)。

(9)

式中， ΔFL為交變力的變化幅值；ω為交變力的激振頻率。

(10)

(11)

若將液壓等效彈簧剛度k(x)近似表示為常數(shù)k，摩擦阻尼系數(shù)c′、動(dòng)靜摩擦力之差ΔFf均作為常數(shù)處理，則式(11)可簡(jiǎn)化為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。其全解可由對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程的特解構(gòu)成。

3.2 非齊次線性微分方程的求解

根據(jù)線性微分方程理論，式(11)對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為:

(12)

列出式(12)的特征方程，求得其通解形式為:

xT=e-ξω0t(Asinω0t+Bcosω0t)

(13)

式中，A和B為待定系數(shù)。

依據(jù)疊加原理，式(11)等號(hào)右側(cè)函數(shù)可表示為f1(t) 和f2(t)之和的形式。即:

(14)

(15)

對(duì)于函數(shù)f1(t)，由線性微分方程理論可知其特解形式為:

x1=at+b

(16)

式中，a和b為待定系數(shù)。將式(16)代入由式(14)構(gòu)成的非齊次線性微分方程，可解得a=ve；b=(ΔFf-c0ve)/k。

對(duì)于函數(shù)f2(t)，假設(shè)激振頻率不等于固有頻率，即ω≠ω0，則±iω不是特征方程的根。由線性微分方程理論可知其特解形式為:

x2=hsin(ωt-ε)

(17)

式中，h和ε為待定系數(shù)。將式(17)及其一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，代入由式(15)構(gòu)成的非齊次線性微分方程，可解得待定系數(shù)h和ε分別為:

(18)

于是，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程式(11)的位移全解x為：

x=xT+x1+x2=e-ξω0t(Asinω0t+Bcosω0t)+vet-

(19)

(20)

(-Bξ+A)cosω0t]+ve+hωcos(ωt-ε)

(21)

3.3 非線性微分方程的數(shù)值分析方法

由2節(jié)中的分析結(jié)論可知，在影響液壓缸非線性動(dòng)態(tài)特性的因素中，液壓彈簧剛度主要呈現(xiàn)出非線性特性；而摩擦阻尼則主要呈現(xiàn)出顯著的時(shí)變特性。因此，在對(duì)液壓缸動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行數(shù)值分析過(guò)程中，可以采取離散時(shí)間段的方法，將活塞完成整個(gè)行程所需的時(shí)間t離散成n段[13]。

對(duì)于液壓彈簧剛度，盡管其在整個(gè)行程范圍內(nèi)是非線性的(如圖2所示)，但當(dāng)n→∞時(shí)，在時(shí)間段Δti=ti-ti-1(i=1,…,n)內(nèi)，液壓彈簧剛度可近似看做線性變化。根據(jù)式(2)，在時(shí)間段Δti內(nèi)液壓彈簧剛度可表示為:

(22)

式中,xi為ti時(shí)刻活塞所處的行程位置；xi-1為ti-1時(shí)刻活塞所處的行程位置。

對(duì)于摩擦阻尼，其在整個(gè)行程中體現(xiàn)出的是明顯的時(shí)變性特征。因此，根據(jù)Taylor展開(kāi)法，將摩擦力在工作點(diǎn)處線性展開(kāi)，忽略高階微分量，則在時(shí)間段Δti內(nèi)摩擦阻尼可表示為:

(23)

動(dòng)靜摩擦力之差可表示為:

(24)

圖5 數(shù)值分析流程圖

4 數(shù)值分析實(shí)例

基于上述數(shù)值分析方法，假設(shè)40 ℃時(shí)由于黏性產(chǎn)生的系統(tǒng)阻尼[14]c0為3.839×103N·s/m，且液壓缸的預(yù)期驅(qū)動(dòng)速度ve=3 mm/s時(shí)，其活塞運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的時(shí)域圖像，如圖6所示。

圖6 交變載荷作用下活塞瞬時(shí)速度的時(shí)域圖像

一般來(lái)說(shuō)，第一部分自激振動(dòng)過(guò)程由于系統(tǒng)阻尼的存在，很快就衰減了，因此比較短暫。但是，當(dāng)活塞的預(yù)期運(yùn)動(dòng)速度ve不同時(shí)，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)處于不同的潤(rùn)滑區(qū)域，從而造成活塞在自激振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生不同的運(yùn)動(dòng)結(jié)果。預(yù)期運(yùn)動(dòng)速度ve不同時(shí)，即不同潤(rùn)滑狀態(tài)下活塞瞬時(shí)速度的時(shí)域圖像，如圖7所示。

如圖7a所示，當(dāng)預(yù)期速度為2 mm/s時(shí)，活塞瞬時(shí)速度將在邊界潤(rùn)滑區(qū)域Ⅰ和混合潤(rùn)滑區(qū)域Ⅱ內(nèi)不斷變換(如圖3所示)，此時(shí)摩擦阻尼將體現(xiàn)出負(fù)阻尼特性，即隨著活塞瞬時(shí)速度增大，摩擦力會(huì)減小，從而導(dǎo)致阻尼比ξ較小，甚至為負(fù)值(ξ<0)。因此，活塞在很長(zhǎng)一段運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)速度振動(dòng)得不到衰減，出現(xiàn)時(shí)緩時(shí)急的液壓爬行現(xiàn)象。

如圖7b所示，當(dāng)預(yù)期速度為3 mm/s時(shí)，活塞瞬時(shí)速度基本在流體動(dòng)壓潤(rùn)滑區(qū)域Ⅲ和混合潤(rùn)滑區(qū)域Ⅱ內(nèi)變換(如圖3所示)，此時(shí)摩擦阻尼主要體現(xiàn)出的是正阻尼特性(ξ>0)，即隨著活塞瞬時(shí)速度的增大，摩擦力增大。偶爾，摩擦阻尼會(huì)導(dǎo)致負(fù)阻尼現(xiàn)象[15](ξ<0)。因此，液壓缸活塞僅在整個(gè)行程的初始處，出現(xiàn)了短暫的液壓爬行現(xiàn)象，隨即便迅速衰減為等速運(yùn)動(dòng)。并且，在衰減過(guò)程中，由于偶爾負(fù)阻尼現(xiàn)象導(dǎo)致速度的時(shí)域圖像中出現(xiàn)波形復(fù)雜、尖峰較多的現(xiàn)象。其位移x的時(shí)域圖像如圖9a所示。

圖7 不同條件下活塞瞬時(shí)速度自激振動(dòng)部分的時(shí)域圖像

如圖7c所示，當(dāng)預(yù)期速度為5 mm/s時(shí)，活塞瞬時(shí)速度基本均處于流體動(dòng)壓潤(rùn)滑區(qū)域Ⅲ內(nèi)，此時(shí)摩擦阻尼體現(xiàn)出的是正阻尼特性(ξ>0)，即隨著活塞瞬時(shí)速度的增大，摩擦力將增大。于是，活塞僅在行程的初始處出現(xiàn)了短暫的液壓爬行現(xiàn)象，隨即迅速衰減為等速運(yùn)動(dòng)。并且，若阻尼比ξ越大，其衰減過(guò)程越快。

活塞瞬時(shí)速度的第二部分，是按受迫振動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行振動(dòng)。由式(17)可知，受簡(jiǎn)諧激振力FL作用的影響，受迫振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其振動(dòng)頻率等于激振力FL的頻率ω；其振幅表達(dá)式可見(jiàn)式(18)。由式(18)可知，受迫振動(dòng)的振幅h不僅與激振力的力幅ΔFL有關(guān)，還與激振力的頻率ω以及整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量m、液壓彈簧剛度k(x)和阻尼比ξ有關(guān)。當(dāng)激振力頻率ω和系統(tǒng)阻尼系數(shù)c0取不同值時(shí)，即在不同條件下活塞瞬時(shí)速度受迫振動(dòng)部分的時(shí)域圖像，如圖8所示。

圖8 不同條件下活塞瞬時(shí)速度受迫振動(dòng)部分的時(shí)域圖像

圖9 交變載荷下液壓缸活塞的位移時(shí)域圖像

如圖8c所示，當(dāng)激振頻率ω為65 rad/s ，系統(tǒng)阻尼系數(shù)c0增加為3.839×105N·s/m時(shí)，雖然激振頻率ω與固有頻率ω0間距離變小，導(dǎo)致系統(tǒng)存在共振趨勢(shì)，但是由于提高系統(tǒng)阻尼的緣故，因此活塞速度的振幅被有效抑制，并未明顯增加。

液壓缸活塞的位移時(shí)域圖像，如圖9所示。這里，預(yù)期速度為3 mm/s，激振頻率ω為65 rad/s ，系統(tǒng)阻尼系數(shù)c0為3.839×103N·s/m。行程初始時(shí)的液壓爬行現(xiàn)象，主要由自激振動(dòng)原因造成，相應(yīng)的位移時(shí)域圖像，如圖9a所示。行程至中間位置時(shí)的液壓爬行現(xiàn)象，主要由受迫振動(dòng)原因造成，相應(yīng)的位移時(shí)域圖像，如圖9b所示。活塞在整個(gè)行程內(nèi)的位移時(shí)域圖像，如圖9c所示。

5 結(jié)論

(1) 對(duì)于液壓缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言，在活塞運(yùn)動(dòng)的整個(gè)行程內(nèi)，液壓彈簧剛度主要體現(xiàn)出非線性特征；而摩擦力由于隨速度變化頻繁，主要體現(xiàn)出明顯的時(shí)變性特征；

(2) 采用離散時(shí)間的方法，對(duì)液壓缸的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行數(shù)值仿真分析，結(jié)果表明與實(shí)際測(cè)試中出現(xiàn)的速度時(shí)域波形復(fù)雜、尖峰繁多等現(xiàn)象基本相符，能夠較好地分析液壓缸的動(dòng)態(tài)特性；

(3) 對(duì)于交變載荷作用下的液壓缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)激振頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于或遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于固有頻率時(shí)，均可忽略系統(tǒng)阻尼對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響；當(dāng)激振頻率接近固有頻率時(shí)，系統(tǒng)阻尼對(duì)其動(dòng)態(tài)特性影響顯著。