以數(shù)學(xué)史為依據(jù)改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究

梁燕

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要閱讀，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要閱讀，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)史的閱讀，即多比較、多挖掘、多追問(wèn)，梳理人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升的各個(gè)時(shí)期，細(xì)究一個(gè)時(shí)期到另一個(gè)時(shí)期以什么為標(biāo)志，突破了什么，是什么形成了這個(gè)突破。只有把握住知識(shí)形成的過(guò)程，才能在教學(xué)過(guò)程中更好地呈現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈。文章以教學(xué)片段為例論述如何通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)史梳理教學(xué)關(guān)鍵，讓教師對(duì)“教什么”和“怎么教”這兩個(gè)問(wèn)題猶如醍醐灌頂。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)閱讀；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-11-22 文章編號(hào)：1674-120X（2020）15-0070-02

人們對(duì)“數(shù)學(xué)閱讀”的理解，有狹義和廣義之分。狹義的觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)閱讀的載體是教材、習(xí)題，是以解決問(wèn)題為目的，通過(guò)讀題、審題，來(lái)提取、分析數(shù)學(xué)信息的數(shù)學(xué)活動(dòng)。廣義的觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)閱讀的載體除了包括數(shù)學(xué)教材、習(xí)題之外，還包括更為廣泛的數(shù)學(xué)材料。數(shù)學(xué)閱讀就是對(duì)這些廣泛的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析（信息提取、轉(zhuǎn)譯、內(nèi)化），形成并表達(dá)自己的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的過(guò)程。

在以往的研究中，研究對(duì)象多為學(xué)生，研究方向指向如何將數(shù)學(xué)閱讀與日常教學(xué)結(jié)合，如何培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力等。從教學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)閱讀可以作為學(xué)習(xí)資料、教學(xué)資源的補(bǔ)充，還可以作為教學(xué)活動(dòng)的延伸，豐富學(xué)生課余時(shí)間的數(shù)學(xué)活動(dòng)。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)閱讀不僅能凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。但在現(xiàn)有的研究成果中，很少有人專(zhuān)門(mén)研究教師如何通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)來(lái)提高自身的教學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。難道數(shù)學(xué)閱讀的主角只能是學(xué)生嗎？教師應(yīng)該如何開(kāi)展有益于專(zhuān)業(yè)能力提升的數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)呢？

筆者通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的閱讀和思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史不應(yīng)該只是作為課外閱讀資料呈現(xiàn)給學(xué)生。從教研的角度看，閱讀數(shù)學(xué)史不僅可以幫助教師在歷史中甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，還可以幫助教師從數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中篩選出教學(xué)重點(diǎn)、抓準(zhǔn)教學(xué)難點(diǎn)。總之，數(shù)學(xué)閱讀，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)史的閱讀，應(yīng)是學(xué)生與教師共同進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是教學(xué)與教研不可或缺的內(nèi)容。

一、通過(guò)數(shù)學(xué)史甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，抓準(zhǔn)教學(xué)難點(diǎn)

筆者對(duì)比了北師大版、蘇教版、青島版教材后發(fā)現(xiàn)，三個(gè)版本的教材都是通過(guò)氣溫高低、海拔高度這類(lèi)生活現(xiàn)象，直觀地引入對(duì)正、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)。教材編寫(xiě)的意圖是通過(guò)具體情境，讓學(xué)生體會(huì)引入負(fù)數(shù)的必要性，先通過(guò)溫度高低這個(gè)情境擴(kuò)展“0”的意義，再由海拔高度這一知識(shí)幫助學(xué)生加深對(duì)“0”的理解，最終幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到“為什么0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)”這一抽象概念。但是，這樣的教學(xué)沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)的真問(wèn)題——“負(fù)數(shù)從何而來(lái)？”

正數(shù)、負(fù)數(shù)表示生活中相反意義的量。理解意義不難，認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)也很簡(jiǎn)單，但是歷史卻告訴我們：人類(lèi)在數(shù)學(xué)中理解負(fù)數(shù)，用了2 000年左右。比起認(rèn)識(shí)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)需要更強(qiáng)的抽象思維能力。歷史上，帕斯卡認(rèn)為“從0減去4純粹是胡說(shuō)！”笛卡爾也認(rèn)為負(fù)數(shù)是“不合理的數(shù)”。施蒂費(fèi)爾認(rèn)為負(fù)數(shù)荒謬的原因是“小于一無(wú)所有”，即比0更小，0表示什么都沒(méi)有，這就已經(jīng)到了盡頭了，而負(fù)數(shù)比“什么都沒(méi)有”還要少，這怎么可能？在當(dāng)時(shí)，“0表示沒(méi)有，是最小的數(shù)”是基本數(shù)學(xué)常識(shí)，而認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)卻要顛覆這種常識(shí)。數(shù)學(xué)家尚且如此糾結(jié)，更何況學(xué)生呢？梳理至此，本課的教學(xué)重點(diǎn)聚焦到對(duì)“0”的重新認(rèn)識(shí)，這更是本課的教學(xué)難點(diǎn)，只有重新認(rèn)識(shí)了“0”，才能真正理解負(fù)數(shù)。

“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”教學(xué)片段：

環(huán)節(jié)一：重新認(rèn)識(shí)“0”

師：出示動(dòng)畫(huà)人物的合影，這里有幾位動(dòng)畫(huà)人物？去掉五位動(dòng)畫(huà)人物，只留下背景，現(xiàn)在呢？在我們尺子上的“0”也表示沒(méi)有嗎？

引入資料，熊大身高184cm，光頭強(qiáng)身高174cm，吉吉身高164cm。討論，如果以吉吉的身高為標(biāo)準(zhǔn)，他們?nèi)说母甙闆r如何？

生：光頭強(qiáng)比吉吉高10cm，熊大比吉吉高20cm。

師：如下表所示，以吉吉的身高為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你找個(gè)數(shù)表示他的身高，你覺(jué)得是哪個(gè)數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生知道0的意義有多種，在新的情境中對(duì)0的意義還可以進(jìn)行拓展。用0來(lái)表示比較的標(biāo)準(zhǔn)這點(diǎn)并不難。

環(huán)節(jié)二：體會(huì)“意義相反的量”

師：三人比身高，只能以吉吉為標(biāo)準(zhǔn)嗎？

如下表所示，這是我們以誰(shuí)的身高作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較的？

生：以光頭強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)榘阉纳砀呖醋髁?。

師：熊大和光頭強(qiáng)的身高差10cm，吉吉和光頭強(qiáng)的身高也差10cm，所以表格這么記，有問(wèn)題嗎？

生：他倆好像一樣高了，看不出誰(shuí)高誰(shuí)低了。

師：以光頭強(qiáng)的身高為標(biāo)準(zhǔn)，熊大比光頭強(qiáng)高10cm，而吉吉比光頭強(qiáng)矮10cm，這樣一組相反意義的量還能用我們以前學(xué)過(guò)的數(shù)表示嗎？

師：思考一下，怎樣記錄就能一眼清楚地看出熊大是高10cm，吉吉是矮10cm呢？

設(shè)計(jì)意圖：相反意義有絕對(duì)相反和相對(duì)相反之分，相對(duì)相反不是天然形成的，而是通過(guò)和標(biāo)準(zhǔn)比較得出來(lái)的。有了比較標(biāo)準(zhǔn)，才能產(chǎn)生相反意義的比較結(jié)果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求“在熟悉的生活情境中了解負(fù)數(shù)的意義”，因此本課各環(huán)節(jié)緊扣比較身高這一情境，以便學(xué)生重新認(rèn)識(shí)0，理解“相反意義的量”，為結(jié)合幾何在直觀中把握負(fù)數(shù)和0之間的關(guān)系積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。鑒于負(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難，不僅是因?yàn)橹R(shí)的抽象性，還在于某些概念在建構(gòu)時(shí)附帶的負(fù)遷移，甚至顛覆已有常識(shí)，超越個(gè)體認(rèn)知。數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“只有理解人類(lèi)如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類(lèi)的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷。”教師只有通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)史才能準(zhǔn)確甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙。

二、通過(guò)數(shù)學(xué)史篩選教學(xué)重點(diǎn)

筆者對(duì)比了北師大版、蘇教版、人教版教材后發(fā)現(xiàn)，關(guān)于本課內(nèi)容，各版本教材中提供的數(shù)學(xué)閱讀資料都有限。北師大版教材中介紹了“代數(shù)學(xué)之父”丟番圖，蘇教版教材中提到了韋達(dá)在代數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用，而人教版教材中沒(méi)有提及任何數(shù)學(xué)家，只在七年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程”單元的數(shù)學(xué)閱讀材料中簡(jiǎn)單地介紹了花拉子米、笛卡爾對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，還介紹了中國(guó)宋代數(shù)學(xué)家李冶在方程方面的研究成果。代數(shù)這門(mén)學(xué)科為什么會(huì)有這么多代表性的人物？到底是誰(shuí)最先賦予它無(wú)窮魅力的呢？

回顧這段歷史，我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然丟番圖和韋達(dá)都用字母表示數(shù)，但兩者的區(qū)別在于一個(gè)表示的是一個(gè)數(shù)，另一個(gè)表示的是一類(lèi)數(shù)。按丟番圖的方法，每一個(gè)字母都具有特定的意思，所以丟番圖解方程一題一法。而韋達(dá)所用的字母已經(jīng)不表示具體的意思，只是一個(gè)符號(hào)，從而引導(dǎo)人們關(guān)注數(shù)量中的共性，謀求同類(lèi)問(wèn)題的統(tǒng)一解法。丟番圖方法的本質(zhì)是替代，而韋達(dá)方法的本質(zhì)是抽象，這是數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化。

顯然，在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)把課堂上的學(xué)生放到數(shù)學(xué)史的視野中，在具體的情境下，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象過(guò)程，體會(huì)用字母表示數(shù)的本質(zhì)意義，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)符號(hào)的概括性。

“用字母表示數(shù)”的教學(xué)片段：

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)拘岩延兄R(shí)經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)備建構(gòu)新的概念。

師：生活中運(yùn)用字母表示特定含義，如教室門(mén)高2.2m，我們可以把這個(gè)數(shù)量表示成什么呢？這里的m是英語(yǔ)單詞“meter”的縮寫(xiě)。

師：在數(shù)學(xué)中，字母的運(yùn)用更多地體現(xiàn)在其他方面。例如，3，6，9，x，15，…這里的x表示什么意思？

師：在這一數(shù)列中，x表示多少？能表示其他數(shù)嗎？看來(lái)它還是一個(gè)特定的數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：新知總是建立在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的模糊、雜亂對(duì)新知學(xué)習(xí)形成了一種干擾。特別是用字母表示數(shù)是對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知的跨越，學(xué)生更應(yīng)該結(jié)合已有知識(shí)更為清晰地認(rèn)識(shí)字母應(yīng)用的特點(diǎn)。這種認(rèn)識(shí)越清晰，也就越容易體會(huì)用字母表示數(shù)發(fā)生了什么變化。

環(huán)節(jié)二：在情境中經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象概括過(guò)程。

師：每3根小棒可以搭成一個(gè)三角形，擺2個(gè)三角形需要幾根小棒？3個(gè)三角形呢？4個(gè)呢？請(qǐng)用算式來(lái)表示擺三角形用的小棒數(shù)量。你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：一個(gè)三角形的小棒根數(shù)是不變的，所以這些算式里都有一個(gè)乘數(shù)是3。

師：因?yàn)槿切慰梢砸恢边@樣擺下去，所以永遠(yuǎn)也寫(xiě)不完。那么你能用一道算式表示活動(dòng)中的所有情況嗎？

師：這個(gè)字母表面上只是一個(gè)字母，但它卻能表示……

生：無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：歷史告訴我們，韋達(dá)的高明之處就在于用字母表示了方程中未知數(shù)前面的系數(shù)。這樣做不是因?yàn)閷?duì)系數(shù)不了解，而是用字母去概括它們，可以獲得更為一般的方程。在教學(xué)過(guò)程中，為了突破這一難點(diǎn)，先有意在前一環(huán)節(jié)中借用生活經(jīng)驗(yàn)作為鋪墊，接著在本環(huán)節(jié)中讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行概括，幫助學(xué)生初步實(shí)現(xiàn)認(rèn)知上的跨越。

本片段重在體現(xiàn)雖然丟番圖和韋達(dá)都是用字母表示數(shù)，但兩者有本質(zhì)上的不同。縮寫(xiě)代數(shù)與符號(hào)代數(shù)兩者是如此不同，所以在教學(xué)中才刻意地引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別縮寫(xiě)表示和抽象表示，體會(huì)字母已經(jīng)成為一種數(shù)學(xué)符號(hào)，不存在任何具體意義。

在以往備課過(guò)程中，教師往往通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)史，提取教學(xué)資源，并且選擇一些富有知識(shí)性和趣味性的內(nèi)容，點(diǎn)綴一下課堂，或者借助數(shù)學(xué)閱讀將課上活動(dòng)延伸到課下進(jìn)行。教師很少考慮如何利用這些資源啟發(fā)、鼓勵(lì)、幫助和組織學(xué)生參與更有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。教師只有通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀梳理數(shù)學(xué)歷史，才能站在人類(lèi)社會(huì)發(fā)展的層面去品評(píng)歷史、審視教學(xué)內(nèi)容，才會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)不是要求學(xué)生將數(shù)學(xué)作為工具使用，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)視作人類(lèi)社會(huì)活動(dòng)的產(chǎn)物，因而學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)質(zhì)是經(jīng)歷社會(huì)活動(dòng)的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡天新.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史[M].北京：中信出版社，2017.

[2]郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.