正定矩陣的性質(zhì)及判定方法

何守元

(云南省麗江市麗江師范高等專(zhuān)科學(xué)校 674100)

先看正定矩陣的定義：若一個(gè)實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX正定，則稱(chēng)矩陣A為正定矩陣.顯然，由定義可知：正定矩陣A必須滿足兩個(gè)條件：首先，A必須是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.否則不存在正定矩陣的概念；其次，以A為矩陣的實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX必須是正定二次型，即A與同價(jià)單位方陣E合同.

由此可得正定矩陣的一系列性質(zhì)，它們是判定A為正定矩陣的依據(jù)：

性質(zhì)1實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣的充要條件是A與同價(jià)單位方陣E合同. (因?yàn)锳為正定矩陣的充要條件是實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.)

性質(zhì)2正定矩陣的行列式大于零.(或：正定矩陣必滿秩、可逆.)

性質(zhì)3正定矩陣的逆也是正定矩陣.

(因?yàn)锳=PTEP,A-1=[(P-1)T]TE(P-1)T,A-1也與單位方陣E合同，必然正定.)

性質(zhì)4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣的充要條件是A的特征根全大于零.

這是因?yàn)椋喝我鈱?shí)二次型都可用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣的主對(duì)角元為它的特征根，必須全為正數(shù).

性質(zhì)5實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣的充要條件是A的順序主子式全大于零.(這在一般教材上均有證明)

綜合以上定義和性質(zhì)，不難看出，正定矩陣具有下列顯著特征：

(1)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(這是前提)；(2)滿秩、可逆、行列式非零(這三個(gè)特征是等價(jià)的)；(3)與同階單位方陣合同；(4)特征根全為正實(shí)數(shù)；(5)與同階對(duì)角形方陣dig(t1,t2,…,tn)相似且合同(其中ti為它的特征根).(6)行列式等于t1t2…tn(即：全部特征根的積).

根據(jù)上述討論，可得出正定矩陣的判別方法：

判法1若A為具體矩陣(元素全知)，則可直接計(jì)算它的順序主子式……