正定矩陣的性質及判定方法

何守元

(云南省麗江市麗江師范高等專科學校 674100)

先看正定矩陣的定義：若一個實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX正定，則稱矩陣A為正定矩陣.顯然，由定義可知：正定矩陣A必須滿足兩個條件：首先，A必須是實對稱矩陣.否則不存在正定矩陣的概念；其次，以A為矩陣的實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX必須是正定二次型，即A與同價單位方陣E合同.

由此可得正定矩陣的一系列性質，它們是判定A為正定矩陣的依據：

性質1實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是A與同價單位方陣E合同. (因為A為正定矩陣的充要條件是實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.)

性質2正定矩陣的行列式大于零.(或：正定矩陣必滿秩、可逆.)

性質3正定矩陣的逆也是正定矩陣.

(因為A=PTEP,A-1=[(P-1)T]TE(P-1)T,A-1也與單位方陣E合同，必然正定.)

性質4實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是A的特征根全大于零.

這是因為：任意實二次型都可用正交變換化為標準型，標準型的矩陣的主對角元為它的特征根，必須全為正數.

性質5實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是A的順序主子式全大于零.(這在一般教材上均有證明)

綜合以上定義和性質，不難看出，正定矩陣具有下列顯著特征：

(1)實對稱矩陣(這是前提)；(2)滿秩、可逆、行列式非零(這三個特征是等價的)；(3)與同階單位方陣合同；(4)特征根全為正實數；(5)與同階對角形方陣dig(t1,t2,…,tn)相似且合同(其中ti為它的特征根).(6)行列式等于t1t2…tn(即：全部特征根的積).

根據上述討論，可得出正定矩陣的判別方法：

判法1若A為具體矩陣(元素全知)，則可直接計算它的順序主子式，若全大于零，則A為正定矩陣.若不全大于零，則A非正定.

判法2若A為具體矩陣(元素全知)，則可直接解特征方程f(t)=|tI-A|=0，計算出A的全部特征根.若特征根全大于零，則A為正定矩陣.若特征根不全為正數，則A非正定.

判法3若A為具體矩陣(元素全知)，則可用合同變換法，將其化為對角形矩陣.若對角形矩陣為單位方陣E(或：主對角元全為正數)，則A為正定矩陣.否則，不是正定矩陣.

如：上述例1中，對A施行合同變換：

得到的對角形矩陣不是單位方陣(或對角元出現負數)，故A不是正定矩陣.只有經合同變換后能變出單位方陣的實對稱矩陣，才是正定矩陣.

判法4若A為具體矩陣(元素全知)，可直接計算A的行列式|A|，若|A|≤0，則A不正定.

這是根據性質2的等價命題來判定的.如：上述例1中，|A|=-16<0，說明A不是正定矩陣.注意：這是必要而不充分條件.行列式等于零的實對稱矩陣當然不是正定矩陣，行列式大于零的實對稱矩陣也不一定是正定矩陣.

對于抽象矩陣，可根據題目給出的具體條件，靈活應用正定矩陣的性質作出判斷.如看n階實對稱矩陣的秩和正慣性指數是否都等于n？與它合同的矩陣是否為正定矩陣？由題中信息是否可推知其特征根全為正數？是否可推知其順序主子式全大于零？等等.

例4若A是正定矩陣，E是與A同價的單位方陣，則k為足夠大的實數時，可以判定kE+A也是正定矩陣.

事實上，若A的特征根為ti>0,則kE+A的特征根為ti+k，從而當k足夠大時，就可保證kE+A的特征根全為正數，使kE+A為正定矩陣.

例5若A=(aij)是正定矩陣，bi(i=1,2,…,n)是任意n個非零實數，則B=(aijbibj)也是正定矩陣.

綜上所述，深刻理解正定矩陣的定義和性質，就能在實際應用中對矩陣的正定性判別做到游刃有余，靈活自如！