化歸思想在高中數學中的應用策略

湯曉玲

(江蘇省海門中學 226100)

化歸是一種數學思想，也是解決數學問題的基本方法之一.化歸思想，體現了學生對數學知識向能力轉換的重要手段，對于促進學生加深對數學知識的理解和應用意義重大.如函數中變量的運動變化，概率中的現象與本質等數學問題，都用到化歸思想.現結合高中數學，就化歸思想的運用策略進行闡述.

一、化歸思想，為探究函數問題提供教學指引

在數學領域，對一些運動變化現象的表達，多利用化歸思想.如三角函數中循環往復的規律，可以從角度量向弧度量的轉化，從而在角度與實數之間形成對應關系.同樣，利用單位圓與有向線段，可以實現角度與坐標系之間的關聯，實現數形結合.與此相關的，對三角函數知識的延伸，有弦與切互化，積化和差、和差化積，以及半角公式、倍角公式等變換等等，都是化歸思想的典型運用.高中數學中，初等函數知識的學習，引入導數來探討函數的單調性、極值、最值問題，可以實現對高次方程、不等式，轉換為簡單的數學問題.

由此可知，對于化歸思想的運用，在分析函數問題時，要把握特殊點的轉換，靈活運用多種轉化策略，如拼湊法、換元法、構造法等等.面對數學問題，教師要引領學生探索數學知識的解題路徑，找準突破口，特別是結合題設條件，引入等價轉化，變抽象性數學問題為直觀性、簡單性問題，從而梳理出解題思路.解決數學問題的方法很多，但不同的解題技巧，需要學生充分運用數學思想，來尋找更佳的化歸路徑.函數問題多樣、復雜，對化歸思想的運用，有助于拓展學生的解題視野，將a問題轉化為b問題，以學生熟悉的解題方式來求解，提高解題效率.

二、化歸思想，在幾何代數中展現演繹推理

幾何學中的演繹推理是重要的解法思路，也是應用化歸思想的典型.無論是立體幾何，還是解析幾何，化歸思想應用廣泛.分析立體幾何中點、線、面的關系，可以通過化歸將幾何問題轉化為代數問題.同樣，對于面面平行、面面垂直問題，也可以利用化歸思想，實現線面平行、線面垂直等相互轉化.解析幾何，往往從數形結合思路，通過化歸，將圖形問題與代數問題建立關聯.如在分析一些解析幾何題目時，引入坐標系媒介手段，利用代數反演方法來解決解析幾何問題.比如對于二元一次方程組，其解與坐標系中的交點問題具有關聯性；對于圓錐曲線與二元二次方程，普通方程與極坐標方程等，都可以從化歸思想中實現問題轉化.

分析解析幾何中的最值問題，往往需要從數學邏輯推理中，引入化歸思想，將抽象的數學問題，轉化為具象問題，以代數方法來進行運算，抓住解題的關鍵點，實現以簡馭繁.化歸思想的特征，在于實現邏輯推理，可以從一般到特殊，還可以從特殊到一般，完成對問題的簡化處理.如等差數列中的累加法、等比數列中的累乘法，數列求和中的裂項相消法、錯位相減法等等，這些都是化歸思想的具體應用，都在于利用代數手段來找到求解問題的方法.

三、化歸思想，從概率統計中化隱為顯

在認識自然、改造自然過程中，對天文地理等知識的研究，從中歸納出概率、統計的基本理論.對于概率，可以解釋為對一種隨機現象的統計與預測.

概率類數學題目，主要是運用統計分析方法，對可能的隨機現象發生可能性的預測.面對該類題型，往往需要將真實問題轉換為數學統計問題.教師在剖析概率、統計題意時，可以通過游戲法、試驗法、觀察法等，對發生的可能性進行估算.

四、化歸思想，從建模中解決數學問題

數學問題與現實生活關系緊密，在解決數學問題時，教師要積極通過化歸思想，完成對數學問題的建模探究.等價性變換是化歸思想的典型應用，借助于數學知識，對數學形式進行變換，引領學生利用數學符號來表征數學問題，發展學生數學思維.數學建模探究，就是要引領學生從數學問題中提煉建模的方法，將數學情境轉化為數學問題，通過數學模型來回歸現實，回歸數學的本質.某題中，有本金50萬，有三種投資方式.第一種投資理財產品，每日獲利50元；第二種投資理財產品，第一天獲利5元，以后每天比前一天多15元；第三種理財產品，第一天獲利0.4元，以后每天是前一天的2倍.請同學結合不同的理財產品，分析和計算出最佳的理財方案.針對該題的分析，先要對不同投資方案進行數學模型構建.第一種，可以構建為常函數模型，y=50,x∈N；第二種，可以構建為一次函數模型，y=15x-10,x∈N；第三種，可以構建為指數函數模型，y=0.4×2x-1,x∈N.由此，根據投資的天數為正整數，可以根據不同的數學模型，分別對其不同天數的獲利值進行計算與對比.發現，當天數低于6時，購買第一種方案利潤更高；當天數611時，第三種方案更佳.由此，面對實際問題，通過化歸思想，分別轉換為對應的數學模型，分析不同條件下的數學模型的增長問題，進而做出合理選擇.

總之，化歸思想體現了對復雜問題的簡潔化轉換，高中階段在數學解題中，要指導學生利用化歸思想，把握化歸思想的特點，靈活選擇解題方向，幫助學生提高解題質量和效率.