從趙爽弦圖看數學史在課堂導入中的作用的教育實踐研究

林卉

【摘要】數學史對于數學教育的意義不言而喻，它對于踐行新課改的知識與技能、過程與方法以及情感態度價值觀的三維目標，倡導學生自主探究學習的教學模式等方面具有重要作用。

【關鍵詞】課堂導入;數學史;趙爽弦圖;教育價值

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）24-064-01

《普通高中數學課程標準（實驗）》把“體現數學的文化價值”作為一條課程的基本理念，并在選修課程中開設“數學史選講”。 對該專題的內容和具體要求為：通過生動、豐富的事例，了解數學發展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神。

1.數形統一的趙爽弦圖

《周髀算經》是我國現存最早的古代數學著作，成書年代約在公元前2世紀的西漢時期，但書中記錄的知識可以遠溯至公元前11世紀的西周年間。書中記載了西周開國時期周公與大夫商高的一段對話，商高答周公的問題時提到：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。 既方之，外半之一矩，環而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩”。 這里給出了勾股定理的一個特例。

簡單來說，分別表示勾、股、弦之長，則每個直角三角形的面積為; ab，中間的小正方形面積為（b-a）2 ，可得4×;ab+

（b-a）2=c 2，化簡即得a 2+b 2=c 2.

魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時，給出他用出入相補原理對勾股定理的證明：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類， 因就其余不動也。合成弦方之冪”。 他的分割方法與趙爽未必相同，但我們也不能說，他肯定沒受到趙爽的影響。 此后，清初數學家梅文鼎在《勾股舉隅》中給出了兩種證明方法，依然能看出它們與弦圖的聯系。

2. 課堂導入的好載體

由上述分析可發現，歷史上的證明勾股定理的方法很多，向學生展示不同的證明方法有很多益處。 首先，豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所領悟，以達到揚長補短。最后，通過分析各種證法之不同，探索不同的時代的思維方式跨越時空、國度碰撞出的火花，增添趣味性。

2.1 完全平方和公式、完全平方差公式的導入

人教版的教材先舉出計算幾個整式的乘法的實例，然后歸結出完全平方和、完全平方差公式。接著教材給出圖1說明完全平方和公式。

不難看出，這里是以代數的角度引入，圖形輔助說明。與前面的整式乘法的知識緊密銜接，但沒有充分體現“以形證數，形數統一”的思想。 著名教育家喬治·波得亞曾說：“最好的數學學習方法是通過自己的發現獲得知識，而發現的過程即是探索的過程”。 假設我們在介紹這個公式之前，先利用趙爽弦圖（如圖4）讓學生直觀感知，然后再讓學生證明，可能更符合認知規律。

2.2 基本不等式的引入

人教A版教材以探究中第24屆國際數學家大會的會標即趙爽弦圖，從弦圖中引導學生找出相等關系和不等關系。 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形，設直角三角形的兩條直角邊的長為a，b，那么正方形的邊長為 ?a2+b2 ?。這樣，4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為（a+b）2. 由于正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2+b2 ≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。通常我們寫作 ?ab ≤（a>0，b>0），當且僅當a=b時，等號成立。

而從趙爽弦圖導出基本不等式，既為基本不等式配置了幾何背景，也為基本不等式注入了數學文化的氣息。 讓學生動手進行拼、湊、補等探究活動， 深入理解了割補原理， 體會了中國傳統文化中寓理于算的風格。

3.導入方法與啟示

新課標教學主張從數學中發現生活，從生活中發現數學。但生活的素材需要大量的知識儲備、高屋建瓴的觀點以及對素材內容的反復鉆研，這些對教師的要求極高，難度性太大。但數學史卻是這些素材內容的最佳來源，如古希臘的各種思辨問題、悖論，猶如星空耀眼令人沉迷，再如我國古代數學各種實用問題，古人簡潔而又精辟的思想方法，深入淺出的觀點精彩絕倫，稍加整理即可作為課堂導入的好素材，也就產生了一些導入數學史的好方法：

4.研究展望

4.1 以學生展示為導入

教材上的數學史知識只是滄海一粟，當學生主動去搜集數學史上的名人名事時，就會直接與歷史產生對話，擷取前人的智慧，反思前人的錯誤. 對學生數學素養的培養以及數學思想的發展都會起到潛移默化的作用。

課堂導入是為了讓學生置身于情景中，例如以趙爽弦圖作為第24屆國際數學家大會會標這一背景下，就會讓學生產生強烈的民族榮譽感，激發他們對數學的熱愛。

4.2利用信息技術，使數學課堂多元化

古人云“書不盡言，言不盡意”，如果能將簡單、靜態、固化的教材內容，設計的更為生動有趣，豈不是更好？這其中我們就可以利用信息技術，把靜態的數學現象演繹成動態的探究過程。以趙爽弦圖為例，可以利用幾何畫板等圖形計算器制作動畫來演示平方和公式與平方差公式。 通過信息技術結合數學史導入，可以促進學生內化知識、主動探究，領悟數學本質。

今天，數學課的單調、乏味已不再適應學生的發展和培養，不再適應時代的要求，讓數學史滲透于課堂教學必將是以后的一個發展趨勢。

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