在數學建模活動中滲透模型思想—以“最大利潤問題”為例

王莉丹

（廣西桂林市寶賢中學，廣西桂林 541001）

引 言

隨著科技的迅速發展，數學更加廣泛地應用于社會生產和日常生活中。但是，不少學生不知道為什么要學數學，數學在日常生活中有什么作用。于是，教師在數學課堂教學中搭建聯系數學世界和現實世界的橋梁，旨在幫助學生體會和了解數學與外部世界的密切聯系的重要性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界的基本途徑。那么何為模型思想？

一、模型思想概述

模型思想是針對要解決的問題，從而構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法[1]。

模型思想的核心在于建模。數學建模的過程可分為現實問題數學化、數學模型求解、數學模型解答、現實問題解答驗證四個階段。這四個階段實際上是從實際問題到數學模型，再從數學模型回到現實問題的不斷循環。

二、基于模型思想的課堂實踐

（一）教師引領，親歷建模過程

階段1：現實問題數學化

數學化是根據數學建模的目的將現實問題翻譯轉化為數學問題，并用數學語言表述出來，得出的數學模型。

問題情境：某網絡玩具店引進一批進價為20元/件的玩具，如果以單價30元銷售，那么一個月內可售出180件。根據銷售經驗，銷售單價每上漲1元，月銷量相應減少10件。當銷售單價為多少元時，該店能在一個月內獲得最大利潤？

師：最大利潤問題是我們實際生活中經常遇到的問題，能不能用我們所學的數學知識來解決呢？請同學們通過閱讀、審題，找出問題中的主要關系，即目標與條件的關系。

（學生審題約2分鐘）

師：題目要我們求什么？

生1：求1個月的最大利潤。

師：我們之前遇到過“求最大值”的問題嗎？

生2：遇到過，求三角形面積的最大值。

師：還記得我們是怎么求三角形面積的最大值嗎？

生2：先求出三角形面積的表達式，一般得出一個二次函數，再求二次函數的最大值就可得出面積的最大值。

師：很好，運用函數模型，我們可以快速解決三角形的面積最值問題，甚至還可推廣到其他圖形的面積最值問題。我們能否類比面積最大值的問題來解決最大利潤的問題呢？

生3：我認為可以先求利潤的表達式，再求這個表達式的最大值。

師：不錯的思路，利潤是由什么決定的？

部分學生答道：售價和進價。

師：題目是求單件利潤還是總利潤呢？

生4：是求總利潤，總利潤是由單件利潤和銷量決定的。

師：好，能說說他們的關系嗎？

生4：能，總利潤=單件利潤×銷量=（售價－進價）×銷量。（教師同時板書此關系式）

師：在這個關系式中，哪些是已知的？

生（眾）：進價是已知的。

師：售價和銷量已知嗎？

生（眾）：原來是已知的，后來就是未知的了。

師：我們可以借助表格來進一步厘清他們的關系（教師用PPT顯示表1）。下面請同學們開展小組合作，用數學語言表示后來的售價、銷量和總利潤。

表1

（讓學生討論3分鐘，再請小組代表發言）

生5：設后來每件商品售價為x元，則銷量為[180-（x-30）×10]件，總利潤為（x-20）[180-（x-30）×10]元。

師：（x-30）代表什么？

生5：代表售價上漲了（x-30）個1元。

師：好，總利潤的式子還可以進一步化簡嗎？

生（眾）：化簡得-10x2+680x-9600。

師：我們不妨設總利潤為y元，則y=-10x2+680x-9600，請同學們觀察總利潤的表達式，它是什么類型？

生（眾）：是二次函數。

師：還有不同設法嗎？

生6：設每件商品售價上漲了x元，則售價為（30+x）元，銷量為（180-10x）件，總利潤為（x+10）（180-10x）元，即（-10x2+80x+1800）元。

師：不同的設法得到了不同的利潤表達式，而且第二種計算量更小些。這兩個總利潤的表達式有什么共同特征呢？

一位學生搶答道：它們都是二次函數。

師：原來總利潤的模型是一個二次函數，那我們求利潤的最大值可以怎么求？

生7：可以求對應二次函數的最大值。

師：非常棒！同學們已經成功地將一個實際問題轉化為數學問題。接下來我們只要把數學問題即二次函數的最大值解出來，就可以求出實際問題中的最大利潤了。

階段2：數學模型求解

求解是利用已有的數學知識，選擇恰當的數學方法和數學解題策略，求出數學模型的解答。

師：我們不妨選第二種表達式來求它的最大值。（同時教師板書如下）

解：設每件商品單價上漲x元，一個月獲取的商品總利潤為y元，y=（10+x）（180-10x）

=-10x2+80x+1800

師：求二次函數的最值一般有哪些方法？

生（眾）：配方法、公式法、對稱軸法。

師：下面請同學們選擇一種方法在練習本上把這個二次函數的最值求出來。

階段3：數學模型解答

數學模型解答是指把用數學語言表述的解答翻譯轉化到現實問題中，并給出實際問題的解答。

師：接下來我們要回到現實問題，當銷售單價定為多少元時，該店在一個月內能獲得最大利潤，最大利潤又是多少元？

生（眾）：當銷售單價定為34元時，該店在一個月內能獲最大利潤1960元。

階段4：現實問題解答驗證

師：我們還應思考一個問題，當漲價4元即售價為34元時，最大利潤為1960元能否實現？

大部分學生點頭表示同意，有少數學生表示不一定。

師：在實際問題中，我們還應考慮什么？

生8：還應考慮自變量的取值范圍。

師：不錯，那自變量的取值范圍是什么？

生9：因為180-10x＞0，且x＜0，所以0＜x＜18。

師：最大利潤為1960元能否實現？

生10：可以，因為x=4在此取值范圍內。

師：很好，由數學模型回到現實問題時，我們一定要考慮自變量的限制條件。

（二）變式訓練，再歷建模過程

變式1：某公司在甲、乙兩地同時銷售某品牌的汽車，已知甲、乙兩地的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（輛）之間分別滿足y甲=-x2+10x，y乙=2x。若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，求該公司能獲得的最大利潤。

變式2：某工藝廠設計了一款每件成本為10元的產品，并投放市場進行實銷。經調查，發現每天的銷售量y件與銷售單價x元存在一次函數關系y=-10x+700。若物價部門規定，該產品的最高銷售單價不得超過35元，那么銷售單價如何定位才能獲得最大利潤？

（三）小結反思，回顧建模過程

師：剛才我們經歷了現實問題數學化、數學模型求解、數學模型解答、現實問題解答驗證四個階段，這樣的過程就是數學建模過程，最大利潤與最大面積都有相應的數學模型。求最大利潤的一般步驟有哪些？

生11：先根據題意列出利潤的表達式，即二次函數，然后求二次函數的最大值，從而得出利潤的最大值。

師：二次函數的最大值一定就是最大利潤嗎？

生12：不一定，還應考慮自變量的限制條件，結合函數的圖像性質來求最大值。

師：對，不要忘記最后驗證的環節，這樣我們的工作才是真正有意義的。

結 語

在初中數學教學中，模型思想的滲透與數學教師密切相關。因此，教師要在課前、課中做好充分準備：精心挑選建模的素材，素材可來源于課本或現實生活中比較有趣的、有豐富學科內涵的問題，讓學生真切體會到數學不僅有趣還有用。教師還要精心設計相應的活動，讓學生親身經歷建模的完整過程，即將現實問題數學化、數學模型求解、數學模型解答、現實問題解答驗證這四個階段，在活動中體會數學與外部世界的密切關聯，初步掌握數學建模的一般方法，進而形成模型思想，能像數學家一樣進行“模型化”地處理問題。在課堂中，教師更要對學生進行引導，引導學生從不同的問題情境中找出同一類數學結構關系的數學模型的思維習慣和觀念意識。為此，教師可采用變式教學，通過一系列由淺入深、層層遞進的變式題使事物的非本質屬性不斷變化，以揭示其本質屬性，進而提煉和總結出相應的模型。