基于冪級數解的單擺周期近似公式

楊天虎，岳志明，李玉宏

基于冪級數解的單擺周期近似公式

楊天虎1，2，岳志明1，李玉宏1，2

（1. 酒泉職業技術學院 新能源工程系，甘肅 酒泉 735000；2. 甘肅省太陽能發電系統工程重點實驗室 酒泉新能源研究院，甘肅 酒泉 735000）

通過對單擺周期準確解的冪級數分析推導，給出了新的單擺周期近似公式，經MATLAB計算驗證，其結果在振幅179°的范圍內誤差小，精度高.

單擺；橢圓積分；冪級數

單擺是物理學中研究的一個重要問題，在理論及實驗教學中具有重要作用．在擺角小于5 °的條件下振動時，可近似認為是簡諧運動，隨著擺角的增加，單擺的振動逐漸從線性過渡到非線性．讓學生了解單擺振動的非線性特征，有助于學生認識自然界中存在的大量非線性振動．本文通過分析在無阻尼情況下由剛性輕桿和小球構成的理想單擺模型，得出最大振幅近179 °時的周期近似計算公式．

單擺周期的精確計算需要求解橢圓積分[1-2]，算法復雜，計算難度大，需要借助數學軟件才能完成．文獻[3-6]等給出了多種形式的單擺周期近似公式，大多數近似公式在振幅小于90 °的范圍內，誤差小，近似程度高，但大于90 °時，效果一般，甚至不能用．本文通過對單擺準確周期公式的冪級數展開式的分析推導，給出了新的單擺周期近似公式．經MATLAB計算驗證，其結果在振幅179 °的范圍內誤差小，精度高.

1 單擺周期公式

即

2 單擺周期近似公式推導

事實上，有函數的冪級數展開式[10]100

由此可得

所以

因

因此，由式（4）得

3 計算結果對比分析

式（2）（4）（5）經MATLAB編程計算結果見圖1.

圖1 式（2）（4）（5）的周期計算結果

式（2）（4）~（6）的部分計算結果見表1.

4 結論

（2）經MATLAB計算驗證，在振幅179 °的范圍內，式（4）（6）的絕對誤差小于0.02，精度高；式（5）的最大絕對誤差小于0.08，相對精度低.

（3）單擺的近似計算實質上是對第一類完全橢圓積分的近似計算，本文的分析方法對類似的橢圓積分近似計算問題具有一定的借鑒意義.

[1] 單洪森，恰汗·合孜爾．Cap-cyclide坐標中Jacobi第一種完全橢圓積分和Jacobi橢圓函數的數值計算[J]．新疆師范大學學報：自然科學版，2005，24（2）：28-31

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[4] 單長吉，陳光操，羅藝，等．基于萬能公式和泰勒級數展開的高倍角對單擺周期的研究[J]．大學物理實驗，2018，31（1）：31-36

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[10] 歐陽光中，朱學炎，金福臨，等．數學分析（下）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2007：76，100

Approximate periodic formula of simple pendulum based on power series solution

YANG Tianhu1，2，YUE Zhiming1，LI Yuhong1，2

（1. Department of New Energy Engineering，Jiuquan Vocational and Technical College，Jiuquan 735000，China；2. Key Laboratory of Solar Power System Engineering Project，Gansu Province，Jiuquan New Energy Research Institute，Jiuquan 735000，China）

Based on the analysis and derivation of the power series of the exact periodic solution of simple pendulum， a new approximate formula of simple pendulum is given. MATLAB calculation proves that the formula has small error and high precision within the range of 179 °.

simple pendulum；elliptic integral；power series

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.06.009

1007-9831（2020）06-0041-04

2020-02-25

甘肅省高等學校產業支撐引導項目（2019C-20）

楊天虎（1970-），男，甘肅蘭州人，副教授，從事基礎物理、計算物理研究．E-mail：yth2800@163.com