一類曲線上Cauchy積分在尖點處奇異性的探究

賈婕，劉華，邊小麗

一類曲線上Cauchy積分在尖點處奇異性的探究

賈婕，劉華，邊小麗

（天津職業技術師范大學 理學院，天津 300222）

帶尖點曲線；Cauchy型積分；跳躍問題；典則函數

1　尖點處Cauchy型積分奇異性結論推廣

1.1　３條封閉曲線相切相交

圖1 含尖點３條曲線交疊圖

與文獻[10]中2條曲線時所得結論相比，3條曲線相切相交可以更直觀地反映這類特殊曲線上尖點附近奇異性在不同區域的變化．

圖2 含尖點條曲線交疊圖

2　特殊含尖點曲線上Riemann邊值問題求解

圖3 二次跳躍問題曲線

2.1　一般曲線上Riemann邊值問題求解

對于給定

二次齊次跳躍問題合并后的典則解為

考慮非齊次問題

2.2　尖點處奇異性制約條件對解的影響

圖4 平移曲線

圖5 局部取極限

圖3中跳躍問題的解函數（即不考慮尖點時的解）

相應地，平移后含尖點曲線上解的表達式中的典則函數變為

結合文獻[10]中由２條封閉曲線相切相交產生尖點的特殊曲線上表示Riemann邊值問題解的Cauchy型積分奇異性的結論，本文平移曲線求極限的方向和過程類似于由區域①向尖點處取極限，區域①情況下尖點處的奇異性被抵消，此帶尖點曲線上的Riemann邊值問題也轉化為一般的不受尖點奇異性影響的復合邊值問題求解．

[1] 路見可．解析函數邊值問題教程[M]．武漢：武漢大學出版社，2009

[2] 王瑩，段萍，杜金元．正實軸上的Riemann邊值問題[J]．中國科學：數學，2017，47（8）：887-918

[3] 路見可．不同材料拼接平面裂紋中的數學問題[J]．武漢大學學報：自然科學版，1982（2）：1-10

[4] 李星．一類周期裂紋問題的數值解[J]．寧夏大學學報：自然科學版，1998，19（1）：45-46

[5] 張軍好，劉華．周期彈性平面裂紋探測的復變方法[J]．武漢大學學報：理學版，2009（4）：386-390

[6] Deift P．Orthogonal Polynomials and Random Matrices：a Riemann Hilbert approach[M]．New York：American Mathematical Society，2000

[7] Deift P，ItsA，KrasovskyI．Asymptotics of Toeplitz，Hankel，and Toeplitz+Hankel determinants with Fisher-Hartwig singularities[J]．Annals of Mathematics，2011，174：1243-1299

[8] Deift P，Zhou X．A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems[J]．Bulletin of the American Mathematical Society，1992，26（1）：119-123

[9] Fokas A S，Its A R，Kitaev A V．The isomonodromy approach to matrix models in 2D quantum gravity[J]．Communications in Mathematical Physics，1992，147：395-430

[10] 賈婕，劉華，邊小麗．一類特殊曲線上Cauchy積分在尖點處奇異性分析[J]．天津職業技術師范大學學報，2020，30（1）：26-29

Exploration of the singularities of Cauchy integral at the sharp point on a kind of curves

JIA Jie，LIUHua，BIAN Xiaoli

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

curve with sharp point；Cauchy type integral；jump problem；canonical function

O174.5

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.06.003

1007-9831（2020）06-0010-06

2020-03-25

天津職業技術師范大學研究生創新基金項目（YC19-37）；國家自然科學基金項目（11802208）

賈婕（1995-），女，甘肅定西人，在讀碩士研究生，從事解析函數邊值問題研究．E-mail：JiaJie951121@163.com