重“洋蔥”精神
——防圓錐曲線離心率“小題大做”

◎熊秧波 史日能 （余姚市第七中學，浙江 寧波 315450）

在歷年的浙江高考數學試卷中，圓錐曲線的離心率問題總是以選擇、填空的形式考查，考查學生的探索能力、推理求解能力，以及數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想，這是一個能充分體現學生綜合素養的問題，讓不少學生心生膽怯．在今年高三“七彩陽光聯盟”數學考試中，小題中也有一個雙曲線離心率問題，結合上課時的情形，學生和我一起收獲不少．

一、課堂實錄

題目：已知F2是雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點，若雙曲線的左支上存在一點P，使漸近線上任一點Q 滿足QP＝QF2，求離心率e．

教師總結：思路清晰，簡單明了，方法傳統，但同時解方程組求P 點時確實出現計算量大的問題，有沒有同學能稍微改進一下？

學生2：（法二）由雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，知道PF2⊥OQ，即直線PF2的方程為，與PF1的方程聯立，得點將點P 代入雙曲線方程得，同上．

學生3：老師，受學生2 的方法影響，采用聯立直線PF2與OQ 的方程求PF2的中點N 的思想，從而得到點P，代入雙曲線方程得，同上，這樣得到P 的坐標還要快一點，計算量小一點．

老師總結：不錯，確實計算簡單不少，同學們有沒有發現，改良的方法只是改良了求點P，做到后面還是將點P 代入雙曲線方程，方法一樣．能不能再動動腦筋，繼續探索一下？ 抓住圖形本質，一層一層剝下去，像剝“洋蔥”一樣，越到里面，肉質越美味，一路探底．

我的這些話，大大引起了學生的探索欲望，個個低頭“尋路”．

學生4：（法三）在法二的基礎上進一步探究得PF1⊥PF2，在焦點三角形PF1F2中，PF2＝2b，F1F2＝2c，又漸近線可得ON ＝a，∴PF1＝2a．由雙曲線定義得故2b-2a ＝2a，易得，此時教室內響起一片掌聲！

二、方法總結

抓牢數學圖形的特征，與雙曲線定義結合，巧妙轉換直角含義，確實是一良方，讓人如釋重負，一身輕松，小題當如是．一般圓錐曲線中若出現焦點三角形，往往跟定義有關，若涉及角度，還會跟正、余弦定理、三角形面積有關，或余弦定理里面用基本不等式的知識來解決相關范圍、最值問題．當然，也可能根據圓錐曲線的幾何性質，比如，橢圓中的橫、縱坐標范圍，｜PF1｜或｜PF2｜的范圍為［a-c，a＋c］，雙曲線左支上的點到左、右焦點的距離｜PF1｜≥c-a，｜PF2｜≥c＋a，到右頂點的距離｜PA｜≥2a 等．

三、探討洋蔥教學的應用特點及現狀

在傳統的高中數學教學模式下，數學教師一直扮演著課堂主導者的角色，教師成為課堂的主體，學生僅是課堂中的一個客體，他們的學習主動性和課堂主體性被大大限制．在這種教學模式下，一些自律的學生可以堅持聽講并自主學習，但大部分的高中生都有著容易走神、自制力較差的特點，久而久之就會出現兩極分化的情況．而在信息化教育背景下，各類教學資源都涌入了高中數學課堂中，教師開始不斷研究探索更高效的教學方法，以此尋求高質量的課堂．洋蔥教學更加重視學生自主學習能力的培養，注重將抽象的數學知識點和理論轉化為直觀、具體的視覺圖像，這對幫助學生更好地理解和掌握數學知識，提高自身的自主學習能力有著非常積極的作用．將“洋蔥”數學教學方法引入高中數學課堂教學中，不僅可以有效解決傳統課堂的弊端，還能為教師提供更方便、更豐富的教學資料，將學生真正放到課堂的主體位置上，有利于激發起他們的主動性和積極性．

四、感悟

新課改下，《數學課程標準》提出了“數學教學要根據具體的實際教學內容，讓學生在學習過程中獲取間接解題經驗，或有效的直接經驗．這就需要數學教師從學生實際情況出發，為學生創設自主學習的數學問題情境，引導學生通過交流、合作、實踐、思考等途徑不斷獲取數學問題解答能力、數學基礎知識、基礎技能、數學思維、基本活動經驗等，促進學生主動、個性地開展數學學習，使其不斷提升自身的思考數學問題和解答的能力”．而通過洋蔥式的教學模式，將其適當引入高中數學問題解答教學過程中，也能為數學教師提供適合數學章節教學內容的情境素材，幫助學生在洋蔥式學習中自主、積極探索、參加解答數學問題活動，掌握重難點知識，以此提高學生自身的數學學習能力．洋蔥式的數學教學還能幫助學生克服“形象到抽象”的思維障礙．學生在學習數學知識時，可以依托一個數學圖像或視頻來直觀理解數學教材中的每一個知識點，圖像與視頻刺激著學生的感官，讓他們真實感受數學知識的特點，明白數學在生活中的作用，學會用數學的思維和眼光來思考和解決生活中的問題．

例如，數學小題盡量小做，那么必須找到一條簡便明了的路徑，這就得靠平時養成積極探索的“洋蔥”精神，不滿足于題中圖形的表面含義，努力理解，深入思考，合理轉化，徹底讓圖形“活”起來，把圖形語言徹底轉換，讓含義體現得淋漓盡致．我們要學會數學上的聯想，最終化歸為最原始的定義、本質等，需要“洋蔥”精神，層層剖析．數學學習是一個不斷思考、不斷分析、不斷反思總結、不斷概括應用的過程，可使人聰明，提升學生的核心素養．在平時的教學過程中，教師要隨時抓住機遇，引導學生思考探究，親身體驗探究的樂趣、探究成功的味道，即使探究未果，也有收獲，起碼學生動腦筋思考過，注重思維活躍的形成，培養學生愿意學數學、會學數學的能力．

五、“洋蔥”精神培養策略

第一，應夯實數學基本知識，基本技能，基本方法．學生的基礎發展領域中，除了知識和技能外，還包括一項更為重要的內容，即學會學習和使用知識的技能，這是更重要的學習．扎實的基礎是技能發揮的必要條件，要在老師平時的教學和學生的學習中穩步前進．教師要注重數學文字語言、符號語言、圖形語言的教學，靈活轉化；注重概念清晰、思路清晰、語言輕快、板書清楚．

第二，教學過程中的知識要螺旋式上升．數學知識分塊教學，但是最終高考多以綜合題出現，一個題目內含有多個知識點的運用，各種知識穿插在一起發生“化學作用”，體現數學的簡捷，數學的優美，數學的豐富．

第三，數學思想的培養．高中數學主要蘊含分類討論、數形結合、轉化與化歸三大思想，平時要滲透在每堂數學課中．學生在學習過程中逐漸體會，逐漸重視，逐漸嘗試應用，以至最后養成習慣．學生會用數學的思維發現問題，分析問題，解決問題，感受自己分析成功的喜悅，激起濃厚的想學數學的興趣，發現數學無窮的魅力．此外，在高中數學教學中引入洋蔥式教學理念，數學教師還可以引導學生在課下開展數學學習．例如，洋蔥教學視頻可用于學生對數學知識的預覽和復習，這將有助于培養學生的自學技能，并提高學生的自主學習能力．

第四，回歸教材，重組素材．《新課程標準》中明確提出在數學教學中，學生的數學學習必須要具備挑戰性，其內容也要有意義和現實性，這對幫助學生主動參與、積極觀察、探索、思考、實驗、推理與交流有著重要作用．將洋蔥式數學教學模式引入數學問題解答和知識學習中，一些有效的學習素材學生無法完全消化和解決，這就需要教師回歸高中數學教材，重組教學素材，仔細研究教材內容，從實踐中做到大膽創新．

第五，創建“洋蔥”教學技術平臺，加強師生交流．在高中數學課堂教學中，要想更好地達到洋蔥數學教學的預期目標，數學教師除了要轉變觀念，培養數學思想，接受洋蔥教學方式外，還需要加強學生與教師之間的溝通交流，使得數學教師掌握學生的實際需求和學習特點，從而適當地調整課堂教學的進度與內容．因此，要想讓“洋蔥”數學教學方法高效地應用到高中數學教學中，就需要教師與學生加強溝通與合作，共同努力來創建高效的數學課堂．學校還需要大力宣傳，積極引進這一教學技術，例如，可以聘請專業的計算機人才為師生構建交流平臺，這對實現師生互動、溝通有著積極作用．學生也可以依托該平臺向教師提出學習建議，教師在整理學生建議時，能夠真正了解學生的所思所想，從而吸納意見，更好地優化數學課堂教學，這會讓“洋蔥”教學在課堂中的應用更為充分與生動．