拋物線與直線鉛垂差模型的最值問題

馮更發(fā)

【摘要】本文主要討論在拋物線與直線背景下的鉛垂差模型最值問題，我們可以得到：拋物線與直線的鉛垂差，在有兩交點(diǎn)的前提下，若自變量在兩交點(diǎn)之間，則在交點(diǎn)的中點(diǎn)處鉛垂差取得最大值。應(yīng)用此模型，我們還可以解決相同背景下的三角形面積最值問題、四邊形面積最值問題以及線段比值最值問題。

【關(guān)鍵詞】拋物線? ?鉛垂差? ?最值

幾何教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要組成部分，同時(shí)也是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。新義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程設(shè)計(jì)理念中，特別強(qiáng)調(diào)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.模型教學(xué)不僅能夠讓學(xué)生擁有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升自身綜合素質(zhì)，為未來的良好發(fā)展打下良好基礎(chǔ)。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重要的組成部分，它深刻的反映了客觀世界的運(yùn)動(dòng)和實(shí)際的量之間的依賴關(guān)系，通過坐標(biāo)系中的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)反映量變的關(guān)系。

在近幾年各地中考中，幾何最值問題屢屢受到命題者關(guān)注，此類問題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、方程與不等式、函數(shù)知識(shí)等。常見二次函數(shù)作為壓軸題出現(xiàn)，而二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，從形的角度來講，是拋物線和直線的結(jié)合，是常考題型。這類試題較好地考查了同學(xué)們的幾何探究、推理能力的要求及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

一、鉛垂差模型介紹

拋物線與直線的鉛垂差，在交點(diǎn)的中點(diǎn)處取得最大值。

拋物線與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上BC部分間一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸交BC與點(diǎn)D，則當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，線段PD有最大值。

二、模型探究

如圖，拋物線y=-（x+1）（x-3）和直線y=-x+3交于點(diǎn)B（3，0）和C（0，3），P為拋物線上一點(diǎn)，已知點(diǎn)P在線段BC上方。過點(diǎn)P作PD⊥x軸交BC于點(diǎn)D。若P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，

（1）用x表示線段PD的長(zhǎng)。

（2）當(dāng)PD=0時(shí)，求x的值

（3）問當(dāng)x為何值時(shí)，線段PD有最大值，最大值是多少？

模型解析：拋物線與直線的鉛垂差，從數(shù)的角度來講，就是二次函數(shù)減一次函數(shù)，結(jié)果依舊是二次函數(shù)。在交點(diǎn)之間，此二次的函數(shù)有最值。拋物線與直線的交點(diǎn)，就是新函數(shù)的值為0的點(diǎn)，而新函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)交點(diǎn)式，在交點(diǎn)的中點(diǎn)處取得最值。

三、模型拓展應(yīng)用

思路點(diǎn)撥

一般來說，拋物線與直線的鉛垂差，從數(shù)的角度來講，就是二次函數(shù)減一次函數(shù)，結(jié)果依舊是二次函數(shù)。在交點(diǎn)之間，此二次的函數(shù)有最值。拋物線與直線的交點(diǎn)，就是新函數(shù)的值為0的點(diǎn)，而新函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)交點(diǎn)式，在交點(diǎn)的中點(diǎn)處取得最值。拋物線與直線上的點(diǎn)連線段的最值問題，可以通過相似轉(zhuǎn)化為鉛垂線段的最值問題，這里體現(xiàn)的是斜化直思想。與拋物線上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的連線段比值有關(guān)的問題，也可以利用相似轉(zhuǎn)化為鉛垂線段的比值問題。