高中數學排列組合解題技巧探析

甘肅省臨夏回族自治州永靖縣永靖中學 王 龍

排列組合不僅是一種題目類型，同時也是重要的解題工具，學習排列組合首先要具備嚴謹的邏輯思維能力。但因為高中階段學生的知識體系不夠健全，考慮問題缺乏嚴謹性，因此在對排列組合問題進行解答的過程中很容易出現各種各樣的問題，影響數學成績。在數學試卷中，排列組合問題占據著極大的比重，因此要想提高數學整體成績，必須將基礎打好，牢牢掌握排列組合問題的解題技巧，靈活運用所學知識。

一、巧用插空法

插空法主要是對固定為主不相鄰的排列組合問題進行解答，其使用條件限制不多，但在解題的過程中要注意先排列好特殊位置，之后在限制元素之間的兩端或空位插入自由元素，以使某些元素不相鄰的條件得到滿足。例如這樣一道例題：將3 位學生插入相鄰而站的八位學生之間，要求每2個學生之間只可以插進1 個新同學，不能將之前8 位學生的排列順序改變，請問有多少種排列方式？第一，先對固定元素進行考慮，不能改變原來8 位學生的順序和位置，只需要對其他3 位學生的插空位置和順序的排列組合方式進行考慮，注意不要將8 位學生兩端的位置遺漏，如此便有9 個位置可以插孔。先用公式將從9 個孔位中選出3 個孔位的組合方式有幾種計算出來，再把3 位新同學一共有幾種排列方式算出，最后將兩個結果相乘便將最終答案得出。這是一個十分具有代表性的插孔問題，只要學生掌握解題技巧，只需三個步驟便能準確計算出答案。

二、相鄰捆綁

排列組合中有這樣一類十分常見的問題：兩個數字、兩個人等必須緊挨在一起，或一個問題中借助分析發現大條件中必須有兩種物品要相鄰的問題。在對此類問題解答的過程中，若是把全部元素均看成獨立的個體，之后再對相鄰問題進行考慮，如此也可以得出結果，但效率不高，準確率也不是百分之百。運用相鄰捆綁就很容易解決了，即把兩個相鄰元素看作一個整體后再重新排列，如此可以將很多步驟省掉，同時更有秩序性。例如：年終大會開始了，要將10 把椅子排成一排，經理和副經理要坐在一起，其他可以任意擺放，請問一共有多少種擺法？這是極具代表性的相鄰問題，在解答的過程中借助大條件，我們可以發現最關鍵的一點是經理和副經理要坐在一起。在解答問題的過程中，可以把他們兩個看作一把椅子，也就是排列組合九把椅子，如此不僅不會在解答的過程中每次都要對坐在一起的問題進行考慮，同時還能迅速把解答方向找到，借助簡單的公式更迅速地得到答案。例如：7 個人站成一排，并且A 與B 之間需要相鄰，C 與D 同樣如此，那么總共包含多少種狀況？這屬于較為普通的捆綁類題目，采取捆綁法，學生能夠將A 與B、C 與D 作為整體，進而簡化成5 人排數問題，通過排列公式A55 能夠計算出約有120 種狀況。同時，捆綁元素能夠實現自由排列，A 與B 排列存在著兩種狀況，即A22 種狀況，C 與D 也是如此。如此一來便能夠得到最終答案，即120×2×2=480（種）。對于上述題目，需要重視對捆綁元素予以正確的排序。同時可以運用“插空法”予以解答，對不相鄰的元素實施插空處理。需要注意的是，在對捆綁法和插空法予以運用的過程中，應結合題目特點和運用難度，本題所運用的捆綁法屬于簡單類型。

三、優先處理特殊位置上的元素

數學問題中元素所在位置可能具有限制條件，在對排列組合問題進行解答的過程中，要先將特殊位置的元素找出來，列出它們的限制條件優先計算，防止因為計算順序不正確或條件遺漏造成結果不正確。如這一類常見的排列組合問題：一個電話號碼的最后三位模糊不清，已知它們是1、4、5、7、9 五個數中的三個不同數字，同時可以確定其中一個數字為9，請問，共有多少種排列組合方式？在這個題目中，9 為特殊元素，排列組合是要在不同的位置上放上9，基于此展開解答，不僅能節省答題時間，同時還可以防止遺漏計算結果。

四、運用排除法

排除法是最有效、最顯著且使用頻率最高的一種方法。一些問題從正面進行考慮，通常較為復雜，難以找到切入點，若是立足于另一個角度進行考慮，就會發現其實難度并不大，看到它的反面，之后再從整個問題中進行排除，就能輕松解決各個難點。例如這樣一道問題：有20 個編號從1—20的球，其顏色和大小均相同，從中摸4 個球，但要求至少有一個球是1—4 號，請問一共有多少種抽法？若是正面考慮這道題，可能會受到一定的誤導，我們會把問題分成幾種情況，但立足于另一個角度看，所有問題就會變得非常簡單，如此既能降低理解難度，同時還能節省時間。

五、打包寄送法

打包寄送法是對元素不同分組問題予以解決的主要方式，具體應用時涉及打包與寄送兩個方面。對不同元素進行分組的過程中，需要通過正整數的方式對元素個數予以分析，并通過排列組合對全部的分組狀況進行計算，并對其予以匯總相加，此種分組方式就是打包法，就打包法之中的各個組別而言，均需要分到最少一個元素。寄送法則指的是把不同元素分到不同位置，確保每個位置均有一個元素。打包和寄送結合在一起就形成了打包寄送法，其特點在于分發元素并不同質，需要通過以下兩個步驟進行計算：其一，打包，把N 個不同元素劃分成n 組，秉承“打包計數先分解，對照分解寫組合，組合相乘做分子，同數全排做分母”的原則；其二，寄送，將N 個不同元素寄送到N 個不相同的部分，確保每個部分均有一個，原則為“寄送問題想簡單，進行全排就可以”。比如，把6 位同學送到3 個地方，每個地方最少去一名同學，那么總共有多少種安排方式？在解答的過程中，打包分組總共有90 種方式，寄送則有6 種方式，結合分步原理能夠得出，安排方式總共有90×6=540 種。

六、畫圖法

部分排列組合問題存在著諸多的細節，學生對這些細節進行處理的過程中，極易忽略題目中存在的相關條件，進而出現做題錯誤的情況。畫圖法是一種解決問題的良好方式，其能夠對題目中存在的細節進行有效的還原。例如，35 個人圍成一圈，那么總共有多少種方式？部分學生面對此問題時，會認為其屬于例題2 的簡化，但運用圖畫（如下圖），就會發現并非如此。

將圍成一個圈的狀況畫成排列為一條的狀況，可發現此題目不存在首位分別。所以，答案不是A55，而是A44，即總共有24 種狀況。

七、擋板法

就擋板法而言，其主要是用來解決同質元素分組問題。對相同元素進行分組的過程中，需要把元素依次攤開，并在空隔中將需要的個數選出來，插入擋板，進而把元素分成若干個部分，擋板法獲取到的每個組最少存在一個元素。對擋板法予以靈活運用，可以對部分較為復雜的排列組合問題進行處理。在具體運用的過程中，需重視分組元素的一致性，每組均“非空”，因此每組之中最少要存在一個元素，避免出現剩余元素。例如，把10 張電影票分給3 個人，每人最少需要得到1 張，總共存在多少種方式？把10 張電影票攤開，形成9 個空隙，需要分成3 段，并在9 個空隙中插入兩個擋板，那么不同的方式有C29=36 種。

八、分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。例如，三邊長均為整數，且最大邊長為11 的三角形有多少個？

解：設三角形的另外兩個邊分別為x 和y，要構成三角形，則分類討論如下：

當y為11時，x可以為1、2、3、……11，可有11個三角形；

當y 為10 時，x 可以為2、3、4、……10，可有9 個三角形；

當y 為9 時，x 可以為3、4、5、……9，可有7 個三角形；

當y 為8 時，x 可以為4、5、6、7、8，可有5 個三角形；

當y 為7 時，x 可以為5、6、7，可有3 個三角形；

當y 為6 時，x 可以為6，只有1 個三角形。

所以，所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36 個。

總而言之，高中數學排列組合問題很有特點，在解答問題的過程中應注意靈活運用解題技巧，正確分析題目，運用適宜的解題方法，可以將解題難度有效降低，使考試時間得到節省，同時使計算結果更加準確。所以，必須重視總結和運用排列組合問題解題技巧。