數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

福建省漳州市龍海蓮花中學(xué) 何繼芳

由于初中階段的學(xué)生在邏輯思維方面還存在一定的不足，所以在教學(xué)中教師要及時(shí)更新教育思想與方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)揮數(shù)學(xué)建模作用，在簡化數(shù)學(xué)問題的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生掌握解題技巧，從而提高學(xué)習(xí)效果。

一、初中生數(shù)學(xué)建模中存在的問題

研究發(fā)現(xiàn)，目前一些初中生表現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不高的現(xiàn)象，尤其是在分析問題、解決問題能力等方面存在一定的不足。所以在教育教學(xué)中，教師要找出學(xué)生出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，做好轉(zhuǎn)變工作。首先，一些學(xué)生心理方面存在一定的障礙。由于數(shù)學(xué)知識(shí)有著抽象性與邏輯性較強(qiáng)的特點(diǎn)，很容易讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生戒備心，甚至表現(xiàn)出自信心不足等現(xiàn)象，在面對數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)也就會(huì)產(chǎn)生厭煩的心理。其次，一些學(xué)生存在思維局限性現(xiàn)象。初中數(shù)學(xué)問題復(fù)雜程度增加，需要學(xué)生找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，以抽象思維來解決問題。但是由于一些學(xué)生的直接思維能力與抽象思維能力不足，影響了他們對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，影響了學(xué)生建模能力的提升。最后，學(xué)生在數(shù)量分析方面存在一定的不足。受基礎(chǔ)知識(shí)的限制，數(shù)量關(guān)系、數(shù)形結(jié)合等很容易對建模產(chǎn)生直接的影響，最終也會(huì)影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的措施

（一）啟發(fā)學(xué)生建模思想

由于數(shù)學(xué)知識(shí)有著抽象性與邏輯性較強(qiáng)的特點(diǎn)，所以一些學(xué)生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出了許多的問題。因此，教師就要利用數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探索，在幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)現(xiàn)象的同時(shí)提出自己的問題，通過準(zhǔn)確分析與研究來解決問題，形成建模思想。所以，培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)已經(jīng)成了建模思想形成的關(guān)鍵所在。教師也要及時(shí)為學(xué)生構(gòu)建適宜的教學(xué)情境，讓學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)。首先，營造學(xué)習(xí)環(huán)境。由于這一階段學(xué)生思維比較活躍，能夠?qū)π迈r事物產(chǎn)生濃郁的好奇心，所以教師要利用學(xué)生這一特點(diǎn)，向?qū)W生提出實(shí)際問題，鍛煉學(xué)生問題意識(shí)。在傳統(tǒng)教育模式中，許多學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)，加之課堂互動(dòng)性不足，影響到了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。但是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師則要從營造學(xué)習(xí)環(huán)境出發(fā)，清楚認(rèn)識(shí)到學(xué)生才是課堂中的主體，自身則要以引導(dǎo)者的身份來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生探索欲望。其次，營造問題環(huán)境。當(dāng)學(xué)生置身于良好的學(xué)習(xí)環(huán)境時(shí)，往往能夠產(chǎn)生問題意識(shí)，從而也就可以積極參與學(xué)習(xí)，在問題情境中找出數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。因此，在創(chuàng)建問題情境時(shí)就要結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，引入趣味性數(shù)學(xué)故事，鼓勵(lì)學(xué)生提出具體問題，在引導(dǎo)學(xué)生探索中找出解題方法。

（二）數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的運(yùn)用

我們的日常生活中隨處可見數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中運(yùn)用廣泛，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有數(shù)學(xué)建模的思想。學(xué)生通過一些具體實(shí)例實(shí)踐、分析、歸納，將所學(xué)知識(shí)滲透到實(shí)際問題中，才能初步形成數(shù)學(xué)建模能力，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。

1.在幾何上的運(yùn)用

在幾何中測量一些高大物體的高度，如東方明珠塔、金字塔的高度以及河岸的跨度等我們不能直接測量，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，運(yùn)用三角形相似解決實(shí)際問題。

例如，據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用三角形相似的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度。如圖一，木桿EF 長2 米，它的影長FD 為3 米，測OA 長為201 米，求金字塔的高度BO。

圖一

圖二

又如圖二，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)P，在河的這一邊取點(diǎn)Q 和S，使P、Q、S 三點(diǎn)共線且直線PS 與河岸垂直，接著再過點(diǎn)S 且與PS 垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT 與過點(diǎn)Q 且垂直PS 的直線b 的交點(diǎn)為R。如果測得QS 為45 米，ST 為90 米，QR 為60 米，求河的寬度PQ。

解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P

∴△PQR ～△PST

∴PQ×90=（PQ+45）×60，解得PQ=90（米）

2.在函數(shù)中的運(yùn)用

日常生活中有關(guān)商品利潤的最大化、旅游消費(fèi)費(fèi)用的最小值、建筑物的設(shè)計(jì)等問題，我們就可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)解決實(shí)際問題。

（1）一次函數(shù)模型

例如：學(xué)校有一批復(fù)印任務(wù)，原來由甲復(fù)印社承接，按每100 頁40 元計(jì)費(fèi)。現(xiàn)乙復(fù)印社表示，若學(xué)校先按每月付給200 元承包費(fèi)，則可以按每100 頁15 元收費(fèi)。①設(shè)學(xué)校復(fù)印的頁數(shù)為x，試寫出甲、乙兩家復(fù)印社的收費(fèi)y甲、y乙與x 之間的函數(shù)關(guān)系式；②若該學(xué)校估計(jì)每月的復(fù)印頁數(shù)不超過1000 頁，那么學(xué)校應(yīng)該選擇哪個(gè)復(fù)印社復(fù)印？

解：①y甲=0.40x，y乙=200+0.15x（學(xué)生基本都能寫出來）

②設(shè)問你是怎么想的？應(yīng)該怎么分情況討論呢？

（解決問題：什么時(shí)候甲、乙兩復(fù)印社收費(fèi)相同？什么時(shí)候甲復(fù)印社收費(fèi)大于乙復(fù)印社收費(fèi)？什么時(shí)候乙復(fù)印社收費(fèi)大于甲復(fù)印社收費(fèi)？收費(fèi)相同在圖像上怎樣反映出來？結(jié)合函數(shù)圖像探究）

解析：當(dāng)0.40x=200+0.15x，即x=800（頁），學(xué)校選擇甲復(fù)印社或乙復(fù)印社復(fù)印都可以；當(dāng)0.40x ＜200+0.15x 即x ＜800（頁），學(xué)校選擇甲復(fù)印社復(fù)印支付費(fèi)用比較少；當(dāng)0.40x ＞200+0.15x，即x ＞800（頁），學(xué)校選擇乙復(fù)印社復(fù)印支付費(fèi)用比較少。因此，結(jié)合實(shí)際，學(xué)校復(fù)印任務(wù)數(shù)在不多于800 頁時(shí)選擇甲復(fù)印社復(fù)印，復(fù)印任務(wù)數(shù)多于800 頁時(shí)選擇乙復(fù)印社復(fù)印。

（2）二次函數(shù)模型

例如：如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9 米，當(dāng)水面寬度是4 米時(shí)，拱頂離水面2 米。現(xiàn)在想了解水面寬度變化時(shí)，拱頂離水面的高度怎樣變化。你能想出辦法來嗎？

引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型。設(shè)問：這是什么樣的函數(shù)呢？（拱橋的縱截面是拋物線，所以應(yīng)當(dāng)是個(gè)二次函數(shù)）再問：如何建立直角坐標(biāo)系呢？（學(xué)生通過探究，得到如下幾種坐標(biāo)系建立法）

通過比較可知，以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為y 軸建立直角坐標(biāo)系（如第2 個(gè)圖）得到的函數(shù)表達(dá)式最簡單、最合適（即y=ax2型）。

總之，針對上面幾個(gè)日常生活中的實(shí)例，我們引導(dǎo)學(xué)生通過所學(xué)知識(shí)分析問題、建立數(shù)學(xué)模型，最后得以解決問題。

（三）培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)

由于數(shù)學(xué)知識(shí)中存在豐富的符號(hào)內(nèi)容，所以可以借助符號(hào)來表示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生在推理與分析中掌握計(jì)算技巧。在新課改背景下，要從培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)入手，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，利用數(shù)學(xué)建模將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀展現(xiàn)出來，發(fā)揮數(shù)學(xué)符號(hào)的作用。所以在教學(xué)中就要從建模思想入手，鍛煉學(xué)生用字母表示數(shù)的能力。由于這一階段學(xué)生受到前階段學(xué)習(xí)的影響，對數(shù)字有著較強(qiáng)的依賴感，教師就要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用字母來替代數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系。

例如：A 與B 兩地間隔18 公里，甲方需要在AB 之間鋪設(shè)燃?xì)夤艿谰€，乙方在AB 間鋪設(shè)輸油管道線。已知甲方每周比乙方少鋪設(shè)1 公里，但是甲方提前3 周進(jìn)行施工，最終甲方與乙方同時(shí)完成施工任務(wù)，那么甲方與乙方每周各鋪設(shè)了多少公里管道線？

解：甲方每周鋪設(shè)x 公里，乙方每周鋪設(shè)（x+1）公里，

解得x1=2，x2=-3

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=2，x2=-3 都是原方程的根，但x2=-3 不符合題意，舍去。

∴x+1=3，即甲方每周鋪設(shè)2 公里，乙方每周鋪設(shè)3 公里。

再比如，超市購物中涉及總價(jià)、數(shù)量與單價(jià)之間的關(guān)系，所以就可以借助字母表示出來，幫助學(xué)生逐漸形成字母意識(shí)。教師還可以開展符號(hào)運(yùn)算訓(xùn)練，引入數(shù)學(xué)思想。開展符號(hào)運(yùn)算訓(xùn)練已經(jīng)成了提升學(xué)生符號(hào)意識(shí)的渠道之一，所以教師就要借助具體問題，讓學(xué)生得到充分的鍛煉。如在學(xué)習(xí)有理數(shù)這一內(nèi)容時(shí)，一些學(xué)生很容易出現(xiàn)符號(hào)使用錯(cuò)誤的現(xiàn)象，所以教師就可以開展強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)符號(hào)，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

（四）堅(jiān)持循序漸進(jìn)原則

由于長期受到傳統(tǒng)教育思想的影響，一些教師在教學(xué)中并沒有認(rèn)識(shí)到建模的重要性，加之學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)與能力不足，所以在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出了難以快速解決問題的現(xiàn)象。因此，教師在教學(xué)中要堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)，鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)能力。但是在教學(xué)中還要引入相關(guān)的鋪墊語，讓學(xué)生自行建立模型，從數(shù)量關(guān)系的角度來分析數(shù)學(xué)問題。學(xué)生只有掌握建模思想與方法，才能逐漸在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決相應(yīng)的問題。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)作為學(xué)生學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，將直接影響學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。因此，教師在教育教學(xué)中就要從重視數(shù)學(xué)教學(xué)入手，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為基礎(chǔ)，做好教學(xué)研究工作，利用建模思想來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果。