基于“STEM”理念下的“最速降線”探究

張金州

(長興縣太湖高級中學(xué) 浙江 湖州 313100)

1 概念的提出

“STEM”是科學(xué)(Science)，技術(shù)(Technology)，工程(Engineering)，數(shù)學(xué)(Mathematics)4門學(xué)科英文首字母的縮寫，其中科學(xué)在于認識世界、解釋自然界的客觀規(guī)律；技術(shù)和工程則是在尊重自然規(guī)律的基礎(chǔ)上改造世界、實現(xiàn)對自然界的控制和利用、解決經(jīng)濟和社會發(fā)展過程中遇到的難題；數(shù)學(xué)則作為技術(shù)與工程學(xué)科的基礎(chǔ)工具.

意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個分析學(xué)的基本問題——“一個質(zhì)點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短.”盡管伽利略自己給出了“該曲線為圓”的錯誤答案，但是卻為問題的解決指明了方向.在1696年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利再次提出這個“最速降線”的問題并給出了正確解答，他還拿這個問題向其他數(shù)學(xué)家提出了公開挑戰(zhàn).最后牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員等解決了這個問題，求出的“最速降線”為旋輪線.

目前在中學(xué)階段關(guān)于“最速降線”的問題僅為“誰先達到斜面底端”的簡單問題求解與一些簡單應(yīng)用說明，而更高層次的研究與論述主要集中在“數(shù)學(xué)物理方法”層面，即僅在物理知識層面采用數(shù)學(xué)知識的闡述，這些闡述往往過于復(fù)雜，需要相當?shù)臄?shù)學(xué)知識才能有較為深刻的認識，而鮮有更系統(tǒng)性的分析以適應(yīng)更多學(xué)習(xí)層次的論述.本文將從“STEM”理論的角度對“最速降線”問題進行探究.

2 基于“S”與“M”的分析

1696年，貝塞大學(xué)的伯努利提出了以下問題：如圖1所示，在豎直平面內(nèi)給定兩點A和B，要尋找路徑AMB，使得質(zhì)點以最短的時間滑過該路徑，假定質(zhì)點的加速度僅僅來自重力作用，這就是有名的“最速降線”問題.通過數(shù)學(xué)物理方法得到其方程為

圖1 最速降線問題示意圖

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

(1)

式(1)即為“最速降線”問題的解，質(zhì)點只在重力作用下沿此線下滑的速度最快、用時最短.其推導(dǎo)過程就不在這里推導(dǎo)了.

從科學(xué)與數(shù)學(xué)角度進行的分析與推導(dǎo)極為成功的獲得了“最速降線”，但正處在中學(xué)階段的普通學(xué)生將難以理解，因此，有必要將該問題進行合理簡化的分析.

3 基于“S”與“M”的簡化模型分析

“最速降線”的求解對于中學(xué)生來說要求較高，知識綜合性較強，特別是其中涉及的數(shù)學(xué)運算；因此有必要將分析進行簡化，成為一般學(xué)習(xí)能力的學(xué)生都可以探究分析的內(nèi)容.現(xiàn)結(jié)合伯努利的思維方式和斯涅耳定律以尋求較為簡化的模型分析[1].

如圖2建立坐標系，設(shè)A為坐標原點，B點坐標為(C，H)，若用幾個平行于x軸的帶狀區(qū)域?qū)⑦@一區(qū)域分成若干個小區(qū)域．小區(qū)域足夠小，以至于物體在每個區(qū)域中的運動近似是勻速運動．根據(jù)機械能守恒定律，物體經(jīng)過此區(qū)域時，其速度為

圖2 “最速降線”簡化模型

(2)

經(jīng)不同區(qū)域的速度不同，從A到B運動的過程中速度是越來越大的．物體途經(jīng)兩個區(qū)域時速度不同，如圖3所示.物體在區(qū)域Ⅰ中的運動的速度為v1，在區(qū)域Ⅱ中的運動的速度為v2．

圖3 “最速降線”物體運動過程中的速度區(qū)域劃分

由幾何關(guān)系可得

(3)

該結(jié)論與光的折射對應(yīng)的斯涅耳定律是一致的.光入射到不同介質(zhì)的界面上發(fā)生折射時，入射光和折射光位于同一個平面上，并且光在介質(zhì)中傳播的速度v與界面法線的夾角α滿足如下關(guān)系

根據(jù)上述的相關(guān)特點便可以求“最速降線”方程了．如圖4所示，設(shè)物體從A到B運動過程中任一位置縱坐標y對應(yīng)的速度為v，v與y軸方向的夾角為α,與x軸方向的夾角為φ，則y′=tanφ，因而

圖4 物體運動過程中任一位置的速度分析

(4)

將式(2)～(4)聯(lián)立可得

故y(1+y′2)=C，這就是旋輪線的微分方程.

將該微分方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程，上式可變?yōu)?/p>

令y=csin2φ，則

dx=c(1-cos 2φ)dφ

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

同樣得到了“最速降線”的方程.

通過更加簡化的推理分析模式，中學(xué)生基本上能用目前所學(xué)知識分析并理解“最速降線”問題，這有利于提高學(xué)生的認知.

4 基于“T”的驗證

“最速降線”模型分析后還得通過技術(shù)手段進行驗證，該驗證從兩個方面進行，即計算軟件的驗證和實驗儀器的驗證.

4.1 基于“T”的計算驗證

沿著各曲線下滑的時間求解較為復(fù)雜，可以借助于一些專業(yè)的工具軟件進行計算，本次計算采用的是Mathematica軟件進行求解，在計算時間的程序編寫中，引用文獻程序，對方程進行求解[2].程序如下：

(1)由擺線可得沿擺線C1下滑的時間

如圖1，從A(0,0)點運動到B(x1，y1)，以下運動的A，B點相同，其中重力加速度取g=9.8 m/s2.

(β即為擺線中轉(zhuǎn)過的圓心角)

編輯Mathematica程序如下：

g=9.8；x1=Input[]；y1=Input[]；

Print["x1="x1,",","y1=",y1]

t=FindRoot[(θ-sin[θ])/(1-cos[θ])=x1/y1,{θ,Pi}]；

β=θ/.t；

a=x1/(β-Sin[θ])/.t；

T1=Sqrt[a/g]*β；

Print["β=",β]

Print["a=",a]

Print["T1=",T1]

運行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運行結(jié)果為：

β=3.67631689，a=2.15006463，T1=1.72197031

(2)質(zhì)點沿直線C2下滑的時間

在上面的程序后面添加兩條命令：

T2=Sqrt[2*(x1^2+y1^2)/g/y1]；

Print["T2=",T2]

運行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運行結(jié)果為：T2=2.22463

(3)質(zhì)點沿圓弧C3下滑的時間

圓弧過A(0,0)，B(x1,y1).則圓的參數(shù)方程C3(圓心應(yīng)在x軸上)：

得

在上面的程序后面添加兩條命令：

T3=Sqrt[(x1^2+y1^2)/2/g/x1]*Integrate

[1/Sqrt[u*(1+u^2)],{u,y1/x1,+}]；

Print["T3=",T3]

運行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運行結(jié)果為：T3=1.77911

(4)質(zhì)點沿拋物線C4下滑的時間

在上面的程序后面添加兩條命令：

T4=Sqrt[2/g]/y1^2*Integrate[Sqrt[4*

x1^2*v^4+y1^4],{v,0,Sqrt[y1]}]；

Print["T4=",T4]

運行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運行結(jié)果為：T4=1.78157.

綜合以上數(shù)據(jù)得如表1所示.

表1 曲線及對應(yīng)時間

由表1可知，T1

4.2 基于“T”的實驗驗證

理論分析后，還得通過實驗進行驗證.為此，準備了2個實驗裝置：科技館的實驗裝置與自制實驗裝置.

科技館的實驗裝置采用的是東莞市科學(xué)技術(shù)博物館中的實驗裝置，其中有直線、最速降線、圓弧3條軌道和3個實驗小球，如圖5所示.實驗時同時釋放3個小球，通過錄像記錄慢速微調(diào)回放得到到達末端點所用時間，記錄在表2中.

圖5 科技館的實驗裝置

表2 小球沿軌道運動的時間

由表2可知，小球3條軌道用時最少的是“最速降線”，其次是圓弧，用時最長的是直線；盡管“最速降線”用時最短，但非常接近圓弧用時.

在如圖6所示的自制儀器實驗現(xiàn)象中，依然可以觀察到沿“最速降線”運動時間最短的情況(圖6為手機慢拍模式截屏的情景).

圖6 自制實驗儀器

基于技術(shù)的計算軟件和實驗儀器兩個方面的實際驗證，可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)點沿著“最速降線”運動所用時間最短，這不僅直觀，也更有說服力.

5 基于“E”的推廣與拓展

生活中還有許多現(xiàn)象與“最速降線”有關(guān)，盡管有些不是直觀的“最速降線”，但原理實際上是類似的.

5.1 “最速降線”應(yīng)用在我國古代建筑中的大屋頂

“最速降線”在建筑中也有著美妙的應(yīng)用.我國古建筑中的“大屋頂”，從側(cè)面看上去，“等腰三角形”的兩腰不是線段，而是兩段“最速降線”.按照這樣的原理設(shè)計，在夏日暴雨時，可以使落在屋頂上的雨水，以最快的速度流走，從而對房屋起到保護的作用，如圖7所示.還有一些逃生系統(tǒng)都有類似的設(shè)計.

圖7 我國古代建筑中的大屋頂

5.2 “最速降線”還可以應(yīng)用于影視廳或報告廳

在影視廳或報告廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱.顯然，場內(nèi)的觀眾都在朝臺上看，如果場內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線，這也可以根據(jù)需要采用“最速降線”的情景模式進行分析與演算，從而滿足各方面的需要而設(shè)計出最佳的座椅安排如圖8所示[3].

圖8 “最速降線”應(yīng)用于座椅安排演示圖

5.3 “最速降線”規(guī)尺上的應(yīng)用

楊秉烈先生發(fā)明了一種玩具叫做繁花曲線規(guī)，它由一套彩色塑料齒輪組成.一個大齒輪是環(huán)狀的，牙齒做在里面；幾個小齒輪的牙齒做在外面，小齒輪內(nèi)部有一些小圓孔和幾個其他形狀的、較大的孔.使用時左手按住大齒輪，在大齒輪里放一只小齒輪，把筆尖插進小齒輪的某一個孔里，讓小齒輪緊貼大齒輪內(nèi)壁滾動，這時筆尖就會在紙上畫出許多美麗的曲線花紋.若將大齒輪換成帶齒的直尺，畫出來的曲線就是“最速降線”，如圖9所示.

圖9 繁花曲線規(guī)

5.4 “最速降線”在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用

藥物進入體內(nèi)的方式有3種常見形式，即快速靜脈注射、口服或肌注，醫(yī)學(xué)上常用“房室系統(tǒng)”的觀點來研究藥物在體內(nèi)的吸收、分布和排除過程，若能結(jié)合“最速降線”研究3種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線，將有助于得到血藥濃度的變化，從而根據(jù)不同的疾病利用“藥物動力學(xué)”找出最佳治療方案[4].

6 結(jié)束語

由于“最速降線”問題對大部分中學(xué)生而言過于困難，本文在“STEM”理念的基礎(chǔ)上，從“S”與“M”的角度分析并簡化了“最速降線”分析，從“T”的角度進行了計算驗證與實驗驗證，最后從“E”的角度推廣與拓展該模型，從中我們可以領(lǐng)略到該理念分析解決問題的強大能力——不僅可以更加系統(tǒng)、簡便的研究、驗證“最速降線”，甚至可以更高效地在生活中應(yīng)用“最速降線”.