基于魔方游戲活動的建模研究

周文斌

摘 要：魔方游戲中蘊藏著有趣的數學知識，以魔方教學為載體建立正方體展開的直觀模型。利用魔方工具建模的過程中，學生還對模型進行了驗證，培養了學生的建模能力。

關鍵詞：魔方;游戲;直觀建模

中圖分類號：G633.6 ????????文獻標識碼：A

通常所說的魔方，其國際標準稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達佩斯應用藝術學院的建筑學教授魯比克·艾爾內于1974年發明。關于魯比克發明魔方的初衷，流傳甚廣的一個說法是為了發明一種教具，以幫助學生理解、認識立體空間的構造。

看到魔方我們自然會想到一種立體圖形——正方體，對于正方體，我們有很多值得研究的地方，其中在研究正方體的展開圖這個問題上，大多數的研究方法都是將手中的正方體沿棱剪開，思考正方體平面展開圖是怎樣的，這樣的研究缺乏趣味性，而且學生操作起來比較困難，不利于學生建立直觀模型，于是我嘗試從學生身邊熟悉的游戲工具——魔方出發，利用魔方這一游戲化的的數學活動幫助學生觀察和發現正方體展開圖的本質，建立正方體展開的直觀模型。

1從“給魔方做一個貼身的盒子，并畫出設計圖”開始

師：同學們，你們都有一個魔方，能給魔方做一個貼身的盒子，并畫出設計圖？老師給你們提供的魔方和方格紙里面的每個格的大小一樣，待會你們就借助魔方和方格紙進行操作。

生：會不會展開之后有多種可能性？

建模的開始需要老師創設具有趣味性的情景，可操作的空間要特別大，并能結合生活實例，“給魔方做一個盒子，并畫出設計圖”這樣一個問題情景，讓學生感到真實、有趣，富有挑戰性，這對后面探究正方體的展開圖做了很好的鋪墊。

2從魔方的立體到展開的平面

師：誰愿意上來匯報匯報？你怎么設計的？拿著你的魔方和設計圖給大家展示一下，你怎么想辦法設計這貼身的盒子。

生1：我先把魔方兩個面包住，卷起來看，如果魔方四個面都包住了，再點上點，就代表這塊已經可以了，再從周邊把這兩側包上，然后把所有的格子連在起來，就可以了。

生2：我設計出來的圖也是一樣的，我用的這個方法首先是，我想象它首先就給包裹好了，再從心里想象把它攤開，那么攤開的樣子是，除去上面所有圖形，那么上面的話，比如說這個是前面的，這個地方，上面的話我可以在前面再接一個，你看這樣接一個，這樣也能上去，這就是我的設計思路。

生3：我用的方法是滾動，先把魔方放在第一個位置上，這樣子它就有一個面，然后再找它的前面，再滾動一下畫好;再滾動，找到它的上面畫好;再找它的后面，畫好，然后現在還剩下它的左和右，我是把它放回這里的，然后找到左，左就滾到這，右就滾到這，然后我就畫出這個的圖。

從問題出發，借助魔方這個游戲工具，獨立思考，動手操作，由實物通過包裹、想象、滾動等方法想到了對應的幾何圖形，這是一個化抽象到具體的建模過程，建立了魔方和展開圖之間的轉化，實物到展開圖，是教材上沒有的。在這個過程中，教師是活動的組織者，引導者，學生得到了過程性的訓練，積極參與到數學的問題情境中，不僅可以提高學生的實踐能力和創新能力，而且對于提高學生的數學核心素養奠定了良好的基礎。

3從展開的平面回到魔方的立體

師：我們設計的圖能不能折回去，有沒有什么規律，那我們圍繞著這個問題，我們繼續研究，好不好！如果說僅憑你自己的想象來進行設計，你就用后面那兩張空白的方格紙，老師還是覺得有點困難，你還可以用魔方，用剛剛同學們想到的方法來進行設計，再設計兩個不一樣的圖，行嗎？

師：個人的學習單，每人手中有一份，把不能還原的號寫上，能還原的號寫上，有什么進一步的發現做簡單的記錄就可以了，一會我們好一起交流，好嗎？

生：我覺得我們可以用滾動的方法來檢驗它能否折回去。就我們現在檢驗四，現在大家看，這是下，我們先把下放在這里，這里是前，下，前，然后是上，后，往左的時候是右，右，之后再往上的時候，就變成了下，又一次接觸了它的紙盒，但是在這里的時候，我們也看到往下接觸了一次，所以這個是沒有辦法折回去的。

師：你們同意她的想法嗎？她的意思是它滾動之后出現什么問題了，所以它折不回去。

生：就是它發生了重疊的問題，有一個面是包裹不上，而有一個面是包裹了兩層的。

師：是這樣吧！也就是說這種對應關系怎么樣？沒對應上，一個面重復運用了兩次，你們同意這個折不回去嗎？你還想說什么？

生：我也是拿魔方滾動的方法，我認為他們是先把上，后，這些面都滾動上去了，可問題是還差兩個面，且這兩個面是對立面，所以不可能以一個相同的面折回去，除非進行重疊。

師：你們都聽懂了？他說的對立面是什么意思？

生：對應的兩個面，就是比如說折了四次，我們知道這四個面已經折過了，還有這兩個面沒有折，它們是對立的關系，哪怕你把它放在這，它下一個折的，也是它而不是它。所以你要想把它們折回去，你就只能再加一個格。

師：他說的對立面就是指正方體相對的面，也就是說相對的面怎么樣？在平面圖上肯定不能緊挨著，你緊挨著不行，就立體不了，要立體就要隔著一個面，是這個意思嗎？

師：同學們從錯誤的這個設計圖當中，還發現了一些規律，中間怎么了？

生：中間有四個。

師：有規律，中間如果要是四個，兩邊就必須各有一個，不能讓它們都在同一邊，是吧！

師：剛才我們一開始是將一個正方體展開，然后我們又把這個平面圖怎么樣？

生：折疊。

從實物到展開，再從展開到折疊，路徑一去一回，這里的路徑就是空間觀念，從幾何體與展開圖的轉化，一開始借助魔方在紙上找到，然后只憑想象，兩個層次的差異，很好地培養了學生的空間想象能力。在學生利用魔方工具建模的過程中，學生還對模型進行了驗證，從而得到正方體的展開圖中間有四個，兩邊必須各有一個。這樣一個過程，學生通過不斷的動手操作，細致觀察模型特點，充分表達對模型的理解，培養了學生的建模能力。

整節課，學生始終沒有離開“魔方”這一游戲工具，魔方數學活動在幫助學生建立直觀模型的過程中起到了非常重要的作用，并且加深了他們對數學的體驗，有利于觀察和發現數學現象的本質，從而形成良好的認知結構，提升學生的數學素養。

參考文獻

[1]孫峰.魔方中的數學[J].初中生世界（七年級視野版），2016（02）：75-76.