導數定義課堂教學的設計與實踐

楊德志

（遼東學院師范學院 遼寧丹東 118000）

思考：你會求平均速度嗎？

例：甲乙兩地之間的距離為200公里，一汽車從甲地到乙地行駛了4小時，請你計算該汽車的平均速度是多少？

學生：平均速度為：200÷4=50（公里/小時）

思考：平均速度能代表瞬時速度嗎？

學生：平均速度50公里/小時不能代表某一時刻的瞬時速度，該汽車不一定是勻速行駛的，可能時快時慢，也可能中途停車。

思考：你會求第二個小時內的平均速度嗎？

思考：高中時，我們學過通過已知兩點去求曲線的斜率。你能求出下圖這條割線的斜率嗎？

圖1 切線斜率圖

思考：你知道割線斜率與切線斜率的關系嗎？

為了讓學生感性認識割線轉動到切線的過程，筆者借助大學數學工具箱來演示這一變化過程。

思考：在這一變化過程中，k割與k切有什么關系嗎？

思考：通過上面兩個實例你發現了什么？

學生：一個物理上的瞬時速度問題，一個是幾何問題切線斜率問題。

思考：拋開物理和幾何的應用背景，這兩個問題有什么共性？

學生：增量之比的極限。

思考：從數學結構上，其都是研究變化率的極限問題。因此，我們可按照作差、作比值、求極限這三個步驟來概括這類問題！

你能用作差、作比值、求極限這三個步驟來刻畫一下這類問題嗎？

學生：這三個步驟可概括為：

（1）在x0處給自變量一個改變量：

導數定義在微積分課程中的重要性是不言而喻的，是它開始了微積分的篇章，是它開始使用極限為工具來研究變化率的問題。因此，它是微分學的基石，它是積分學的逆運算，它是高等數學的核心內容。