“多題一解”在教學中的應用

張 嶺

（廣東省深圳市新華中學 廣東深圳 518109）

所謂“多題一解”，就是指從一個角度思考，用同一種方式來解答不同的問題[1]，即探究問題的本質，歸納、總結它們的相同點，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成“多題一解”。

“多題一解”有助于培養學生的歸納總結能力，可以幫助他們找到不同問題的本質、核心，做到融會貫通[2]。這樣，在思考、討論、解答問題的過程中，學生學習的積極性被充分調動起來，既開闊了他們的思路，又培養了其數學思維能力，能有效地激發學生的學習興趣，讓學生感受到數學的樂趣。

在解答題目的過程中，學生利用“多題一解”的數學思想，對題目進行了充分比較，發現了題目的本質。這有利于加深學生對知識的理解，也培養了他們的歸納、總結能力。下面用一個例子來說明。

北師大版七年級下第二章“相交線與平行線”中有一類比較典型的題目，如下所示。

例1 如圖，已知直線l1∥l2，點P在直線l3上，且不與點A、B重合，記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。

（1）當P點在圖1位置時，試說明∠3=∠1+∠2。

（2）當P點移動到圖2位置時，請寫出∠1、∠2、∠3之間的關系，并說明理由。

（3）當P點移動到圖3位置時，請寫出∠1、∠2、∠3之間的關系，并說明理由。

圖2

圖3

分析：兩條平行線被一個拐角聯系在一起，可稱為拐角問題。此題三個小題的解題思路是一致的，都是過拐點作平行線，再利用平行線的性質和判定，結合∠1、∠2、∠3的位置關系，得出∠1、∠2、∠3之間的數量關系。下面是具體的解法。

（1）下面是圖1問題的證明。

證明：如圖4，過P點作直線PQ∥l1

∴∠EPQ=∠1(兩直線平行，內錯角相等)

∵l1∥l2（已知）

∴PQ∥l2（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠QPF=∠2（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠3=∠EPQ+∠QPF

∴∠3=∠1+∠2

總結：通過過P點作直線PQ∥l1，把兩條平行直線l1和l2聯系起來。

圖4

圖5

（2）下面來看圖2問題的證明。

解：∠2=∠1+∠3

理由是：

如圖5，過P點作直線PQ∥l2

∴∠FPQ=∠2(兩直線平行，內錯角相等)

∵l1∥l2（已知）

∴PQ∥l1（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠EPQ=∠1（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠FPQ=∠EPQ+∠3

∴∠FPQ=∠1+∠3

∴∠2=∠1+∠3

通過上面兩個小題的證明，我們可以發現：類似的題目，都可以通過拐點作與已知平行線相平行的輔助線的方法來解決。

對圖3問題的證明，可以用與圖1、2類似的方法，由學生自己完成，組內講解、訂正。

接下來，教師要提問：請考慮，作輔助線可不可以寫作“過點P作PQ∥l1∥l2”？

在多年的教學過程中，筆者發現，很多學生像上面這樣作輔助線，原因是不知道這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾。

這樣一題三問初步加深了學生對此類問題的理解。下面，我們把這個角拉到外面來，看這種方法是否仍然可行。

例2 如圖6，已知AB∥CD，探究∠A、∠APC和∠C之間的數量關系。

分析：這道題與例1形式不同，也有多種題法。能用上面的方法來解決這道題目嗎？此題也是兩條平行線被一個拐角聯系在一起，我們試著用上題的方法來解一解。

圖6

解：如圖7，過點P作PE∥AB

∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∵AB∥CD（已知）

∴PE∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）

∴∠C+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°

圖7

即∠A+∠APC+∠C=360°

可以看出，例2的解法與例1的解法是一致的。在日常教學中，教師應教會學生掌握基本的解題模式和方法，形成必要的解題技能，掌握一定的探索數學問題的工具，升華為“多題一解”。

我們再來看與三角尺有關的題目是不是也和上面的題目有關。

例3 如圖8，直線a∥b，直角三角形ABC的頂點B在直線a上，∠C=90°，∠β=55°。求∠α的度數。

分析：這道題只要過點C作CD∥b，就能轉化為前面的題型了。

圖8

通過上面的討論，我們可以看到，很多題目雖然形式不同，但可以用同一種方法解答，也就是“多題一解”。“多題一解”思想的作用是培養學生分析題目內在聯系的能力，讓學生學會看到一道題就想到一類題、想到相應解法[3]。這種方法可以幫助學生進行歸類、總結，深入分析此類題目的解法，不至于一道題目一種解法，搞得學生無從下手。

“多題一解”是培養學生創新思維能力的有效途徑之一。要想達到數學上的“多題一解”，學生必須在平日多下功夫，先盡可能地積累“多題一解”的技巧，最終對數學融會貫通，加深對問題本質的理解。