橋梁若干流致振動與卡門渦街

張偉偉, 豆子皓, 李新濤, 高傳強

(西北工業大學 航空學院, 西安 710072)

0 引 言

2020年5月初，虎門大橋的振動引起了學術界和網友們的廣泛關注和討論。很多土木工程領域的學者第一時間指出這應該是大跨度橋梁較常見的渦振，對橋梁的破壞并不劇烈。然而不少自媒體進一步引申出1940年塔科馬大橋的倒塌事件來說明渦振的劇烈程度和破壞性。再簡單搜索“共振”、“卡門渦街”和“塔科馬大橋”，都能在詞條中看到“卡門渦街或共振是塔科馬大橋倒塌的原因”等描述。甚至在初、高中的課堂上，塔科馬大橋風毀事件都作為共振與卡門渦街的典型案例進行講述。這成為了撰寫本文的初始驅動力，有必要從氣動彈性力學的角度解釋幾個不同的力學概念。

1 卡門渦街、渦致振動和顫振的物理解釋

1.1 卡門渦街

在一定條件下的定常來流繞過鈍體時，物體兩側會周期性地交替脫落出旋轉方向相反、并排列成有規則的雙列線渦，如圖1所示。由于馮·卡門(美國航天之父，錢學森的導師)最先研究該現象，故被命名為卡門渦街。

(a) 俯瞰云團流過島嶼

1.2 渦致振動

在一定流動條件下，由于旋渦交替脫落，產生的脈動載荷會使結構發生強迫振動，這種振動就被稱為渦致振動。渦致振動通常情況下振幅很小，頻率跟隨渦脫落頻率。當渦脫落頻率與結構固有頻率接近時，會導致較大振動，風工程研究領域稱之為渦激共振，簡稱渦振。圓柱的渦致振動計算模型如圖2所示。

圖2 圓柱的渦致振動模型Fig.2 Model of a vortex-induced vibrating cylinder

1.3 顫振

由于彈性結構從氣流中吸收能量，導致的結構振動發散現象被稱為顫振(flutter)。用專業語言來闡述，顫振是一種自激振動，是結構在氣流中因為流固耦合參數的負阻尼而產生的運動發散的現象。顫振在不同工程問題中有不同的表現形式，如常見的模態間耦合顫振、跨聲速嗡鳴、失速顫振、葉輪機葉片的行波顫振，等等。有些物理機制十分復雜，仍有待深入研究。在統一的理論架構下，由于流固耦合導致的結構模態的失穩現象，都可稱之為顫振。

2 塔科馬大橋風毀事件分析

80年以前的1940年11月7日，人們如往常一樣駕駛汽車行駛在美國華盛頓州新建成的塔科馬懸索橋上。雖然橋面有略微振動，但人們對此早已習慣，因為自1940年7月1日開通運營以來，即使微風輕拂，橋梁的振動也經常發生，塔科馬大橋因此還獲得了一個好聽的外號叫“跳舞的橋”。但那天的風更大了一些，達到了19 m/s。在這樣的大風中，橋梁扭轉振動的幅度越來越大，人們驚慌地逃離橋面。橋梁在經受70 min的劇烈振動后最終垮塌，振動中最大的扭角振幅約為±35°。所幸，因為持續振動時間較長，這次事故無一人死亡。并且好萊塢電影團隊由于正巧在橋梁附近拍攝，塔科馬大橋搶了主角的戲，他們將大橋振動到倒塌的全過程都記錄了下來(如圖3所示)，這給后來的研究者提供了巨大幫助。

(a) 扭轉振動 (b) 坍塌

塔科馬橋垮塌后，由美國國家公路交通安全管理局及華盛頓州收費橋梁當局聯合發起了大規模的氣動調查研究。其中由馮·卡門等在加州理工學院進行了相關風洞試驗，并提出了橋梁風毀的原因是卡門渦街導致的渦激共振[1]。

的確，繞鈍體產生的卡門渦街是一種流體力學的美。很多學者認為塔科馬大橋的倒塌是由于渦激共振所致，恰恰是由于馮·卡門主導了當年的事故分析，而且得出了讓人比較容易理解的觀點——渦激共振！這個觀點是按如下的推理形成的：“視頻中可見大橋在風的作用下以其扭轉固有頻率發生振動，并最終導致破壞，這是由于風流過大橋斷面形成卡門渦街，在旋渦交替脫落產生的外激載荷作用下，結構發生振動響應，并且恰好由于旋渦脫落頻率與結構固有頻率一致，導致共振發生。”其數學表達可以用公式(1)表示，等式左端為結構運動的位移、速度和加速度項，等式右端為外激力。

(1)

共振的解釋直觀明了，高中生都能理解，貌似天衣無縫。但是這個觀點存在著一個致命的局限，即默認了這種振動是常規的外激強迫振動，并且想當然認為風流過固定結構時的旋渦脫落頻率接近于結構固有頻率。

實際上大橋倒塌后，就一直有兩種觀點存在，其中航空工程師認為它是和機翼顫振類似的現象。然而，經典的機翼顫振問題，流動通常是附體的，不涉及旋渦脫落問題。再加上馮·卡門的顯著個人影響力，渦激共振占據了主導地位，他的觀點也在20世紀50年代到90年代進入美國高中物理課本，作為共振的典型案例進行教學，如圖4所示[2]。不少有影響力的工程專用教科書中都記載著：“可以確信，卡門渦街是大橋損毀的原因”等類似的表述[3]。

圖4 教科書中將卡門渦街作為塔科馬大橋扭轉振動的解釋

然而，后來的土木工程研究人員希望在風洞中復現塔科馬大橋的渦激共振時才發現，大橋剛硬斷面的繞流渦脫落頻率約為1 Hz，并不等于其固有扭轉頻率0.2 Hz，相差很大！并且，若設計出渦脫落頻率與結構固有頻率相同的模型進行數值模擬，渦致振動的幅值只有0.5°，遠遠不會使橋梁發生破壞！Scanlan教授與其指導的本科生Billah詳細地總結了前人的實驗[4-5]，分析得出塔科馬大橋的倒塌是因為顫振，是一種氣動負阻尼效應所致，很好的詮釋了該工程事故。在20世紀90年代后的物理教科書因此重新進行了修正，澄清了大橋的倒塌原因，成為土木工程研究領域的一個經典案例[4-5]。

單自由度顫振運動的數學表述如公式(2)所示：

(2)

等式左端不變，但等式右端的附加氣動力變成了結構位移及速度的函數。當然，這種表達是一種簡化模型。但我們也能看出，當結構不運動時，右端的氣動力也將等于零。當結構受到微小擾動后，其自身的運動會產生附加氣動力，這又進一步致使結構運動，如此循環。以顫振發生的臨界風速(動壓)為界，結構振動將收斂或發散。所以顫振的本質是自激振動，數學上的表達通常是帶有穩定性參數(通常選用速度或動壓)的齊次方程。

自20世紀90年代至今，Tacoma大橋風毀的原因已經逐漸被學術界與工程界認識清晰。簡單來說，這是遭遇某一臨界風速，大橋結構模態的總阻尼由正變負，導致的結構失穩，是一種典型的顫振現象。卡門渦街在這個過程中的確發揮了作用，但不是共振，而是作為大橋扭轉模態失穩的一個推手。

在Dowell教授(美國工程院院士，現代氣動彈性力學奠基人)2005的著作AModernCourseinAeroelasticity中第330頁寫道：“Scanlan教授指出，一些物理教科書將塔科馬大橋的倒塌歸結為渦激共振，這一觀點是錯誤的，實質上是塔科馬大橋是由于顫振倒塌，這是兩個截然不同的現象。”[6]

3 虎門大橋的渦激共振與鎖頻

我們再回到虎門大橋的振動現象，其表現為橋面的上下波動，對應截面的沉浮運動。雖然振幅不小，但尚不造成結構破壞。有土木工程研究者認為，這是卡門渦街的渦脫落頻率與橋梁彎曲模態固有頻率接近導致的渦激共振(渦振)。經典的教科書[7]中也指出渦激共振是一種帶有自激性的強迫振動，是低速下常見的有限振幅振動，并且在一個相當大的風速范圍內，可保持振動頻率不變，產生一種“頻率鎖定”現象(lock-in，簡稱鎖頻)。顯然，這一定義含糊了渦振的是自激還是強迫振動的屬性，但指出了渦振的一個重要特性，即鎖頻。

什么叫做鎖頻現象呢？簡單來說，隨著風速的提高，渦脫落頻率也會提高。在不發生鎖頻時，結構的振動頻率跟隨渦脫落頻率。但是發生鎖頻后，結構振動頻率不再跟隨原有的渦脫落頻率，而是鎖定于其固有頻率，并且鎖頻時的運動振幅遠大于非鎖定狀態的振幅。因此，搞清楚鎖頻的機制是認識渦振問題的核心！不少學者用非線性共振對頻率鎖定進行解釋，然而共振觀解釋頻率鎖定存在以下困惑：

1) 很多問題中的頻率鎖定范圍會遠遠偏離共振的頻率比范疇，甚至達到1∶2[8]；

2) 很多時候的最大振幅并不是在共振點處取得；

3) 非線性共振的機制是什么？什么機制促使結構響應頻率不跟隨外激勵力頻率？

下面我們以圓柱為例，展示渦振中的鎖頻現象。圖5給出了圓柱渦致振動結構振幅和振動頻率隨無量綱風速(或折減風速U*)的變化曲線。圖中,Ymax=hmax/D,hmax為振動最大位移;U*=U∞/(fsD)，U∞為來流風速，fs為結構沉浮運動固有頻率。從圖5(b)可以看出在非鎖頻區域，振動頻率等于渦脫落頻率，而在鎖頻區域(陰影區)，振動頻率與結構固有頻率保持一致。從圖5(a)可以看出，在鎖頻區域內結構振幅較大，而在非鎖頻區域，振幅很小，幾乎可以忽略。

圖5(a)還給出了解耦方法(黑線)計算得到的振幅。所謂結構解耦方法，即事先獲取固定結構繞流的氣流脈動載荷，然后計算載荷作用下的彈性結構響應。解耦方法給出了一個清晰的共振峰，且解耦方法計算出的振幅和發生鎖頻的風速范圍均顯著小于耦合方法。這一結果說明采用解耦的強迫振動的思路來分析渦致振動問題已不再適用，流體和結構的耦合效應起到主導作用。從上述結果可以看出，渦致振動響應振幅在共振風速(U*=7.5)兩側并不是對稱分布，最大振幅也不是在共振風速處取得，而是在起始風速(U*=6.0)左右處取得。

(a) 振動幅值隨折減風速的變化

這一結果不得不讓我們去進一步思考定義含糊的渦激共振，到底是自激振動還是強迫振動問題？近期我們的研究表明，渦振以及航空工程中的跨聲速抖振鎖頻都是分離流中的自激振動，可以理解為單自由度顫振，其結構的大幅振動本質上是流動的反饋作用形成的負阻尼效應[8-10]。圖6給出了我們通過線性穩定性分析得到的圓柱渦振的根軌跡[8]，根軌跡的實部代表模態阻尼，虛部表示模態振動頻率。圖中可見，系統存在兩個相互獨立的模態分支，即結構模態(SM)和流動模態(WM)。流動模態始終是不穩定的，而結構模態在與流動模態的耦合過程中也在一定的區間發生了失穩。

圖6 線性穩定性分析得到的耦合系統根軌跡Fig.6 Root loci of the coupled system of linear stability analysis

為了進一步研究兩個失穩模態的實際競爭過程，我們通過CFD/CSD耦合模擬給出了U*=6.33時的位移和升力系數時域響應，以及不同時間階段的功率譜分析結果，如圖7所示，圖中t為無量綱時間，Y=h/D為無量綱位移。從圖7中可以清晰地看出兩個模態間相互競爭的發展過程：在響應初始的線性階段，兩個失穩模態同時存在，升力系數與位移曲線都出現了由于頻率接近而產生的“拍”現象。圖7中也能看出，位移曲線更多體現結構模態，升力系數曲線更多體現流動脫渦模態，這一點與兩者第一階段的功率譜分析結果也對應。隨著振動幅值的增大，結構模態逐漸占主導，并在競爭中脅迫流動模態頻率與其保持一致，最終旋渦脫落頻率和結構振動頻率均鎖定于結構的固有頻率。

圖7 U*=6.33狀態，位移與升力系數的時域響應及功率譜分析結果Fig.7 Time responses and power spectral density results for different time regimes of displacement and lift coefficient for U*=6.33

以上結果進一步證明，這種由分離流動誘發的結構模態失穩是導致鎖頻以及結構大幅振動的根本原因。該視角很好地解釋了鎖頻現象，以及結構最大振幅不在共振點處取得等諸如此類的用共振很難解釋的一些現象。

上述研究對象不是塔科馬大橋斷面，而是用彈性支撐的圓柱，這是因為圓柱繞流是最經典的卡門渦街算例，是鈍體繞流激振中的經典力學模型。這一觀點近年得到流固耦合力學研究領域很多學者的認同，并且近期已有土木工程研究領域的學者通過試驗和理論證實，矩形斷面的馳振和渦振在低風速、低阻尼條件下都會出現，且兩者都是非線性自激振動，可以用統一的非線性模型描述[11]，有力地支撐了我們的觀點。

為了進一步說明渦振問題很大程度上不是一個共振響應，我們通過降低雷諾數，消除卡門渦街和外激載荷。例如Re=40時，固定圓柱的繞流未失穩，并不會出現卡門渦街，沒有脈動載荷，如圖8。然而，當釋放結構沉浮剛度后，由于流固耦合效應，會發生單自由度振蕩失穩，振動幅值逐漸增大，如圖9(b)，最終達到極限環狀態，如圖9(a)。通過穩定性分析發現，雖然此時流動模態是穩定的，但是結構模態在與流動模態的耦合作用下，結構模態在一定區間發生失穩，導致出現單自由度顫振現象，如圖10所示。并且其隨風速變化的鎖頻特性與Re=60狀態的渦振鎖頻特性極其相似，如圖10所示。圖11(a)和11(b)分別給出圖10結構模態根軌跡的實部(模態阻尼)和虛部(模態振動頻率)隨折減風速的變化。圖11(c)和11(d)分別給出Re=33狀態下，釋放沉浮自由度圓柱數值仿真的振動幅值和振動頻率隨折減風速的變化。由圖11(a)和11(c)可知，線性動力學模型預測的失穩區域與時域仿真得到的渦致振動響應區域幾乎完全吻合，準確預測了耦合系統的失穩邊界。

(a) 流線

(a) 振動響應中的某一時刻渦量云圖

圖10 亞臨界雷諾數(Re=33)下耦合系統的根軌跡Fig.10 Root loci of the coupled system for subcritical Reynolds number(Re=33)

(a) 結構模態的增長率隨折減風速的變化

這種亞臨界情況下的圓柱繞流單自由度顫振最低雷諾數出現在18[12]。為什么流固耦合系統發生失穩的最低雷諾數始終不低于18，同時，流動模態有沒有更直觀的展示？

為此，我們對脈沖激勵的亞臨界圓柱繞流衰減歷程進行采樣，利用動力學模態分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)方法，獲得非定常流動系統的主要動力學模態，如圖12所示。該模態與流動特征值、特征頻率和增長率一致，且與超臨界流動中的反對稱結構卡門渦脫落模態相似。而流固耦合系統的失穩現象正是由于此模態與結構模態的耦合作用，從而引起結構分支失穩的。模態分析表明亞臨界流動中，穩定的卡門渦脫落模態隨雷諾數減小而不斷減弱。在雷諾數低于18時，由于這種非對稱的卡門渦街流動模式基本消失，非定常流動難以與彈性結構耦合，進而使渦激失穩現象難以發生。這一結果直接說明卡門渦街是結構失穩的推手，而不是激發結構共振的根源。

(a) Re=12

以上進一步證明了渦振本質上也是一種單自由度顫振，是流動模態和結構模態耦合觸發結構失穩的現象。這一現象不得不讓我們去思考，鈍體的大幅振動到底和卡門渦街之間是什么一個關系？

實際上我們并不否定流動動態分離觸發結構大幅振動，但我們認為用交替旋渦推動結構共振來解釋，就本末倒置了。打個比方，卡門渦街好比一個健身操教練。以前的解釋是，你直接模仿這個教練的一舉一動，運動起來了?，F在的解釋是，這個教練激發了你內在的動力，你運動起來了，還帶動他和你一起運動。

4 形形色色的流致振動問題討論

既然上文指出顫振和渦振都是結構在流體中的失穩問題，接下來我們再討論各種流致振動問題的差異和共性。

經典顫振通常是流體作用下，兩個及以上結構模態之間的耦合，導致一個模態失穩的自激振動，這也是附體流動中常見的失穩模式，航空工程中機翼彎扭耦合就是這個模式。在弱穩定流動下，如跨聲速大迎角狀態或鈍體繞流中，流動模態會成為一個耦合的主角，與結構模態耦合觸發結構的單自由度顫振?？缏曀傥锁Q、大迎角失速顫振以及亞臨界雷諾數的圓柱振動都是可以歸結為單自由度非經典顫振。土木工程研究領域中的橋梁斷面顫振通常以扭轉模態為主，由于扭轉模態的附加氣動力大，且結構非線性弱，故顫振更容易造成結構破壞。另外，由于顫振的危害性，人們非常關注顫振出現的最低邊界，必須保證結構運行工況在顫振速度之下。

渦振是指流動繞過鈍體，流動自身已經失穩，流動模態和結構模態的耦合進一步觸發結構模態失穩，實質上存在兩個模態的競爭問題。在渦振中，通常是結構模態占據主導，出現鎖頻。對于橋梁渦振問題，對應斷面的沉浮運動，三維視角表現為波動。沉浮運動不僅附加的氣動力較弱，而且由于結構剛度的立方非線性效應，很容易維持限幅振動，不容易發生發散破壞。由于渦振不具備顫振那樣的破壞性，而且發生速度較低，會存在進入和退出兩個風速邊界，結構共振頻率對應的風速通常在兩個邊界之間。

風工程研究領域中的馳振可分為兩類，尾流馳振和經典馳振[7]。當兩個圓柱沿風向串列時，上游圓柱的尾流區中存在一個不穩定的馳振區，若下游圓柱正好處于這一不穩定區中，其振幅就會不斷加大，直至達到一個大振福的穩態極限環。來流方向的下游圓柱比上游圓柱發生更劇烈的流致振動，這稱為尾流馳振[7]。而馳振主要發生在結構固有頻率遠離旋渦脫落頻率的時候，是一種無界振動。當風速大于起始風速的時候，結構的振幅隨風速增大一直增大，不存在退出邊界。由于大多數馳振問題的減縮頻率較低，工程中通常用準定常方法來進行解釋和建立分析模型。

事實上，馳振和顫振都是由氣動負阻尼導致的流固耦合失穩現象，從動力學的角度來看二者沒有本質區別。然而，學術界始終將馳振和顫振分開來研究和討論[13]。土木工程領域的學者習慣用馳振，而航空航天工程領域里的學者則一直用顫振來描述這種不穩定現象。不同領域的學者采用不同的術語常導致初學者和工程師的困惑，不利于跨領域問題的研究和工程問題的解決。我們最新的研究發現馳振本質上是一種單自由度顫振，疊加一個由自然渦脫導致的強迫振動。結構模態失穩導致結構出現大幅低頻振動，而流動模態失穩則導致鈍體尾部出現高頻渦脫，兩個失穩模態頻率(流體和結構)差得較遠，是共存的[14]。此外，我們也首次發現了馳振中的模態競爭機制，成功解釋了某些狀態下的馳振消失現象。若對馳振感興趣，可以參閱作者近期的論文[14]。

實際上，對于形形色色的流致振動問題，如風工程研究領域中的顫振、渦振、馳振，以及航空工程研究領域中的顫振、抖振鎖頻、跨聲速嗡鳴、失速顫振、發動機葉片的顫振，我們的研究體會是：雖然發生的狀態和模式有很大差異，但根本的誘發機制有很大的共性，特別是各種單自由度失穩問題，其中的亞穩定或不穩的流動模態起到了核心的作用。關于跨聲速的問題，若感興趣可以參閱作者近期的綜述論文[15]。

分離流動中各種流致振動問題，簡單地用解耦的思路和共振的觀點來解釋結構大幅振動是過分強化了共振概念。實際上，很多危害性的流致振動問題恰恰是自激振動。對于附體流動中的經典顫振問題，理解自激振動是理所當然的，因為結構靜止時外激載荷就消失了。但是像分離流中流致振動，如渦振、跨聲速/大迎角抖振鎖頻、馳振等諸多問題，即使結構靜止，由于流動動態分離，脈動載荷是一直存在的，這就很容易讓人去用解耦的強迫共振思路去理解結構振動。實際上，當流動處于失穩或亞穩定狀態，當結構模態和流動模態頻率接近時(并不需要像共振那樣重合)，很容易觸發結構模態失穩，并進一步主導整個流固耦合動力學響應，伴隨響應頻率鎖定于其固有頻率的現象。至于在什么流動和結構狀態下發生，以及如何減緩或抑制相關振動，則是流固耦合力學領域學者們需要長期攻關的問題。

5 結 論

塔科馬大橋風毀的機理已基本認識清楚，是扭轉模態為主的顫振導致的結構失穩，而不是卡門渦街激勵的共振。

虎門大橋出現的波浪型彎曲振動，按風工程研究領域的定義屬于渦致振動，很多學者用渦激共振解釋。我們最新的研究認為渦激共振并伴隨鎖頻的本質上仍是由于結構單自由度失穩所致，卡門渦街是誘發了結構失穩，而不是直接推動結構發生共振。

對于橋梁振動的抑制問題，由于橋梁結構復雜，存在模態數量多，頻率密集，從結構的單自由度失穩的角度看，多階彎曲振動很難同時避開中低風速下的易鎖頻區間。故在橋梁設計時，應通過橋梁氣動外形修型，適當增加結構阻尼等方法避免和減緩在設計工況下的橋梁的風致振動。對已有橋梁，可以通過安裝動力吸振器、流動控制裝置等方法消除或減小振動。

由于流固耦合力學面對航空航天、土木工程、風工程、能源等多個行業，各行業面臨的對象、問題的定義以及分析的模型都存在一些差異，導致不同行業的學者之間交流容易引起分歧。因此，未來有必要加強跨行業的交流和合作，更好地解決重大工程面臨的相關問題。

致謝:感謝北京航空航天大學張華教授的勉勵。感謝《空氣動力學學報》唐志共主編約稿。