輸運概率密度函數中的小尺度標量混合建模

任祝寅, 解 青, 楊天威, 周 華

(1. 清華大學 航空發動機研究院, 北京 100084; 2. 清華大學 航天航空學院, 北京 100084)

0 引 言

湍流燃燒，特別是貧燃預混燃燒是當前能源和動力裝置實現高效清潔燃燒的一個重要途徑。如通用電氣新一代燃氣輪機和航空發動機，普遍采用局部預混或完全預混燃燒，通過控制火焰溫度實現低NOx排放。燃燒室內流動、混合、燃燒等復雜過程可能引起局部熄火/再燃、燃燒不穩定和貧燃吹熄等現象。迄今為止，國內外已開展大量針對燃料/空氣混合過程、混合物當量比、壓力以及旋流等因素對火焰結構、穩定運行邊界及污染物生成的影響機制的研究[1-8]。高精度數值模擬能揭示湍流預混燃燒中內在的復雜物理化學過程，對優化燃燒組織和減少污染物排放起到關鍵作用。當前，基于概率密度函數(PDF)方法的數值模擬是研究實際燃燒過程的最先進的手段之一。相比于小火焰面類模型[9]，PDF方法[10-11]能不帶任何假設地精確求解有限反應速率。這一特性對準確預測湍流火焰中的局部熄火/再燃現象和污染物生成非常重要。因此PDF方法在研究強湍流-化學反應相互作用方面有著獨到的優勢。

自美國康奈爾大學Pope教授課題組20世紀80年代初一系列創造性的工作以來，雷諾平均/概率密度函數(RANS/PDF)方法在過去的三十年中，已經從局限于典型簡單算例問題和實驗室尺度燃燒火焰的研究工具，發展成為一種可以應用到實際燃燒裝置上的湍流燃燒模擬方法。PDF方法已成功地用于研究非預混湍流燃燒中局部熄火/再燃和污染物生成等復雜物理過程，同時已被用于模擬燃氣輪機燃燒室和往復式活塞內燃機等發動機中的復雜燃燒過程[10-11]。近年來，隨著計算機和數值方法的發展，將PDF方法用作大渦模擬(LES)亞網格模型的大渦模擬/概率密度函數(LES/PDF)相結合的方法有了顯著的發展[12-14]。PDF方法為亞格子過濾尺度下的組分提供了完整的描述。LES/PDF相結合的方法能同時準確地描述湍流及湍流-化學反應相互作用。Sheikhi 等人[12]用LES/PDF結合簡單的化學反應機理來模擬Sandia火焰D。Lu等人[13]通過將動態自適應建表(ISAT)方法結合到LES/PDF中，實現了對湍流混合層的包含詳細化學反應機理的LES/PDF模擬。近期Yang和Pope[14]用含有詳細化學反應動力學的LES/PDF研究了隨時間發展的非預混CO/H2湍流平面射流火焰，揭示了強烈的湍流-化學反應相互作用會導致局部熄火及再燃等物理現象。Han等人[15]用LES/PDF方法研究了燃燒模型對代夫特-阿德萊德天然氣射流火焰中碳煙生成的影響，發現相較火焰面類燃燒模型，PDF方法所得結果與實驗值更為接近。Ansari等人[16]用LES/PDF方法模擬了旋流燃燒室PRECCINSTA，計算結果與實驗相符，這是首次嘗試將LES/PDF方法應用于實際氣體透平燃燒室。Han等人[17]用LES/PDF研究了熱伴流條件下的氫氣抬舉火焰，發現解析尺度上的分子擴散是影響火焰穩定區域的重要因素。Zhou等人[18]在LES/PDF中同時考慮解析尺度上和亞網格內的差異擴散效應，并以此研究了熱伴流條件下甲烷-氫氣射流火焰中差異擴散的影響。Kim和Pope[19]通過結合降維與化學建表技術來加速對湍流貧燃預混丙烷-空氣火焰的LES/PDF模擬。

然而，到目前為止基于PDF方法的數值模擬在湍流預混火焰中的研究還十分有限[20-24]。Lindstedt和Vaos[21]發現現有混合模型在預測湍流火焰燃燒速度方面有著明顯的缺陷。最近，Rowinski和Pope采用速度-湍流頻率-組分聯合概率密度函數方法研究了甲烷預混值班火焰[23]，發現運用現有混合模型，反應進度被不同程度地高估了。研究得出了和文獻[22, 24]一致的結論：湍流預混燃燒中反應標量的小尺度混合過程同時受到湍流和化學反應的影響，現有標量混合模型將湍流混合與標量混合的時間尺度比設為常數而與燃燒狀態無關是不合理的。Ren等人[25]從貧燃預混氫氣-空氣狹縫射流非穩態火焰的包含詳細機理的千萬億次三維直接數值模擬數據[26]出發，研究了湍流對火焰結構、反應標量耗散率的影響機理，發展出一個適用于各個預混燃燒狀態的標量小尺度混合模型，該模型考慮了預混燃燒中標量小尺度混合、湍流混合和化學反應這三個強耦合物理過程的內在聯系，提升了PDF方法對預混燃燒預測精度。

本綜述介紹當前湍流預混燃燒中混合模型研究的一些最新進展。第一章從混合形式和混合時間尺度兩個方面簡介了標量小尺度混合模型，并介紹了標量小尺度混合模型在預混燃燒中的表現。第二章介紹了從湍流燃燒直接數值模擬數據出發對湍流預混火焰中反應標量耗散率規律的研究，并重點介紹了新發展的反應標量線性混合時間尺度模型。 第三章首先介紹了近極限條件下湍流預混燃燒LES/PDF模擬的最新進展，重點介紹了一個針對大渦/輸運概率密度函數模擬的反應標量混合時間尺度模型及其在近極限湍流預混燃燒LES/PDF模擬中的應用，以及網格解析度對標量混合和燃燒特性預測影響的最新研究進展。

1 標量小尺度混合模型

在PDF方法中，非線性化學源項是精確求解的，但小尺度上分子擴散引起的流體顆粒組分變化則需要通過標量小尺度混合模型來模擬。

在RANS(或LES)框架下，單點單時刻的組分聯合概率密度函數f的輸運方程為:

(1)

(2)

式(2)右側第一項為質量流率的平均值導致的發生在物理空間的輸運，在LES框架下需要被考慮而在RANS框架下一般被忽略。式(2)右側第二項為由質量流率的脈動導致的發生在組分空間的混合，在RANS和LES框架下均需使用混合模型對該項進行建模。

蒙特卡洛計算顆粒/流場雙向耦合方法是PDF方法的一種常用實現方式，每個計算網格內均包含多個計算顆粒，用以體現該空間位置處的組分聯合概率密度信息。計算顆粒n攜帶有位置信息x(n)、權重信息w(n)及組分標量信息φ(n)，n=1,2,…,Np，Np為一個計算網格內的計算顆粒數目。

在RANS框架下，前述歐拉觀點下組分標量聯合概率密度函數f輸運方程(1)與拉格朗日觀點下的計算顆粒隨機微分方程組等價,

(3)

(4)

如前所述，分子擴散項所導致的組分空間的混合由混合模型刻畫，混合模型分為混合形式[M]與混合時間尺度τφ兩部分。其中，混合形式描述混合方式，混合時間尺度模型描述混合速率。先前的研究表明,對于湍流預混燃燒問題，混合形式與混合時間尺度模型均對PDF模擬具有顯著影響。

1.1 混合形式

在對混合形式[M]的研究方面，顆粒成對相互作用混合模型的一般表達式如下：

(5)

1.2 混合時間尺度模型

1.3 標量小尺度混合模型在預混燃燒中的表現

近些年，關于湍流預混火焰PDF數值模擬中混合模型表現的研究有一些最新進展[20, 23, 44-45]。舉例來說Hulek和Lindstedt[20]用二項朗之萬模型來封閉標量混合，對當量比為1的湍流甲烷-空氣預混火焰傳播進行了單點單時刻聯合速度-組分PDF模擬。Hulek和Lindstedt采用類似于Anand和Pope[46]的模擬方法，進行了湍流預混火焰的穩態計算，火焰可以自由移動，計算域跟隨火焰進行動態調整。利用多組不同的上游湍流條件(由湍流脈動速度u′和積分長度尺度LI定義)的模擬結果，Hulek和Lindstedt研究了湍流火焰傳播速度的標度率。如圖1所示，模擬得到的湍流火焰傳播速度與實驗數據[47]相符。

Sundaram和Klimenko[45]討論了MMC模型在湍流預混燃燒模擬中的應用。在預混燃燒的PDF模擬中采用MMC的主要目的是通過避免已燃和未燃氣體的直接混合來使PDF模擬與層流火焰結構之間的一致性更佳，但是具體實現起來并不容易。Sundaram和Klimenko重點關注湍流預混燃燒中參考變量的一般性選取原則，考慮了基于level set或影子位置來構建參考變量。

圖1 兩個積分長度尺度下的模擬結果與Abdel-Gayed等人的實驗數據在湍流火焰傳播速度隨湍流強度變化關系上的對比(圖來自文獻[20])

從物理觀點出發，因為距瞬時火焰位置的距離比物理空間位置更具有物理意義，使用level set作為參考變量很有優勢。然而，由于缺乏對慣性子區湍流預混火焰標度率的充分認識，基于level set的參考變量不適用于實際模擬中。Sundaram和Klimenko對高澤爾多維奇數下預混火焰的隨機模擬表明，在實際模擬中影子位置可以用于方便地確定火焰位置，是參考變量的最佳選擇。如圖2所示，在基于影子位置的參考變量空間中火焰的局部特性更佳，而在物理空間中反應區顆粒則十分分散。這表明在湍流預混火焰中選取影子位置作為MMC的參考變量是十分合理的。

PPJB火焰[48-49]是近期提出的一種湍流預混火焰，用于研究貧燃、高湍流度條件下的湍流-化學反應相互作用。Rowinski和Pope[23]采用速度-湍流頻率-組分聯合概率密度函數方法研究甲烷預混值班PPJB火焰發現，運用現有混合模型，反應進度被不同程度地高估了。Zhou等人[50]對PPJB進行了RANS-PDF模擬，進一步研究了已有小尺度混合模型在PPJB火焰中的表現。 通過分析IEM與EMST這兩種小尺度混合模型對應的反應/混合速率在反應進度標量空間中的分布，揭示了在火焰面燃燒模式與破碎反應區燃燒模式下，兩種混合模型預測的標量混合規律存在差異。如圖3所示，通過比較在反應區混合速率和反應速率的相對大小，可以發現對于中心射流速度為50 m/s的PPJB火焰(PM1-50，接近褶皺火焰面燃燒模式)，盡管IEM模型能夠正確地預測組分平均值的空間分布，但卻錯誤地預測燃燒過程為自著火，EMST模型則能夠正確的預測燃燒過程為火焰傳播。對于中心射流速度為200 m/s的PPJB火焰(PM1-200，接近破碎反應區燃燒模式)，IEM與EMST兩種模型預測出的燃燒過程均為火焰傳播。研究表明在火焰面燃燒模式下，保持組分空間臨近非常重要，EMST模型優于IEM模型；在破碎反應區燃燒模式下，組分空間保持臨近的重要性有所減弱，兩種模型的性能相近。

(a) 基于影子位置的參考變量空間中的顆粒分布

最近Kuron等人[44]利用貧燃預混氫氣-空氣火焰直接數值模擬(DNS)數據[26]評估了三種廣泛使用的混合模型IEM、MC、EMST對PDF方法模擬湍流火焰傳播過程的適用性。所采用的DNS是Sandia實驗室用詳細機理對貧燃預混氫氣-空氣狹縫射流非穩態火焰進行的千萬億次三維直接數值模擬[26]，其中湍流雷諾數Ret高達1000，并固定Ret而改變鄧克爾數Da，該DNS采用隨時間演化的剪切層的配置在火焰結構中產生強烈湍流混合。DNS模擬為TPDF模擬提供了初始條件和隨時間變化的輸入參數，包括平均速度、湍流擴散系數以及標量混合時間尺度。研究發現三者之中EMST模型提供了對火焰結構和火焰傳播速度的最佳預測。如圖4所示，IEM模型對條件平均和均方根擴散速率的預測值在定量上不準確；MC模型能夠捕捉到條件平均擴散速率，但是過度預測均方根擴散速率；只有EMST模型能夠同時準確地預測條件平均和均方根擴散速率，這是因為EMST模型可以強制混合發生在組分空間的相鄰位置上。研究還開展了針對湍流-標量混合時間尺度比的參數研究。如圖5所示，結果表明盡管兩個案例有相同的配置，然而兩個案例中時間尺度比例常數的最優值相差兩倍。因此，假定湍流-標量混合時間尺度比為常數這一方法對于湍流預混火焰并不可行，混合模型時間尺度模型的構建值得更多關注。

圖3 PM1-50與PM1-200火焰，分別采用IEM與EMST模型得到的混合速率、反應速率在反應進度標量空間的條件平均值(圖來自文獻[50])

圖4 三個代表性時刻，分別采用IEM、MC、EMST模型預測出的溫度沿射流高度方向的分布，(a)與(b): Case Da- ，(c)與(d): Da+ (圖來自文獻[44])

圖5 在t=17tj時刻，采用常數Cφ模型，溫度沿射流高度方向的分布，(a)與(b): Case Da- ，(c)與(d): Da+ (圖來自文獻[44])

2 湍流預混火焰中反應標量耗散率規律和標量混合時間尺度建模

2.1 湍流預混火焰中反應標量耗散率規律

在湍流預混火焰中，在較高鄧克爾數(Da)情況下，小尺度分子輸運和化學反應是強烈耦合的。在反應區，化學反應導致反應標量梯度變大，從而促進小尺度上的反應標量混合。因此，反應標量的小尺度混合過程同時受湍流和化學反應的影響，假設標量小尺度混合僅由湍流控制是不合理的。到目前為止，對湍流預混火焰，Lindstedt 和 Vaos[21]及 Stollinger 和Heinz[24]試圖通過改進標量耗散率模型來考慮化學反應對湍流預混火焰中標量小尺度混合的影響。為了深入研究反應標量小尺度混合規律，反應標量(條件)耗散率是重要的研究對象。它是構建小尺度混合模型的重要基礎量。然而實驗測量湍流預混火焰中的反應標量耗散率十分困難。與之相比，DNS[26, 51]能夠提供完整的流場、標量場和化學反應的信息，為研究小尺度混合過程提供了寶貴資源。從DNS數據出發，揭示小尺度湍流對火焰結構、反應標量耗散率的影響機理，發展適用于各個預混燃燒狀態的標量小尺度混合模型，對于提升PDF方法對預混燃燒的預測精度有重要意義。

在研究湍流預混火焰中反應標量耗散率的規律方面，Ren等人[25]運用氫氣貧預混湍流火焰的DNS數據[26]研究了處于薄反應區燃燒模式下的火焰結構對于標量耗散率的影響規律。該DNS[26]采用平面剪切層的配置產生湍流，通過調節流動的特征速度與特征長度，改變鄧克爾數。在Da-的配置下，全場的鄧克爾數保持始終小于1；在Da+的配置下，全場的鄧克爾數保持始終大于1。Ren等人進一步將“化學爆炸模式分析(CEMA)”方法[52-53]應用于DNS數據，用以分辨不同的燃燒模式，從而分析不同燃燒模式下標量耗散率的特性。CEMA基于對化學反應源項雅克比矩陣Jω=?ω/?y的特征值分析，定義Jω的實部最大特征值對應化學爆炸模式(CEM)，記此特征值為λe。在化學反應的層面，Re(λe)>0的混合物是易爆炸的，Re(λe)<0的混合物則點火過程已完成，因此應用CEM可以區分復雜反應流場中的已燃和未燃區域。為更加定量地刻畫反應與混合的競爭關系，定義局部名義鄧克爾數

Dae=λe/χ

(6)

其中χ為進度變量的標量耗散率。根據λe和Dae可將該DNS流場分為4個區域，如圖6所示。

CEMA方法的結果表明該火焰中存在兩種燃燒模式：火焰傳播模式、火焰協助著火模式。如圖7所示，處于火焰傳播模式下的標量耗散率在全局條件平均值附近的一個量級內變化；處于火焰協助著火模式下的標量耗散率比全局條件平均值小一個量級。對于火焰協助著火模式的進一步研究發現：火焰的瞬態過程，如自著火以及火焰之間相互作用，對于標量耗散率具有顯著影響。與一維層流火焰模擬結果的對比發現：自著火轉變為火焰傳播以及火焰之間相互作用等瞬態過程都會造成標量耗散率的分布發生顯著變化，這可能是造成DNS數據中標量耗散率分布非常分散的主要原因。對于DNS數據的統計分析表明，大渦模擬中的亞網格標量耗散率模型仍有待完善。

圖6 基于化學爆炸模擬分析的燃燒模式分區. 黑線代表λe=0的等值線(圖來自文獻[25])Fig.6 Flame zones segmented based on CEMA. The black isoline indicates λe=0 (Reproduced from Ref.[25])

圖7 瞬態標量耗散率在反應進度標量空間中的分布. 顏色代表不同的燃燒模式分區；實線代表條件平均的標量耗散率；點劃線代表一維層流火焰中的標量耗散率 (圖來自文獻[25])

接著Zhou等人利用貧燃預混甲烷-空氣射流火焰的DNS數據[54]，分析了在不同湍流預混燃燒模式下反應進度變量混合時間尺度的演化規律。該DNS[54]是使用詳細機理對空間演化的貧燃預混甲烷-空氣湍流狹縫射流本生火焰進行的高分辨率三維直接數值模擬。保持鄧克爾數Da不變，對不同的卡洛維茲數Ka進行模擬， Case A中Ka=3.0，Case C中Ka=7.2。如圖8所示，研究發現對于靠近破碎反應區模式的湍流火焰 (Case C)，反應進度變量的湍流-標量混合時間尺度比(Cφ)在火焰刷區域內幾乎保持為常數，意味著反應進度變量的混合時間尺度與被動標量類似，受湍流控制；對于靠近火焰面模式的湍流火焰 (Case A)，Cφ在火焰刷區域內的變化顯著。與基于層流火焰計算出的標量耗散率的對比表明，火焰結構引起的標量耗散率與Case A中實際標量耗散率非常接近。這證實了對于火焰面燃燒模式，考慮火焰結構引起的標量混合非常重要。

圖8 Case A(接近火焰面燃燒模式)與Case C(接近破碎反應區燃燒模式)中湍流-標量混合時間尺度比Cφ在反應進度標量空間的演化規律

2.2 反應標量線性混合時間尺度模型

基于上述研究發現，Kuron[55]等人發展了一種適用于所有湍流預混燃燒模式的混合時間尺度模型(hybrid timescale model)。該模型依據線性混合的思路來同時考慮湍流和火焰結構化學反應引入的小尺度混合,

(7)

接下來，Kuron等人以貧燃預混氫氣-空氣平面火焰為目標火焰，利用DNS模擬數據為PDF模擬提供初始條件和隨時間變化的輸入參數(平均速度、湍流擴散系數以及標量混合時間尺度)，對發展的hybrid timescale model進行了先驗驗證，并與另外兩種混合時間尺度模型進行了對比[55]。研究發現，廣泛使用的常數湍流-標量時間尺度模型，由于忽略了化學反應對標量混合的作用，低估了反應標量的標量耗散率。基于層流火焰特征時間的Kolla模型為:

(8)

其中，C3、C4、β′為模型參數，τturb代表湍流特征時間尺度，τL代表基于層流火焰速度、厚度定義的火焰特征時間。如圖9所示，Kolla模型雖然在Da-的配置下預測性能較好，但由于無法恢復火焰面燃燒模式下標量耗散率的正確表達形式，在Da+配置下顯著低估了火焰結構引起的標量耗散率。與之相比，新提出的hybrid timescale model則能夠同時較好地預測Da+與Da-配置下反應標量的標量耗散率。如圖10所示，在不同時刻的溫度展向分布也表明：采用常數湍流-標量時間尺度模型，會導致溫度演化嚴重偏離準確值，尤其是在Da+的配置下；而采用新模型則能夠準確地預測Da+與Da-兩種配置下的溫度隨時間的演化。這證明了新模型由于考慮了湍流與化學反應的協同作用而具備優勢。

圖9 貧燃預混氫氣-空氣平面火焰，不同時刻的標量耗散率沿展向的分布(圖來自文獻[55])

圖10 貧燃預混氫氣-空氣平面火焰，三個代表時刻的溫度平均值與脈動值的展向分布(圖來自文獻[55])

對貧燃預混甲烷-空氣射流火焰的后驗驗證，同樣證明了新提出的反應標量混合時間尺度模型能夠改善不同湍流預混燃燒模式下輸運概率密度函數方法的預測性能。圖11上部的CO質量分數空間分布云圖直觀地表明，采用常數湍流-標量時間尺度模型會顯著高估上游位置處的CO質量分數，而采用新模型則可改善這一問題。分別采用常數湍流混合時間尺度模型與新模型，預測反應進度變量方差的條件平均值，從圖11下部發現：采用模型參數Cφ=1.5的常數湍流-標量時間尺度模型，可以對上游、中游位置實現準確的預測，然而對下游位置會顯著地高估方差；與之相反，采用模型參數Cφ=2.0的常數湍流-標量時間尺度模型，可以對下游位置位置實現準確的預測，然而對上游、中游位置會顯著地低估方差。這意味著采用常數湍流-標量時間尺度模型時，無論怎樣調節模型參數，都難以實現對整個燃燒過程的準確預測。而采用新模型則可以實現對上、中、下游位置處的準確預測，這體現了新模型的優勢與潛力。

所發展的標量混合時間尺度模型公式(7)量化了預混燃燒中湍流混合和化學反應過程對反應標量混合的影響。同時，該模型具有適用于任何預混湍流燃燒模式的潛力，從建模層面提升了PDF方法對湍流預混燃燒的模擬精度。

圖11 上：分別采用常數湍流-標量時間尺度模型與新模型，預測的CO的空間分布云圖. 下：分別采用常數湍流-標量時間尺度模型與新模型，預測的反應進度變量方差的條件平均值

3 近極限湍流預混燃燒的大渦/輸運概率密度函數模擬

由于強烈的湍流-化學反應相互作用，在近極限湍流預混燃燒中會有局部熄火及再燃等物理現象。近些年，值班預混射流燃燒室(PPJB)火焰[48-49]、高雷諾數甲烷-空氣射流湍流預混火焰F1/F2/F3[56]、耶魯湍流對沖預混火焰(TCF)[57]被廣泛用于研究貧燃、高湍流度條件下的湍流-化學反應相互作用及局部熄火/再燃現象。

Wang等人[58]對于高雷諾數甲烷-空氣射流湍流預混火焰F1/F2/F3[56]開展了LES/PDF模擬，主要關注混合頻率模型對模擬結果的影響。傳統的常數混合參數(CMP)模型基于局部平衡假設來給出混合頻率：

(9)

該模型在非預混燃燒中表現良好，這是因為非預混燃燒特性是由混合分數這一被動標量表征的，混合分數僅由被解析的大尺度湍流確定，而不受化學反應影響。然而，在湍流預混火焰中，亞網格尺度下湍流與化學反應的耦合作用使得火焰面發生皺褶，進而強化了混合過程，因此在火焰鋒面沒有被完全解析(火焰厚度δth小于LES過濾尺度Δ)時傳統的CMP模型會低估混合頻率，從而無法準確捕捉火焰特性。在對標量耗散率的已有研究的基礎上，Wang等人提出反應局部強化(LER)模型：

(10)

研究發現，在高雷諾數甲烷-空氣射流湍流預混火焰F1[56]中，模擬結果對于混合頻率模型的選取十分敏感。如圖12所示，傳統的CMP模型無法準確捕捉預混火焰，會顯著高估火焰鋒面厚度。與之相比，新提出的LER模型對火焰的預測結果與實驗值十分相符，這表明LER模型構建的依據是合理的。

符號：實驗數據；實線：LER模型；虛線：CMP模型，C=2；

相類似地，Zhou等人對Kuron[55]提出的標量混合時間尺度模型在LES框架下加以拓展，發展了一個針對大渦/輸運概率密度函數模擬的反應標量混合時間尺度模型。通過引入一個關于大渦模擬過濾尺度與湍流Kolmogorov尺度的削弱因子(ηa)，使得該模型能夠正確逼近流場的DNS極限：

(11)

其中ηa=1-e-Δ/(αlη)，Δ代表過濾尺度，lη代表湍流Kolmogorov尺度。當過濾尺度遠小于湍流Kolmogorov尺度時，湍流場得以完全解析。此時ηa趨向于0，使得湍流引起的混合作用趨向于0，從而保證了在湍流完全解析情況下反應標量混合時間尺度表達式的正確性。Zhou等人對于接近極限燃燒條件下的高速甲烷-空氣預混射流火焰 PPJB PM1-150進行了LES/PDF模擬。如圖13所示，相比于傳統的常數湍流-標量混合時間尺度模型，采用改進的模型能夠相對更好地預測下游位置處組分的空間分布。進一步的分析表明，由于該火焰的中心射流速度較高，強烈剪切引起的湍流造成反應標量的混合過程由湍流主導。因此，采用改進模型帶來的預測精度的提升有限。

在網格解析度對于LES/PDF模擬預測湍流預混燃燒準確度的影響方面，Zhou等人[59]研究了網格解析度對于標量混合和燃燒特性預測的影響規律，采用解析度由低到高的三套網格：G1、G2、G4，對接近極限燃燒條件下的高速甲烷-空氣預混射流火焰(PM1-150)進行了LES/PDF模擬。圖14展示分別采用三種網格解析度預測得到的瞬時火焰結構。研究發現，僅僅將單位火焰熱厚度內的網格數量由1個增加至2個 (G1→G4)，就能顯著提升對于局部熄火-再燃區域的預測精度。通過分析組分的空間分布、瞬態火焰結構、混合-反應速率，揭示了網格解析度對于湍流預混火焰的LES/PDF模擬具有顯著影響。圖15中組分的空間分布表明，增大網格解析度對于大尺度混合的預測影響不大，但是能夠顯著提升對于組分徑向分布的預測準確度。如圖16所示，通過分析亞網格內計算顆粒的反應、擴散、小尺度混合速率的條件平均值，發現增大網格解析度對于反應、擴散速率的影響較小，但是會顯著增大亞網格混合速率，造成反應進度變量的凈生成率為負，從而抑制了燃燒進程，進而改善了預測結果。因此，增大網格解析度改善模擬結果的本質原因可能在于：隨著網格解析度的增大，亞網格顆粒在組分空間的局部性增強，這減輕了模擬結果對小尺度混合模型的依賴。因此，研究表明了網格解析度對于近極限湍流預混燃燒問題的大渦模擬預測結果有顯著影響。

圖13 上圖：高速甲烷-空氣預混射流火焰 PM1-150，不同標量混合模型預測的標量徑向分布和實驗值的比較. 下圖：不同軸向位置，由湍流、火焰結構引起的標量混合頻率與有效標量混合頻率的徑向分布

圖14 高速甲烷-空氣預混射流火焰 PM1-150，分別采用G1、G2、G4三種網格解析度，預測的瞬時火焰結構(圖來自文獻[59])

圖15 高速甲烷-空氣預混射流火焰PM1-150，分別采用G1、G2、G4三種網格解析度，得到的標量徑向分布預測值與實驗的對比(圖來自文獻[59])

圖16 x/D=15,30兩個代表性位置，分別采用G1、G4兩種網格解析度，得到的反應進度標量的反應、擴散、小尺度混合速率的條件平均值(圖來自文獻[59])

相比于射流火焰，耶魯TCF燃燒室具有火焰穩定、不需值班火焰即可達到高雷諾數條件、燃燒區域更為緊湊等優勢。Coriton等人[57]已經開展了湍流對沖預混火焰的一系列實驗，確定了影響火焰特性的四個關鍵參數：整體拉伸率Kbulk、預混反應物當量比φu、預混反應物流的雷諾數Ret、熱產物側溫度Tb，積累了不同參數條件下的豐富的實驗數據。Tirunagari和Pope[60]應用LES/PDF方法模擬預混狀態下的耶魯TCF燃燒室火焰，系統地用實驗數據驗證了LES/PDF方法對湍流預混火焰的預測能力。具體來說，實驗和模擬都采用條件統計的方法得到進度變量c取條件于與氣體混合層界面(GMLI)的距離Δ的條件平均值〈c|Δ〉和GMLI與火焰鋒面之間的距離Δf的概率密度分布PDF(Δf)，以此量化關鍵參數對湍流預混火焰特性的影響。其中c和GMLI都是根據OH及其梯度瞬時值沿軸線的分布確定的。圖17為不同的整體拉伸率Kbulk下的〈c|Δ〉和PDF(Δf)，實驗和模擬均得出：局部熄火概率1-〈c|Δ=0〉隨著Kbulk的增大而增大，且Δf隨著Kbulk增大而減小。LES/PDF模擬不僅正確地預測了火焰的變化趨勢，而且和實驗值相吻合。對于其他的關鍵參數，如預混反應物當量比φu、預混反應物流的雷諾數Ret和熱產物側溫度Tb對湍流預混火焰的影響，LES/PDF模擬均得到實驗中觀察到的關鍵參數影響趨勢，因此LES/PDF方法對湍流預混火焰的預測能力得到了系統地驗證。

(a) c取條件于與GMLI的距離Δ的平均值〈c|Δ〉

4 結 論

概率密度函數方法能精確地求解有限反應速率，在預測近極限燃燒現象及強湍流-化學反應相互作用方面有著獨到的優勢，但小尺度上分子擴散引起的組分變化則需要通過標量小尺度混合模型來模擬。本綜述介紹了當前湍流預混燃燒中混合模型研究的一些最新進展。現有標量混合模型與混合時間尺度模型在不同湍流預混燃燒模式下的性能研究表明：對于火焰面燃燒模式，保持組分空間的臨近性對于標量混合模型非常重要，標量混合頻率受火焰結構影響顯著；對于破碎反應區模式，保持組分空間臨近性的重要性有所減弱，標量混合頻率由湍流主導。

基于湍流燃燒直接數值模擬數據的小尺度混合模型建模研究對提升PDF方法對湍流預混燃燒預測精度有重要意義。基于氫氣預混火焰的直接數值模擬數據的研究表明處于薄反應區燃燒模式下的火焰結構對于標量耗散率的影響顯著。另外，火焰的瞬態過程，如自著火以及火焰之間相互作用，對于標量耗散率有著顯著影響。基于貧燃預混甲烷-空氣射流火焰直接數值模擬數據的研究表明，對于靠近破碎反應區模式的湍流火焰，反應進度變量的湍流-標量混合時間尺度比Cφ在火焰刷區域內幾乎保持常數，標量混合受湍流控制；對于靠近火焰面模式的湍流火焰，Cφ在火焰刷區域內的變化顯著，標量耗散率與基于層流火焰計算出的由火焰結構引起的標量耗散率非常接近，這進一步證實了對于火焰面燃燒模式，考慮火焰結構引起的標量混合非常重要。

依據線性混合的思路構建的混合時間尺度模型，同時考慮了湍流和化學反應導致的小尺度混合。模型中包含一個區分因子(η)，當η=0時，對應分布式燃燒類型的標量混合規律；當η=1時，對應理想火焰面燃燒類型的標量混合規律；當0<η<0時，燃燒類型介于分布式與理想火焰面兩種模式之間，標量混合頻率是上述兩種情況對應混合頻率的線性組合。新的標量混合時間尺度模型可以適用于任何預混湍流燃燒模式。針對不同湍流預混燃燒模式的模型驗證表明：相比于已有的湍流混合時間尺度模型，新模型顯著提升了對湍流預混火焰中的標量耗散率、燃燒特性的預測精度。

對近極限燃燒的研究表明，LES/PDF能準確地預測近極限湍流預混火焰中的局部熄火和再燃現象。另外，網格解析度對近極限湍流預混燃燒問題的LES/PDF模擬預測結果有著顯著影響。隨著網格解析度的增大，亞網格顆粒在組分空間的局部性增強，這減輕了模擬結果對小尺度混合模型的依賴程度，因此增大網格解析度能顯著改善模擬結果。