“‘關·聯’數學”的教學主張與實施策略

劉麗娟

一節課的呈現不可能是孤立的，既要追問它的知識基礎、方法基礎，又要考慮其今后的延展。筆者在日常教學中發現，不少教師的教學容易走入兩個極端：一是過度瞻前顧后，大量占用本節課的教學時間和內容，導致本節課的教學目標難以達成；二是只著眼于當下，不提供讓學生經歷知識發生、發展過程的機會，致使學生被動學習?；诖?，我們研究團隊于2016 年提出“關聯數學”的教學主張，并于2017年申報江蘇省“十三五”規劃立項課題獲批。歷經兩年多的研究，我們的視角從單純關注文本擴展到關注學情，從分別關注教與學擴展到關注教與學的關系，從關注文本結構擴展到關注師生數學素養的提升，我們的教學主張也轉變為“‘關·聯’數學”。

一、“‘關·聯’數學”的內涵詮釋

“關”，作為名詞的解釋有“事物或時間演進過程中的重要時刻、階段”，作為動詞的解釋有“牽連、涉及”?！啊P·聯’數學”的“關”可以理解為知識發生過程中的重難點和關鍵處，以及知識點之間的相互銜接與聯系，指向學習內容、知識之間縱向和橫向的關系，概念要素之間獨立和并存的關系，思想方法之間部分和整體的關系，學科之間內部與外部的關系，等等。“聯”，作為動詞的解釋有“連接、連續；結、結合”?！啊P·聯’數學”的“聯”可以理解為由此及彼、舉一反三，在相關、相似和相通的內容中尋找共同本質，指向學生的思維發展?！啊P·聯’數學”從“關”和“聯”兩個方面展開研究，基于文本的“關”和思維的“聯”二者關系的思考，落于教師的“關”和學生的“聯”二者關系的設計，它們的關系如下頁圖1所示。

二、“‘關·聯’數學”的理論依據

美國語言哲學家格賴斯說：在關系范疇底下，我只使用一條原則——要有“關聯”。加拿大學者西門思提出了連接主義學習理論的六點主張：一是學習是將知識節點或信息源連接在一起的過程；二是保持連接對于持續學習非常重要；三是保持知識的即時性和準確性是一切關聯學習的目標；四是尋找知識的能力比現有知識更重要；五是核心能力是發現不同領域、觀點和概念之間的聯系；六是學習知識存在于多樣化觀點中。美國心理學家桑代克提出了聯結主義學習論，他認為學習要遵循三條重要原則：一是準備律，指學習者在學習開始的預備定勢；二是練習律，指一個學會了的反應的重復將增加刺激反應之間的聯結；三是效果律，如果一個動作跟隨著情境中一個滿意的變化，在類似的情境中這個動作重復的可能性將增加，反之則減少。美國數學教師協會2000 年頒布《中小學數學原則與標準》，“數學聯系”成為其十條標準之一。這些對關聯的理解和定位表達和支持了“‘關·聯’數學”的核心思想，即學習源于“關”，指向“聯”。

東北師范大學史寧中教授在其主編的《義務教育數學課程標準（2011 年版）解讀》一書中多次提到“關聯”：教材的編寫應考慮學段的關聯，以利于學生學習的延續性；教材編寫應整體考慮知識之間的關聯，不同知識之間、不同課程領域之間都存在實質性聯系，教材應著重體現這些聯系，而不是忽略它們；各學段數學教材在整體設計時應考慮如何反映課程內容之間存在的實質性聯系，這既包括不同領域內容之間的實質性聯系（如代數與幾何之間、代數與統計概率之間的聯系），也包括相同領域內容之間的聯系。史寧中教授的觀點對“‘關·聯’數學”具有很強的指導意義?！啊P·聯’數學”教學正是教師基于對文本的整體認識，找準知識的內在實質性聯系，引導學生通過想象遷移、比較溝通、拓展創新，在一次次關·聯中提升數學素養的活動。

三、“‘關·聯’數學”的實施策略

1.找準關點，確立聯動目標。

每一節課、每一次活動都有其獨特的價值追求，它們既不是單純對上一節課的重溫，也不是盲目對下一節課的越位。只有準確地找到這個關點，才能科學地制定課時目標，從而合理地規劃要達成的目標。為了更好地落實國家課程標準的總目標，使之更貼近地方辦學特點，凸顯學校辦學特色；更好地細化年段目標，使之更貼近學生的成長背景，符合每一位學生的認知水平，我們開展了“學習目標能級系列化”研究，具體做法如圖2所示。

如教學蘇教版三下“兩位數乘兩位數”單元，要通過每一節課的關點，有效落實課程標準中“能計算兩位數乘兩位數的乘法”的總目標。第2 課時《兩位數乘兩位數（不進位）》的教學重點（即關點），是兩位數乘兩位數（不進位）的筆算，它是多位數乘一位數筆算方法的擴展，是兩位數乘兩位數（進位）的基礎。學生用第二個乘數個位上的數去乘第一個乘數，已經具備了顯性基礎，但用第二個乘數十位上的數去乘第一個數，只具備隱形基礎——乘的方法和順序與上一步相同，但乘得的結果如何表達（特別是定位問題）是新的內容，需要連接上節課的內容加以理解。正是在這樣突破與連接一個個關點的過程中，學生不斷建構學習框架、完善自我認知體系。

2.明晰關子，連接新舊認知。

關子比喻事情的關鍵，它在解決困難或分歧時起決定性作用。數學學習邏輯性很強，一環套一環，無論哪個環節出了問題，學習就會“掉鏈子”。這個鏈子，從開始時的線狀連接到后來的網狀連接，慢慢形成各式各樣的立體狀連接。要讓連接的點更加牢固，教師就要明晰每個關子，并幫助學生理解、內化、掌握和熟練應用它。

如教學《兩位數乘兩位數（不進位）》一課，要引導學生掌握筆算方法，關鍵在于兩點：一是要掌握乘的順序，即先用第二個乘數個位上的數去乘第一個乘數，再用第二個乘數十位上的數去乘第一個乘數，最后把兩次乘得的結果相加；二是要理解和掌握用第二個乘數十位上的數去乘時得到的數的末位要和第二個乘數的十位對齊，這個關子既需要運用前面的舊知來突破，也直接影響著下一節課《兩位數乘兩位數的進位乘法》的學習。在教學中，以前學過的兩、三位數乘一位數的筆算方法有助于學生進行方法遷移，完成第一次乘積過程。上一課時的學習內容有助于學生預估新知24×12 的計算結果，同時有助于學生完成第二次乘積——10 乘兩位數和整十數乘整十數。最關鍵的是，還能幫助學生理解“為什么豎式計算時用第二個乘數十位上的數去乘第一個乘數，乘得的末位應寫在十位上”。明晰關子，既是對教師解讀文本、設計教法和指導學法的要求，也是對學生溫故知新、自主建構和綜合運用的挑戰。

3.辨析關系，聯系數學思想。

事物的關聯極其復雜，在內容和形式上多種多樣，不同的關聯對事物的存在和發展所起的作用不同。教師在數學教學中要抓住這些聯系，培養學生主動聯想的學習習慣和關聯思考的思維方式，從而使他們對數學學習內容形成整體的認知。數學表達也不是千篇一律的，多維比較、辨析這些表達的異同，從關系的角度審視它們，滲透數學思想，能促進學生的學習由淺層轉向深層。

4.融通關節，促進聯想生成。

華東師范大學葉瀾教授認為，現代學校教育系統的總體結構在形式上呈現為四層階梯狀，其中第四層次為教與學的配合以及教向學的轉化。該層次的任務是把教師提出的對學生的要求內化為學生的自覺要求，把教育內容內化為學生個體的身心發展。這就要求教師在對教學內容結構化重組時，要注重整體性、長效性和發展性，要滿足學生在學習中自主遷移、前思后慮、觸類旁通的需要。

如教學“兩位數乘兩位數”單元，可以先讓學生想一想：兩位數乘兩位數有哪些類型？學生經歷過數的類型和兩位數乘一位數類型的整體認知過程，因而很容易就能得出兩位數乘兩位數可以分成整十數乘整十數、兩位數乘整十數和兩位數乘兩位數（這里的兩位數是指非整十數的兩位數），而兩位數乘兩位數又可以分為不進位和進位兩種。學生憑借學習經驗，可能做到的遷移有：學習的先后順序是從易到難——先學和整十數相乘的，再學不進位的，最后學進位乘；整十數的關鍵作用是學到不進位的時，能想到把非整十數看成和它最接近的整十數來乘或者拆成和整十數相關的數來乘……學生今天的遷移源于以往的經驗積累，以及教師對文本的智慧處理。教學新知時，教師應注重引導學生調動自己內在的認知需求和經驗，在感知、經歷、理解和內化的過程中建構自己新的認知框架。

總之，“‘關·聯’數學”就是這樣，基于教和學的雙邊共生，通過四個環節的層層推進，實現師生的雙向共學和素養提升。