基于安全性和經濟性多目標優化的巖質邊坡錨固計算方法

彭 普，李 澤，張小艷，胡 政，陳 瑜，劉 誠

(昆明理工大學 建筑工程學院，云南 昆明 650500)

1 研究背景

近年來，巖質邊坡穩定性問題受到廣泛的關注，巖質邊坡中的節理和斷層通常是促使巖質邊坡失穩破壞的主要原因，工程實踐中通常采用預應力錨桿進行加固[1-6]。預應力錨桿是通過內錨固段固定后，在外錨頭進行張拉，將預應力線材的張拉應力施加于巖體或結構物上的一種加固措施[7-9]。國內外眾多學者對巖質邊坡錨固機理進行了不斷的探索，取得了一定的成果，如王秒等[10]對順層節理巖質邊坡在地震作用下的加固機理進行了探索；陳曉裕等[11]對巖質邊坡的穩定性進行了分析并對巖質邊坡加固效應進行了研究；劉建華等[12]對簡諧振動下采用錨桿加固的邊坡受力進行了探索；張曉悅等[13]采用商業軟件ABAQUS對采用群錨加固的巖質邊坡進行評價；鄭筱彥[14]、夏元友等[15]分別采用數值模擬和數值實驗的方法對巖質邊坡的錨固進行了分析；盧坤林等[16]基于極限平衡分析法提出三維滑體錨固力計算方法；竇燦等[17]采用極限平衡分析方法對加固和未加固的高邊坡進行穩定性分析。

在實際工程中，為保證工程安全，通常采用較為保守的錨固設計，安全性雖然得到了保證，但由此導致工程造價有所提高。《巖土錨桿與噴射混凝土支護工程技術規范》(GB 50086-2015)給出最優錨固角的經驗計算公式為：

β優=θ-(45°+φ/2)

(1)

式中：θ為滑動面與水平面的夾角，逆時針方向為正，(°)；φ為結構面的摩擦角，(°)；β優為錨桿與水平面的夾角，逆時針方向為正，(°)。

規范所給公式(1)主要是通過調整錨桿安裝角度，使滑動方向的分力和滑面法向分力乘以滑面摩擦系數產生的摩擦阻力之和達到最大。圖1為邊坡錨桿錨固角示意圖，圖1表明，當α=β時，可得最大抗力為P抗max=P/cosφ，此時錨桿最長，錨固造價最高，不經濟。經過綜合比較，規范給出最優錨固角的計算公式，即公式(1)。但該計算公式是一個經驗公式，并不能保證錨固效果和錨固造價同時達到最優，不能達到既安全又經濟的目的。對此，眾多學者進行了研究，呂慶等[18]對邊坡錨固合理間距進行了研究，實際生產中可以極大地降低工程造價，但并未考慮錨固方向的影響，因而錨固并不一定最安全；劉佳龍等[19]對巖質高邊坡采用優化錨桿參數的方法對邊坡穩定性進行研究，得出隨著錨固角度的增大，邊坡安全系數先增大后減小，該方法雖然可以找到最大安全系數對應的錨固角度，但錨固造價可能較高；李澤等[20]對楔形體邊坡進行研究，通過最優化原理計算得到楔形體的最優錨固角，該計算方法雖然也可以得到安全系數最大的錨固角度，但錨固造價仍可能較高。錨固效果一般取決于錨固力的大小與方向，當錨固力的大小確定時，錨固力的方向發生改變也會導致錨固效果隨之發生改變。錨固造價一般取決于錨桿長度，錨桿長度越長錨固造價越高，反之亦然。

圖1 邊坡錨桿錨固角示意圖

當前巖質邊坡錨固設計主要存在以下問題：工程實踐中，通常安全性得到了保證但經濟性存在較大的不足；采用規范給定最優錨固角的計算方法，安全性和經濟性均未能保證最優。

基于這種現狀，本文以節理巖質邊坡為研究對象，基于塑性力學的極值理論，假設滑動巖體為剛性塊體、假設結構面上的法向力與剪力滿足Mohr-Coulomb屈服條件，以巖質邊坡安全系數為安全性目標函數、以巖質邊坡錨固造價為經濟性目標函數，并以錨固力方向、錨桿長度、結構面的剪力和法向力為決策變量，構建巖塊的平衡方程約束條件、結構面的屈服條件和錨桿的附加約束條件，建立安全性和經濟性多目標的巖質邊坡錨固非線性數學規劃模型，最后采用線性加權和法構造評價函數，將求解多目標優化問題轉化為求解單目標優化問題，獲得同時滿足安全性和經濟性最優的安全系數和錨固造價，以及最優錨固角。

2 基于安全性和經濟性多目標優化的巖質邊坡錨固計算模型的建立

根據巖質邊坡的實際情況擬定計算參數，包括巖質邊坡的高度、巖質邊坡幾何關鍵點的位置坐標、錨固點的位置坐標、巖體的容重、結構面的數量、每個結構面的傾角、每個結構面的黏聚力及摩擦角和錨桿錨固力的大小。

2.1 巖質邊坡的受力分析

圖2為巖塊受力分析示意圖。如圖2所示，定義坐標系(x，y)，假設該巖塊的形心O上作用沿x方向的外力為fx，沿y向的外力為fy，沿錨桿方向的錨固力為Fa，Fa與坐標軸x的夾角為θx，θx以逆時針方向為正，Si為第i個結構面上的剪力，Si以逆時針轉動為正，i為結構面的個數，Ni為第i個結構面上的法向力，Ni以受壓為正，其中i=1,2…,n，n為結構面的數量。

圖2 巖塊受力分析示意圖

2.2 建立巖質邊坡安全性和經濟性的雙目標函數

2.2.1 建立安全性目標函數 對于巖質邊坡穩定性問題，通常通過強度折減法使其達到極限狀態，此時強度儲備系數即為安全系數，安全系數越大巖質邊坡安全性越高。

本文定義安全系數為：

K=tanφ/tanφ′=c/c′

(2)

式中：K為安全系數；c、φ分別為結構面原始的黏聚力(kPa)和摩擦角(°)；c′、φ′分別為結構面進行強度折減以后的黏聚力(kPa)和摩擦角(°)。

將巖質邊坡的安全系數作為安全性目標函數，并尋求巖質邊坡安全系數的最大值，建立如下安全性目標函數：

Maximize:K

(3)

式中：Maximize為“求最大”函數。

2.2.2 建立經濟性目標函數 巖質邊坡采用錨桿加固，經濟性以錨固造價體現，錨固造價越小經濟性越高，將錨固造價作為經濟性目標函數，并尋求錨固造價的最小值，建立如下經濟性目標函數：

Minimize:P

(4)

式中：Minimize為“求最小”函數；P為錨桿造價，元。

錨桿造價僅是錨桿總長度的函數，錨桿的造價可表示為：

P=F(l)

(5)

式中：F為價格函數；l為錨桿總長度，m。

錨桿總長度應為錨固段、自由段和外錨段的長度之和，即：

l=la+lf+lo

(6)

式中：la為錨固段長度，m；lf為錨桿自由段長度，m；lo為外錨段長度。

2.3 建立巖質邊坡安全性和經濟性多目標優化的非線性數學規劃模型的約束條件

約束條件包括：巖塊平衡方程約束條件、結構面的屈服條件、錨桿的附加約束條件。

2.3.1 巖塊平衡方程約束條件 如圖2所示，對巖塊進行受力分析，其形心上受到外力、結構面上的剪力、結構面上的法向力以及錨固力的作用而保持平衡。其平衡方程可寫為：

(7)

式中：Fa為錨固力大小，kN；θx為錨固力方向與x軸正向夾角，以逆時針方向為正，(°)；θi為第i個結構面與x軸正向夾角，(°)；fx為作用在巖塊沿x方向的外力，kN；fy為作用在巖塊沿y方向的外力，kN；Si為第i個結構面上的剪力，以逆時針轉動為正，kN，i=1,2…,n；n為結構面的個數；Ni為第i個結構面上的法向力，kN，以受壓為正，i=1,2…,n；n為結構面的個數。

2.3.2 結構面的屈服條件 在外荷載作用下，當荷載達到或超過極限荷載時，結構面就會產生破壞，假定巖體為剛性塊體，其不會產生任何破壞，故巖質邊坡的破壞只發生在巖塊的結構面上，結構面需滿足Mohr-Coulomb屈服條件式，第i個結構面上的屈服條件寫為：

|Si|-Nitanφi/K-cili/k≤0

(8)

式中：li為第i個結構面的長度，m；ci、φi分別為第i個結構面的黏聚力(kPa)和摩擦角(°)；i=1,2，…,n。

2.3.3 錨桿的附加約束條件 根據《建筑邊坡工程技術規范》(GB 50330-2017)，錨桿長度應滿足：

(9)

式中：la為錨固段長度，m；ξ為錨桿錨固體抗拔安全系數;Nak為錨桿軸向拉力標準值，kPa；frbk為巖土層與錨固體極限粘結強度標準值，kPa；D為錨桿錨固段鉆孔直徑，m。

根據《建筑邊坡工程技術規范》(GB 50330-2017)構造設計要求，錨桿自由段長度按外錨頭到潛在滑裂面的長度計算；預應力錨桿自由段應不小于5 m，即錨桿自由段長度需滿足：

lf≥((x0-xa)2+(y0-ya)2)1/2

(10)

lf≥5

(11)

式中：lf為錨桿自由段長度，m；xa為錨桿與潛在滑裂面交點的橫坐標值，m；ya為錨桿與潛在滑裂面交點的縱坐標值，m；x0為錨桿與臨空面交點的橫坐標值，即外錨頭的橫坐標值，m；y0為錨桿與臨空面交點的縱坐標值，即外錨頭的縱坐標值，m。

錨固造價的附加約束條件：對于錨桿而言，每段的造價只是長度的函數，故函數式(5)可寫為：

P=F(l)=k1la+k2lf+k3lo

(12)

式中：k1為錨固段價格系數;k2為錨桿自由段價格系數;k3為外錨段價格系數。

2.3.4 建立巖質邊坡安全性和經濟性多目標優化的非線性數學規劃模型 建立以巖質邊坡的安全系數和錨固造價為雙目標函數，同時滿足巖塊平衡方程約束條件、結構面屈服條件和錨桿的附加約束條件的巖質邊坡安全性和經濟性多目標優化的非線性數學規劃模型為：

(13)

3 多目標優化的非線性數學規劃模型的求解策略

公式(13)為一個考慮了巖質邊坡安全性及經濟性的多目標非線性數學規劃模型，對于擁有多個目標函數的問題通常采用評價函數法進行求解；通過構造評價函數，將求解多目標規劃問題轉化為求解單目標規劃問題。具體求解步驟分述如下。

3.1 建立安全性最優的非線性數學規劃模型

根據安全性目標函數式(3)與約束條件式(7)～(12)，建立巖質邊坡安全性最優的非線性數學規劃模型為：

(14)

3.2 建立經濟性最優的非線性數學規劃模型

根據目標函數式(4)與約束條件公式(7)～(12)，建立巖質邊坡經濟性最優的非線性數學規劃模型為：

(15)

3.3 采用線性加權和法構造評價函數

線性加權和法的基本思想為：根據各個目標函數在問題中的重要程度，分別賦予一個權系數，再將帶權系數的目標函數相加而構成評價函數，安全性和經濟性多目標優化的評價函數按下式計算：

(16)

3.4 將評價函數作為目標函數

將采用線性加權和法構造的評價函數作為目標函數，則目標函數寫為：

(17)

3.5 建立巖質邊坡經濟性和安全性最優的線性加權和法的非線性數學規劃模型

根據目標函數式(17)和約束條件式(7)～(12)，巖質邊坡安全性和經濟性多目標優化的非線性數學規劃模型轉化為用公式(18)表示的單目標最優化的非線性數學規劃模型。

(18)

式中：Z為目標函數；決策變量為θx、Si、Ni、la、lf、lo、K、P。

本文采用罰函數法求解該目標函數，計算結果包括安全系數最優值Kopt、錨固造價最優值Popt以及錨桿的最優錨固方向角θx opt。

當前對于非線性問題的求解，一般采用可行性方法、罰函數法、拉格朗日塑性乘子法和序列二次規劃法等。本文采用罰函數法對巖質邊坡安全性和經濟性線性加權和法的非線性規劃問題公式(18)進行求解，得到安全系數最優值Kopt、錨固造價最優值Popt以及錨桿的最優錨固方向角θx opt。計算流程見圖3。

圖3 巖質邊坡安全性和經濟性計算方法程序框圖

4 實例工程計算與分析

為驗證本文計算方法的正確性，選取云南省某水電工程巖質邊坡實例進行計算分析，實例巖質邊坡示意圖見圖4。

圖4 實例工程巖質邊坡示意圖

該邊坡高度為45 m；邊坡幾何關鍵點的位置坐標為：A(18 m,45 m)，B(0,0)，C(38 m,30 m)，D(43 m,45 m)；錨桿錨固位置坐標為(10 m,25 m)；巖體的容重為20 kN/m3，結構面的數量為2個；結構面BC的傾角為38°、結構面CD的傾角為72°；兩個結構面的黏聚力均為35 kPa、內摩擦角均為40°；錨桿錨固力分別取500、1 000、1 500、2 000 kN 4種情況進行計算。錨固段價格系數k1取2 000元/m；錨桿自由段價格系數k2取2 500元/m，錨桿錨固體抗拔安全系數ξ取2.4，巖土層與錨固體極限粘結強度標準值frbk取180 kPa,錨桿錨固段鉆孔直徑D取90 mm。

首先進行巖質邊坡安全性最優或經濟性最優的錨固計算，結果如表1所示。由表1可見，隨著錨固力的增大，安全系數和錨固造價均增大；當安全性最優時所得錨固造價相較于經濟性最優時有所增大，當經濟性最優時所得安全系數相較于安全性最優時有所降低。計算表明采用安全性最優或經濟性最優的方法，不能同時保證安全系數和錨固造價均達到最優，不能達到既安全又經濟的目的。在實際工程中需同時考慮工程的安全性和經濟性。本文通過式(17)目標函數中的ω來表征安全性和經濟性的重要性權重，ω值越大安全性所占重要程度越大，經濟性所占重要程度越小；ω=0.5時，安全性和經濟性的重要程度相同。ω=0.5時，巖質邊坡在不同錨固力作用下安全性和經濟性最優時計算結果如表2所示。由表2可見，隨著錨固力的增大，最優安全系數和最優錨固造價均增大，且最優安全系數相較經濟性最優時均有所提高，最優錨固造價相較安全性最優時均有所降低。在錨固力為2 000 kN時，最優安全系數相較單獨考慮經濟性最優時提高了9.06%，最優錨固造價相較單獨考慮安全性最優時降低了9.96%。

表2 實例工程ω=0.5時安全性和經濟性均最優的計算結果

表1 實例工程安全性最優或經濟性最優時的計算結果

圖5為Fa=1 000 kN時的ωK/Kmax、(1-ω)Pmin/P、Z的計算結果曲線。由圖5可看出，隨著ω的增大，安全系數K對Z的影響逐漸增大而錨固造價P對Z的影響逐漸減小，當ω=0.5時，安全系數和錨固造價對Z的影響相當，即安全系數和錨固造價對目標函數式(17)中Z的貢獻相同，安全性和經濟性所占重要程度相同；工程中若對安全性考慮較多，建議ω取0.5～0.7，若對經濟性考慮較多，建議ω取0.3～0.5。

圖5 安全系數的權系數ω對計算結果的影響(Fa=1000 kN)

圖6為ω=0.5、黏聚力c=35 kPa時，不同內摩擦角情況下錨固力Fa與安全系數K的關系曲線；圖7為ω=0.5、黏聚力為35 kPa時，不同錨固力情況下內摩擦角φ與安全系數K的關系曲線。對圖6、7進行分析得出：(1)在結構面黏聚力和內摩擦角一定的情況下，安全系數隨錨固力的增大而增大；在結構面黏聚力和錨固力一定的情況下，安全系數隨結構面內摩擦角的增大而增大。(2)在巖質邊坡節理面參數相同條件下，錨固力越大，巖質邊坡越安全，符合錨桿錨固的一般規律。這是因為錨桿支護作為邊坡主動支護措施的一種，一方面可以降低巖體的下滑力，另一方面可以增大巖體的抗滑力，從而使得巖質邊坡的安全系數大大提高。(3)在巖質邊坡結構面黏聚力錨固力相同條件下，結構面內摩擦角越大，巖質邊坡越安全，這是因為增大結構面內摩擦角可以增大結構面的抗滑力從而增大巖體安全系數。

圖6 不同內摩擦角情況下錨固力Fa與安全系數K的關系曲線(ω=0.5，黏聚力c=35 kPa) 圖7 不同錨固力情況下內摩擦角φ與安全系數K的關系曲線(ω=0.5，黏聚力c=35 kPa)

圖8為ω=0.5、黏聚力c=35 kPa時，不同內摩擦角情況下錨固力Fa與錨固造價P的關系曲線；圖9為ω=0.5、黏聚力c=35 kPa時，不同錨固力情況下內摩擦角φ與錨固造價P的關系曲線。

圖8 不同內摩擦角情況下錨固力Fa與錨固造價的關系曲線(ω=0.5，黏聚力c=35 kPa) 圖9不同錨固力情況下內摩擦角φ與錨固造價的關系曲線(ω=0.5，黏聚力c=35 kPa)

由圖8可看出，在結構面黏聚力和內摩擦角一定的情況下，錨固造價隨錨固力的增大而增大。這是因為在巖質邊坡節理面參數相同條件下，錨固造價由外錨段、自由段和錨固段造價所組成。外錨段造價通常為一確定值；自由段造價與自由段長度有關，在優化計算過程中，由于自由段長度變化幅度較小，所以自由段造價變化幅度較小；錨固造價主要與錨固段長度有關，錨固力越大錨固段長度越長，錨固造價越高。

由圖9可看出，在結構面黏聚力和錨固力一定的情況下，錨固造價趨于相對穩定。這是因為錨桿的外錨段和錨固段長度均為確定值，而自由段長度在優化計算的過程中變化也較小，所以錨固造價變化幅度較小。

圖10為ω=0.5、內摩擦角φ=40°時，不同黏聚力情況下錨固力Fa與安全系數K的關系曲線；圖11為ω=0.5、內摩擦角φ=40°時，不同錨固力情況下黏聚力c與安全系數K的關系曲線。對圖10、11進行分析得出：(1)在結構面黏聚力和內摩擦角一定的情況下，安全系數隨錨固力的增大而增大；在結構面內摩擦角和錨固力一定的情況下，安全系數隨結構面黏聚力的增大而增大。(2)在巖質邊坡節理面參數相同條件下，增大錨固力可以從降低巖體的下滑力以及增大巖體的抗滑力兩方面來提高巖質邊坡的安全性。(3)在巖質邊坡結構面內摩擦角和錨固力相同條件下，結構面黏聚力越大，巖質邊坡安全性越高，這是因為增大結構面的黏聚力可以增大結構面的抗滑力從而提高巖體安全系數。

圖10 不同黏聚力情況下錨固力Fa與安全系數K的關系曲線(ω=0.5，內摩擦角φ=40°) 圖11 不同錨固力情況下黏聚力c與安全系數K的關系曲線(ω=0.5，內摩擦角φ=40°)

圖12為ω=0.5、內摩擦角φ=40°時，不同黏聚力情況下錨固力Fa與錨固造價P的關系曲線。圖13為ω=0.5、內摩擦角φ=40°時，不同錨固力情況下黏聚力c與錨固造價P的關系曲線。

圖12 不同黏聚力情況下錨固力Fa與錨固造價P的關系曲線(ω=0.5，內摩擦角φ=40°) 圖13 不同錨固力情況下黏聚力c與錨固造價P的關系曲線(ω=0.5，內摩擦角φ=40°)

由圖12可看出，在結構面黏聚力和內摩擦角一定的情況下，錨固造價隨錨固力的增大而升高，這是因為在巖質邊坡節理面參數相同條件下，外錨段為一確定值，而自由段長度在優化計算過程中變化較小，錨固造價主要與錨固段的造價相關，錨固力越大，錨固段長度也就越長，故錨固造價也就越高。由圖13可看出，在結構面內摩擦角和錨固力一定的情況下，錨固造價趨于相對穩定。這是因為錨桿的外錨段和錨固段長度不變，而自由段長度變化較小，所以錨固造價變化也較小。

5 結 論

(1)在傳統的巖質邊坡錨固計算中，當安全性最優時巖質邊坡錨固造價通常較高，而經濟性最優時巖質邊坡安全系數通常較低，不能很好地平衡二者之間的關系。巖質邊坡錨固計算本質上是尋求使得錨固造價和安全系數均最優的計算結果，目前工程實踐中并未做到全面考慮。

(2)本文提出了基于安全性和經濟性多目標優化的巖質邊坡錨固計算方法，可以同時得到安全性和經濟性均最優的巖質邊坡錨固角度、安全系數及錨固造價。

(3)本文提出的計算方法相比安全性最優時錨固造價大大降低，相比經濟性最優時安全系數大大提高，很好地協調了工程實踐中安全性和經濟性不統一的問題，為實際工程提供了新的切實可行的計算方法。