H?lder 不等式與Cauchy-Schwarz 不等式的關系及一些應用

新疆師范大學 阿迪拉·阿布都熱依木 阿迪萊·玉蘇普

常用的H?lder 不等式有離散型和積分型兩種形式，與它相應，Cauchy-Schwarz 不等式也有離散型和積分型兩種形式。H?lder 不等式中，若p=q=2，則它就是Cauchy-Schwarz 不等式。它們主要應用于極大值原理，梯度估計的一些計算過程還有Minkowski 不等式和龐加萊不等式的證明等。

一、H?lder 不等式的兩種形式

1.離散型H?lder 不等式

2.積分型H?lder 不等式

二、Cauchy-Schwarz 不等式的兩種形式

1.離散型Cauchy-Schwarz 不等式

2.積分型Cauchy-Schwarz 不等式

三、H?lder 不等式的應用

積分型H?lder 不等式應用于Minkowski 不等式的證明：

∫|f+g|pdx=∫|f+g||f+g|p-1dx

≤∫（|f|+|g|）（|f+g|）p-1dx

≤∫|f|（|f+g|）p-1dx+∫|g|（f+g）p-1dx

（由H?lder 不等式）

H?lder 不等式還可以應用于Cacciopolli 不等式的證明過程。下面我們將要給出Cacciopolli 不等式，并且用H?lder 不等式來證明它。

Cacciopolli 不等式：假設u∈C1（B1）滿足：∫B1aijDiuDiφ=0對任意的φ∈C1（B1），

其中C為正常數，且僅依賴于λ和Λ。

證明：對任意函數η∈C01（B1），設φ=η2u，則有

由H?lder 不等式，得：

四、Cauchy-Schwarz 不等式的應用

還有下面這個式子：

其中，ω＝|Dv|2，C為常數（大于0）。

式子-Cη3|Dv|3，用的Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式是一種特殊的H?lder 不等式，在韓青、林芳華的二階橢圓方程書中有很多定理，命題的證明都用到了Cauchy-Schwarz 不等式與一般形式的H?lder 不等式。