高中數學解題中“構造法”的應用

陜西省咸陽市永壽縣永壽中學 康永鋒

高中數學是高中學習階段的重要課程之一，與初中和小學的數學學習相比更加困難，并且隨著學習時間的不斷增長，學習難度也在不斷增加。因此，需要學生有效地掌握一定的解題方式，使自身能力有所提升。其中，“構造法”就是學生需要掌握的方法之一，這種方式的運用可以有效解決大多數習題。

一、“構造法”的含義和運用意義

“構造法”主要是指當學生在固定的思維方向中難以解決問題時，根據題中所給出的條件和習題的結構進行一定的假設，并通過一定的公式構建出符合習題的一種數學模型。在假設的過程中，一般構建出的數學模型都是在原有的模型中形成的。“構造法”主要是將習題中的一個未知量假設成已知量，從而解決問題，因此，“構造法”是一種化歸的思想，對于解題過程有重要的作用與影響。

華羅庚就曾指出，“數”與“形”之間是不可分離的，因此“構造法”也需要與圖形相結合，才可以更加直觀地展示出習題所具有的特點與解題關鍵，數形結合思想對解題過程有著重要的作用與影響。在數形結合指導下的習題解答過程中，構造法離不開函數與方程的支持，在解答過程中運用方程與函數，可以使習題解答更加迅速且清晰?！皹嬙旆ā钡倪\用主要是對于模型的建立，因此有效幫助學生鍛煉了創新性與思維能力。

二、構造法在高中數學習題中的應用

1.方程構造

方程構造是高中數學習題解答中主要運用的一種方式，這種方式主要運用的是方程知識。方程是學生學習中主要運用的一種方式，也是學生學習的主要內容，并且在習題中與函數有著緊密的聯系，運用習題中存在的數量關系或結構特征，建立起一個等式，并運用各種未知數，將習題中的抽象內容轉化成實質化或特殊化的內容，使得學生可以更高效率地解決問題，并對學生的能力與思想進行一定的培養。

例如：已知（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，求證：u、i、x成等差數列。

簡析：在這個問題中，學生運用構造的方式，找尋等式所具有的特點，針對等式進行模型的建立。在本題中，通過觀察可以發現，（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，類似于所學習的二次函數中的Δ=b2-4ac，因此運用此知識可以解決這一問題。

解：假設方程（i-x）t2+（u-i）t+（x-u）=0，

可知Δ=（u-i）2-4（i-x）（x-u）。

已知（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，

所以Δ=0，

所以這個方程只有一個根。

通過計算解得t=1，

所以u+i=2x，

所以u、i、x成等差數列。

在這道習題中，學生只需要構建出一個方程即可解決其中的問題。這道習題考查了學生之前所學習的知識，并且鍛煉了其觀察能力與思維能力，找到問題中的方程等式，如本題的關鍵即為建立方程（i-x）t2+（u-i）t+（x-u）=0，之后運用方程的相關知識，找尋到解題方式。只有經過鍛煉和能力的成長后，才能讓學生在之后的學習中快速解決問題。

2.函數構造

函數的學習貫穿了整個高中數學學習，在高中數學中有著重要的地位。因此，運用函數的構造不僅鍛煉了學生的函數思想，同時提高了其實際解題能力與解題思想。在習題解決過程中，更為重要的是解題思想，而非解題方法。在學生解答習題時，可以輕易發現習題的類型大多為幾何和代數這兩類，并且在這兩類數學習題中，都含有一定的函數思想，因此，進一步掌握函數思想對學生的解答有重要的作用與意義。

因為a＜b，所以a-b＜0，

當c∈R+時，b+c不斷變大，

所以f（x）為增函數，

又如：已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，求x+y的值。

簡析：這一習題主要是考查了函數的構建，在等式中存在兩種未知數，并且次冪較高，所以很難直接運用已知知識進行求解。需要通過對等式的分析，發掘出具有同等關系的函數，建立等式。

解：將（x+2y）5+x5+2x+2y=0 進行移項，得到：

（x+2y）5+（x+2y）=-（x5+x），

假設f（t）=t5+t，這是一個奇函數，

所以f（x+2y）=-f（x）=f（-x），

所以x+2y=-x，所以x+y=0。

由于學生在高中數學的學習中，學習難度與學習壓力不斷增加，因此，需要學生具有更高層次的能力與思想。而“構造法”的運用可以更多地增強學生在習題解答上的理解，節省了學生的時間，對學生的學習有重要的作用與影響。