Mathcad在鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計算中的應用

鄭元鋒

(福建水利電力職業技術學院 建筑工程系，福建 永安 366000)

1 概述

鋼筋混凝土梁是建筑工程中的常見構件，梁截面的主要形式有矩形和T形，梁的內力有彎矩與剪力。當梁的跨度不大，剪力較小時，梁內通常只配箍筋抗剪，不配彎起鋼筋。在平時結構設計中，如何快速計算梁內箍筋用量、驗算梁的配箍率？應用本文Mathcad[1]軟件編程的方法，即可快速準確地計算鋼筋混凝土梁的箍筋用量(如：箍筋間距)，快速驗算配箍率是否滿足。

應用Mathcad軟件編程方法計算箍筋間距或驗算配箍率，其編程過程直觀簡捷、數據修改方便，與手算過程類似。限于篇幅，本文僅探討矩形截面鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力的計算，采用Mathcad編程的方法，快速計算梁的箍筋間距、驗算配箍率。

本文所有計算或編程所依據的規范是《混凝土結構設計規范》(GB50010—2010)(2015版)[2]。

2 梁斜截面受剪承載力計算公式與步驟

計算鋼筋混凝土梁的箍筋用量，需進行梁斜截面受剪承載力計算。斜截面受剪承載力計算通常在正截面承載力計算后進行。下面介紹矩形截面鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力計算公式與計算步驟：

(1)截面尺寸驗算

驗算公式：

當hw/b≤4時，V≤0.25βcfcbh0

當hw/b≥6時，V≤0.2βcfcbh0

當4

如不滿足，應加大截面尺寸或提高混凝土強度等級。

梁截面尺寸驗算目的是為了避免發生斜壓破壞。

(2)驗算是否需要按計算配置箍筋

①對于一般梁：V≤0.7ftbh0

②對于集中荷載為主獨立梁(包括作用有多種荷載，其中集中荷載對支座截面或節點邊緣所產生的剪力值占總剪力值的75%以上的情況)：V≤1.75ftbh0/(1+λ)

如果滿足上述公式要求，則按構造配置箍筋即可；如不滿足以上公式要求，則需按計算配置箍筋。

(3)計算箍筋用量(僅配箍筋情況)

如按以上步驟(2)判斷需要計算箍筋用量，則按以下公式計算所需箍筋用量：

①對于一般梁：

②對集中荷載為主獨立梁：

(4)確定箍筋

先定箍筋肢數n與箍筋直徑dsv(dsv≥dsv,min)，再根據箍筋計算間距s，確定箍筋實配間距s1(s1≤s，且s1≤smax)，最后驗算配箍率。

表1 梁中箍筋最小直徑dsv,min/mm

表2 梁中箍筋最大間距smax (mm)

配箍率驗算公式如下:

如按以上步驟(2)判斷，只需按構造配置箍筋，設計時可取箍筋直徑dsv=dsv,min，箍筋間距s=smax，且不必驗算配箍率。

注：上述公式中各符號含義與下面Mathcad編程設計中各符號含義一樣。

3 Mathcad編程設計

鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力計算的Mathcad編程設計[3]，要考慮以下幾點：(1)截面尺寸驗算；(2)驗算是否需要按計算配置箍筋；(3)計算箍筋用量(在需要按計算配置箍筋時)；(4)確定箍筋肢數與直徑，計算箍筋間距，驗算配箍率。

梁箍筋的具體配置，既需要受剪承載力計算，也需要人工選擇(如箍筋肢數、直徑、實配間距等)。本文梁箍筋計算的Mathcad編程設計由以兩個編程程序組成：(1)截面尺寸驗算及箍筋間距計算；(2)配箍率驗算。

在以下Mathcad編程設計中，各符號含義與單位如下：

V——剪力設計值(N)；b——截面寬度(mm)；h——截面高度(mm)；as——受拉鋼筋合力作用點到截面受拉側邊緣距離(mm)；h0——截面有效高度(mm)，h0=h-as；hw——截面腹板高度(mm)，對矩形截面，hw=h0；n——箍筋肢數；dsv——箍筋直徑(mm)；Asv1——單肢箍筋的截面面積(mm2)；Asv——同一截面內箍筋各肢的全部截面面積(mm2)，Asv=nAsv1；fc——混凝土軸心抗壓強度設計值(MPa)；ft——混凝土抗拉強度設計值(MPa)；fyv——箍筋抗拉強度設計值(MPa)；βc——混凝土強度影響系數(當混凝土強度等級不超過C50時，βc取為1.0，當混凝土強度等級為C80時，βc取為0.8，其間按線性內插法確定。)；λ——計算截面的剪跨比(當λ<1.5時，取λ=1.5；當λ>3時，取λ=3)；s——箍筋計算間距(mm)；s1——箍筋實配間距(mm)。

3.1 Mathcad編程設計一(截面驗算及箍筋間距計算)

截面驗算及箍筋間距計算的Mathcad編程設計如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ):=

h0←h-ashw←h-asλ←1.5 if λ<1.5λ←λ if 1.5≤λ≤3λ←3 if λ>3Vc←1.751+λftbh0ifhwb≤4if V≤0.25βcfcbh0 s←”按構造要求配箍筋” if Vc≥Vif Vc

3.2 Mathcad編程設計二(配箍率驗算)

先根據以上箍筋計算間距s，確定箍筋實配間距s1(s1≤s，且s1≤smax)，再驗算配箍率。

配箍率驗算的Mathcad編程設計如下：

配箍率驗算(n,b,s1,dsv,ft,fyv):=

ρsv←3.14nd2sv14bs1ρsvmin←0.24ftfyv”滿足” if ρsv≥ρsvmin”不滿足” otrerwise

4 使用編程程序時注意事項

使用以上兩個Mathcad編程程序，可以快速計算矩形截面梁箍筋間距，驗算配箍率，但使用時應注意以下幾點：

(1)剪跨比λ取值

對于一般梁，取λ=0，程序計算時會自動按λ<1.5時取值計算(即取λ=1.5)。當λ=1.5時，1.75/(λ+1)=1.75/(1.5+1)=0.7。

對集中荷載為主的獨立梁，λ按實際取值，程序計算時會自動判斷，當λ<1.5時，取λ=1.5；當λ>3時，取λ=3。

(2)箍筋肢數n取值

梁箍筋肢數通常有雙肢與四肢，箍筋肢數主要與截面尺寸、縱向鋼筋配置數量及抗震等級有關。肢數n取值由使用者確定，但應滿足相關規范要求。

(3)箍筋直徑dsv取值

梁箍筋常用直徑有6mm、8mm、10mm。當梁高大于800mm時，箍筋直徑不宜小于8mm；當梁高不大于800mm時，箍筋直徑不宜小于6mm。梁內配有計算需要的縱向受壓鋼筋時，箍筋直徑尚不應小于d/4，d為受壓鋼筋最大直徑。

(4)箍筋實配間距s1取值

箍筋實配間距s1取值不應大于箍筋計算間距s，且不應大于箍筋最大間距smax。箍筋最大間距主要與梁高及剪力大小有關，還與縱向受力鋼筋的連接形式、縱向受壓鋼筋最小直徑等因素有關，總之，實配間距s1取值，既要滿足計算要求，也要滿足相關規范要求。

(5)使用方法

使用Mathcad編程程序的計算方法，只需在Mathcad編程程序的下方，按照Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ)括號內各符號順序輸入對應的數值(或數值及相應單位)，再輸入鍵盤上“=”，即可顯示計算結果(箍筋間距)。按照配箍率驗算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)括號內各符號順序輸入對應的數值(或數值及相應單位)，再輸入“=”，即可顯示計算結果(配箍率是否滿足)。

使用時，注意輸入數據的數值與順序不能錯。當輸入數值不帶單位時，須采用該數據默認單位的數值。

5 實例計算

下面通過三個不同類型的實例來驗證以上Mathcad編程設計的計算結果。

實例來源：《混凝土結構(上冊)——混凝土結構設計原理》(第七版)[4](東南大學，天津大學，同濟大學主編)，以下簡稱《結構設計原理》。

【實例一】(《結構設計原理》[4]【例4-1】)(類型：均布荷載矩形截面梁，計算時取λ=0，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面簡支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，兩端支承在240mm厚的磚墻上，梁凈跨度為5760mm。該梁承受均布荷載設計值70kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力設計值為201.6kN。混凝土強度等級為 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋為HPB300級鋼筋(fyv=270N/mm2)，縱筋為HRB400級鋼筋。一類環境。(取as=40mm，僅配箍筋)

求：箍筋的數量。

解：采用以上Mathcad編程設計的計算結果如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ) 代入相應數據(或數據與單位)后，計算結果如下：

Asv(201600,250,600,2,8,40,14.3,1,1.43,270,0)= (“箍筋間距” 247)

Asv(201.6kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)= (“箍筋間距” 247) mm

箍筋計算間距247mm，本例箍筋實配間距s1=200mm。

選用雙肢箍筋φ8@200(根據表2，本例箍筋最大間距smax=250mm)。

配箍率驗算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)代入相應數據(或數據與單位)后，計算結果如下：

配箍率驗算(2，250，200，8，1.43，270)=“滿足”

配箍率驗算(2，250mm，200mm，8mm，1.43MPa，270MPa)=“滿足”

本例Mathcad編程計算結果與實例手算結果一致。

【實例二】(《結構設計原理》[4]【例4-2】)(類型：集中荷載為主矩形截面梁，λ取計算值，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面獨立簡支梁，跨度4m，截面尺寸b×h=200mm×600mm，荷載及計算簡圖如下。采用C25混凝土(fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2)，箍筋采用HPB300級鋼筋(fyv=270N/mm2)，一類環境。(取as=40mm，僅配箍筋)

計算簡圖及剪力圖如下：

A支座截面：V集/V總=160/180=88%>75%

B支座截面：V集/V總=140/160=87.5%>75%

C截面：V集/V總=40/50=80%>75%

E截面：V集/V總=60/70=85.7%>75%

求：配置箍筋。

解：采用以上Mathcad編程設計的計算結果如下：

(1)AC段：VA=180kN，λ=a/h0=1000/560=1.786(a取集中荷載作用點至支座截面或節尖邊緣的距離)

Asv(180kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)= (“箍筋間距” 168) mm

本例箍筋實配間距s1=100mm。

選用雙肢箍筋φ8@100(根據表2，本例AC段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗算(2，200mm，100mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(2)CD段：VC=50kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(50kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋間距”“按構造要求配箍筋”) mm

按構造配置箍筋，選用雙肢箍筋φ8@350(根據表2，本例CD段箍筋最大間距為350mm)，則s1=350mm。

配箍率驗算(2，200mm，350mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(3)DE段：VE=70kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(70kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋間距” 1955) mm

本例箍筋實配間距s1=250mm。

選用雙肢箍筋φ8@250(根據表2，本例DE段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗算(2，200mm，250mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(4)EB段：VE=160kN，λ=a/h0=1000/560=1.786

Asv(160kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)=(“箍筋間距” 215) mm

本例箍筋實配間距s1=120mm。

選用雙肢箍筋φ8@120(根據表2，本例EB段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗算(2，200mm，120mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

本例Mathcad編程計算結果與實例手算結果一致。

【實例三】(修改【實例一】中的荷載設計值70kN/m為180kN/m，則得梁端最大剪力設計值為518.4kN，其它資料不變。)(類型：均布荷載矩形截面梁，計算時取λ=0，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面簡支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，兩端支承在240mm厚的磚墻上，梁凈跨度為5760mm。該梁承受均布荷載設計值180kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力設計值為518.4kN。混凝土強度等級為 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋為HPB300級鋼筋(fyv=270N/mm2)，縱筋為HRB400級鋼筋。一類環境。(取as=40mm，僅配箍筋)

求：箍筋的數量。

解：采用以上Mathcad編程設計的計算結果如下：

Asv(518.4kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)=(“箍筋間距” “截面不滿足要求”) mm

根據以上計算信息“截面不滿足要求”，應加大截面尺寸或提高混凝土等級后，重新設計。

本例Mathcad編程計算結果與實例手算結果一致。

以上三個不同類型實例的Mathcad編程計算結果與手工計算結果完全一樣。

6 結束語

根據鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計算公式，應用Mathcad編程方法來計算梁箍筋(僅配箍筋)及配箍率驗算。編程設計時，應特別注意各類判別式及各種不同條件下的相應公式。編程結束后，需用各類不同類型的實例驗證Mathcad編程設計的正確性。

采用Mathcad編程程序計算梁箍筋間距或驗算配箍率，該用法簡單且計算準確，可以極大地提高工作效率。但計算前，箍筋肢數與箍筋直徑的確定，計算后，箍筋實配間距的選定等等，這些數值需由使用者自己確定，并滿足相關規范要求。