初中數(shù)學常見錯誤原因及對策的探究

費曉波

[摘? 要] 俗話說：“錯誤是真理的向導，是成功的階梯. ”學習過程中出現(xiàn)錯誤是難免的現(xiàn)象，如何找到錯誤的原因，采取怎樣的應對措施是值得每個教育者思考的問題. 文章就初中數(shù)學學習過程中常見的錯誤原因及應對措施，怎樣科學糾正錯誤，如何將錯誤轉化為促進學生進步與發(fā)展的資源展開分析.

[關鍵詞] 數(shù)學;錯誤;對策

初中學生在數(shù)學學習過程中受原有知識結構和生活經(jīng)驗的影響，很容易出現(xiàn)思維定式或理解上的偏差，出現(xiàn)各式各樣的錯誤. 教師若能針對錯誤采取一定的措施，科學地預防錯誤發(fā)生，及時糾正錯誤，化錯誤為促進學生成長的資源，就能幫助學生更好地理解數(shù)學知識，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而產(chǎn)生較好的數(shù)學思想，更好地理解數(shù)學概念、定理等[1]■.

■ 常見錯誤形成原因及應對措施

1. 原有認知結構導致錯誤形成

學習是一個循序漸進的過程，初中階段的學生已經(jīng)有了一定的學習經(jīng)驗和知識結構作為基礎，受時間和空間的影響，再次遇到相似的學習內容時，不少學生會被原有認知結構所干擾，導致新知構建的過程中出現(xiàn)各類錯誤.

例1? “圓”的教學

學生在小學階段已經(jīng)接觸過圓的性質. 因此，不少學生認為所謂的圓就是圓的外周邊及內部;圓及圓里面所有的點都在圓上面;半圓包含了一個封閉的曲線和直徑等各種錯誤的認識.

應對措施? 根據(jù)這種原有認知結構導致的錯誤認識，教師可有針對性地編擬一些題目，讓學生從題目中發(fā)現(xiàn)概念的內涵，辨析定義的本質屬性.

2. 學生思維定式導致錯誤形成

思維定式也稱為慣性思維，由之前的經(jīng)驗形成的一種心理上的定向趨勢，這種慣性思維可以幫助人們快速解決一些問題，但也會妨礙人們采取新的解決問題的方法. 思維定式對學生的感知、思維、記憶和情感等會起到正向或者反向的推動作用. 數(shù)學學習過程中常因思維定式導致學生的思維進入一些誤區(qū)，導致學生思維的創(chuàng)造性和靈活性受到阻礙.

例2? “一元二次方程”的教學

問題：直角三角形ABC的兩條邊是方程x2-7x+12=0的解，請問斜邊的長是多少？

學生根據(jù)題意解方程，兩根是3或4，不少學生受3、4、5為一組勾股數(shù)的慣性思維影響，快速解答斜邊為5.

應對措施? 這是典型的受定向思維所影響的常見錯誤. 因此，教師在課堂教學中要及時擴充并完善學生原有的知識經(jīng)驗，通過舉一反三和變式訓練等方法，引導學生進行分析和比較，自主發(fā)現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，辨析易混淆的數(shù)學概念，強化正確的數(shù)學思維，突破慣性思維的約束，從而激發(fā)學生的興趣，拓寬解題思路.

3. 解題方法不當導致錯誤形成

一題多解在初中數(shù)學題中屢見不鮮，但也有部分題目只能有一種解法. 學生在解題過程中常常會因為解題方法的使用不恰當，導致一些錯誤的產(chǎn)生.

例3? “圓的對稱性”教學

問題：AB，CD是⊙O的兩條弦，CD=8，∠AOB與∠COD互補（見圖1），求弦AB的弦心距. 若將△COD繞著點O順時針旋轉，讓OD和OB重合，很容易就會發(fā)現(xiàn)弦AB的弦心距是弦CD的一半.

應對措施? 這種方式是這道題唯一的解題方法，學生若想不到這個解題辦法，則無法解開這道題. 因此，教師在教學過程中要注重解題方法的指導與訓練，滲透良好的解題思路，形成較好的數(shù)學思維.

■ 化被動為主動，將錯誤優(yōu)化成

教學資源

任何事物都具有雙面性，數(shù)學錯誤也同樣是一把雙刃劍，利用好了就是豐富的一手教學資源，利用不好就是一堆令人唾棄的廢品. 教師如何在教學過程中將這些錯誤變廢為寶呢？可以從以下幾方面出發(fā)：

1. 利用錯誤引發(fā)學生的認知沖突

學生常因對知識理解不夠全面或其他原因導致一些錯誤. 教師如果將這些錯誤適當?shù)匮由扉_來，引起學生認知的沖突，學生就能在這些認知沖突中對學習內容產(chǎn)生新的知識結構和興趣.

例4? “完全平方公式”的教學

師：（a+b）2等于多少？

生：（a+b）2=a2+b2.

對于這個錯誤的解答，教師可先轉移學生的注意力.

師：5等于7嗎？

生：（覺得不可思議）5怎么能等于7呢.

學生的注意力瞬間被轉移過來，對這個知識點充滿了興趣.

師：假設a=3、b=4，那（a+b）2的值是多少？

生：（a+b）2=（3+4）2=49.

師：那么a2+b2的值是多少呢？

生：32+42=25.

師：可見（a+b）2的值是49，也就是72;而a2+b2的值是25，也就是52，因此（a+b）2=a2+b2這個答案對嗎？

生：錯誤的.

師：那這道題的正確答案應該是什么呢？

學生在教師的引導下對這道題產(chǎn)生了認知沖突，同時又充滿了好奇與興趣，學習思維也得到相應的發(fā)展.

2. 利用錯誤引發(fā)學生的創(chuàng)新思維

錯誤發(fā)生的過程其實也是一種新的嘗試過程，教師可引導學生發(fā)現(xiàn)錯誤中蘊藏的創(chuàng)新元素，及時給予引導與點撥，讓學生自主地突破錯誤的思維障礙，產(chǎn)生創(chuàng)新意識，體驗創(chuàng)新思維帶來的價值和快樂[2]■. 一些問題條件發(fā)生了改變，結論亦會隨之變化. 教師可根據(jù)這類題的錯誤發(fā)生，引發(fā)學生形成創(chuàng)新意識，形成創(chuàng)新思維.

例5? “平面直角坐標系”的教學

問題：平面直角坐標系內有點A（1，1），請在x軸上找到點P，使△AOP為等腰三角形，請求P點的標.

錯解：找出滿足此題條件的P點坐標是（1，0）與（2，0）（見圖2）.

■

分析：根據(jù)題意，等腰三角形AOP可從以下三個角度考慮：

（1）如果AO=AP，則點P是以AO為半徑，以A點為圓心的圓和x軸的交點，此時P點坐標是（2，0）;

（2）如果OP=AP，則點P是線段AO的中垂線和x軸的交點，此時P點坐標是（1，0）;

（3）如果AO=PO，則點P是以AO為半徑，以O點為圓心的圓和x軸的交點，此時P點坐標是（■，0）者（-■，0）.

解題講究的是周密、嚴謹，錯誤并不可怕，只要在錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，勇敢地表達自己的觀點，再根據(jù)錯誤用各種方法去修正它，修正錯誤的過程就是訓練思維能力的過程，良好的思維能引導學生全方位地審視問題，找出問題和結論的內在關系，深化認識，從而發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.

3. 利用錯誤引發(fā)學生的反思

用錯題引發(fā)反思是指在錯誤或挫折中得到一定的經(jīng)驗或教訓，重新認識錯題，養(yǎng)成良好的反思習慣，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 新課標也明確要求學生在錯誤中逐步形成反思意識，通過訂正錯題、反思錯誤而糾正錯誤[3]■. 由此逐漸加深學生對數(shù)學知識與技能的掌握情況，提高學生的反思能力.

例6? “一元二次方程根與系數(shù)的關系”教學

問題：已知方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有兩個實數(shù)根，這兩個根的積比它們的平方和小16，求m值.

根據(jù)題意，設兩個根為x■，x■，寫出x■+x■=-2（m+2），x■·x■=m2-5，兩個根的積比它們的平方和小16，可得（x■+ x■）-x■·x■ = 16，通過化簡和整理得：m■=-1，m■=-15. 到此，學生就認為答題完美結束了，若將解題答案代入方程進行檢驗，會發(fā)現(xiàn)存在一些問題，究竟是哪個環(huán)節(jié)出了問題？今后遇到類似的問題應該怎么做呢？

由此可見，要避免同類錯誤的再次發(fā)生，反思是最好的途徑. 教師應在學生錯誤發(fā)生后給予恰當引導，讓解題過程變得更為嚴謹、科學. 讓學生反思解題方法、過程、思路以及錯誤形成的具體原因，通過反思避免同樣錯誤的再次發(fā)生，從而更加深刻地理解數(shù)學知識與技能，形成良好的反思能力.

每個學生受身心發(fā)展和生活經(jīng)驗的影響，對數(shù)學知識的掌握深度和廣度都有一定的區(qū)別，解題習慣和思維模式也不一樣，出現(xiàn)的錯誤自然是花樣百出的. 這就給教師的教學提出了更高的要求，怎樣幫助學生在錯誤中成長成了每個教師的責任. 因此，教師應將學生的錯誤類型進行整理、分類，通過比較和分析找出一些有代表性的錯題，從學生的錯題出發(fā)優(yōu)化教學資源，在錯題中引發(fā)學生的認知沖突，產(chǎn)生創(chuàng)新思維，培養(yǎng)反思能力，從而有效地提高數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]張誠. 有一種教學封閉叫“居高臨下”[J]. 中學數(shù)學教學參考，2016（14）.

[2]蔡衛(wèi)兵，朱賢軍. 把握試題精髓? 感悟教學價值[J]. 中學數(shù)學，2016（24）.

[3]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.